Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Endogeneidades y Variables Instrumentales Walter Sosa-Escudero June 16, 2009 Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Regresores endogenos Un supuesto clave para el modelo lineal con regresores aleatorios es el de exogeneidad E(u|X) = 0 que vimos que implica E(X 0 u) = 0 De este supuesto se desprende la propiedad de insesgadez. La insesgadez de MCO requiere que las variables explicativas no guarden relacion lineal con el termino de error. La violacion a este supuesto hace que el estimador de MCO sea sesgado. Cuando una variable explicativa esta relacionada con el termino de error, diremos que es endogena. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Endogeneidades: ejemplos Variables Omitidas Y = β1 X1 + β2 X2 + u Si omitimos X2 Y = β1 X1 + ν ν ≡ β1 X2 + u. Entonces, el supuesto de exogeneidad sera violado a menos que X1 y X2 no esten relacionados, o que β2 = 0. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Varaible explicativa medida con error Yi = β1 + β2 Xi∗ + ui Vimos que reemplazar X ∗ por una version con error Xi , entonces Xi esta correlacionada con el termino de error del modelo resultante. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Ecuaciones simultaneas El modelo mas simple de s qi qd is qi oferta y demanda: = xsi β1s + β2s pi + si = xdi β1d + β2d pi + di = qid En equilibrio: pi = (β2s − β2d )−1 (xdi β1d − xsi β1s + di − si ) Tanto en la ecuacionn de oferta como en la de demanda, pi es una variable explicativa que depende del termino de error. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo MCO y el metodo de momentos Consideremos el modelo lineal Y = Xβ + u con el supuesto de exogeneidad E(X 0 u) = 0 en donde, naturalmente, u = Y − Xβ. Consideremos la siguiente magnitud 1 0 Xe=0 n con e ≡ Y − X β̂. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo E(X 0 u) es un vector K × 1 con elemento caracteristico E(Xk0 u), en donde Xk es la k-esima columna de X. Entonces, la condicion de exogeneidad implica E(Xk0 u) = 0 (la covarianza de cada variable explicativa con el termino de error es cero). La condicion n1 X 0 e = 0 es un vector K × 1 cuyo elemento caracteristico es n 1X xik ei = 0 n i=1 (la covarianza muestral de cada variable explicativa con el termino de error de estimacion es cero). Entonces, la condicion n1 X 0 e = 0 es la version muestral de la condicion poblacional E(X 0 u) = 0. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Comencemos entonces por imponer la condicion muestral 1 0 Xe=0 n que implica X 0 (Y − β̂X) = 0 Resolviendo β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y Hemos derivado el estimador de MCO usando una condicion de momentos muestral ( n1 X 0 e = 0) que es la version empirica de una condicion poblacional (E(X 0 u) = 0). A esta forma de derivar estimadores se la conoce como el metodo de momentos. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Variables Instrumentales Consideremos el modelo lineal con K variables Y = Xβ + u en donde no requeriremos que E(u|X) = 0 (una o mas variables explicativas pueden ser endogenas). Alternativamente, supondremos la existencia de una matriz Z, n × K, de K variables instrumentales. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Las variables instrumentales Z deben satisfacer dos requisitos. 1 0 nZ X 1 es una matriz no singular. Intuicion: los instrumentos deben estar correlacionados con las variables a instrumentar. 2 E(u|Z) = 0. Intuicion: los instrumentos no deben estar corrrelacionados con el termino de error. Todavia no estamos discutiendo de donde salen los instrumentos validos! Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo El estimador de VI A fines de obtener un estimador valido para el caso de regresores endogenos, comencemos con la condicion poblacional E(Z 0 u) = 0 de modo que su version muestral sera 1 0 1 Z e = Z 0 (Y − X β̂) = 0 n n Resolviendo β̂V I = (Z 0 X)−1 Z 0 Y Este es el estimador de variables instrumentales. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo β̂V I = (Z 0 X)−1 Z 0 Y Comentarios Notar que la existencia y unicidad del estimador VI depende de que Z 0 X sea invertible (la ‘condicion de rango’). Cuando todas las variables X son exogenas, son trivialmente instrumentos validos, de modo que X = Z. En este caso β̂V I = β̂M CO . Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo De donde salen los instrumentos validos? Pregunta muy complicada. En cierto sentido es una pregunta econometrica, en otro, no. Ejemplo 1: y = β1 + β2 x + u en donde y son salarios, y x educacion. Es muy posible que la educacion sea endogena (porque?). Angrist y Krueger (1991): usar el mes de nacimiento como un instrumento valido, para el caso de USA. Los individuos nacidos en en los primeros meses del año pueden abandonar el sistema educativo antes: deberian tener menos educacion. Que deberiamos garantizar para que sea un instrumento valido? Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Ejemplo 2: y = β1 + β2 x + u Bajo que condiciones la inteligencia podria ser un instrumento valido? Y la distancia a una universidad? Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo El requisito de que la correlacion entre Z y X sea no nula es empiricamente verificable. El requisito de que la correlacion entre Z y u sea nula no es verificable directamente en este contexto. (depende de la estructura del modelo y de algo que no es observable). Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Precauciones La discusion de este tema es decididamente introductoria. En un curso avanzado deberian cubrir los siguientes items No es posible probar que β̂V I es insesgado. En todo caso, se puede probar que es consistente. Propiedades asintoticas. Sus propiedades de muestra finita son un tema de gran discusion actual. Mas instrumentos que los necesarios? Existe una forma optima de combinar instrumentos: minimos cuadrados en dos etapas. Sugerencias bibliograficas Wooldridge, J., 2006, Introduccion a la Econometria, Thompson, Madrid. Angrist, J. y Pischke, J., 2009, Mostly Harmless Econometrics, Princeton University Press, Princeton. Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo Ejemplo empirico: retornos a la educacion En base a Card (1995). Datos: US National Longitudinal Survey of Young Men, 3010 individuos. El modelo es y = β1 + β2 x + β3 z + u en donde y son los (log) salarios, x la educacion (en años) y z es un vector de otras variables explicativas (edad, etc.). Problema: x es endogena Instrumento: nearc4: 1 si crecio cerca de una ciudad con universidad. Validez? Walter Sosa-Escudero Endogeneidades y Variables Instrumentales Endogeneidades El metodo de momentos Varaibles instrumentales Ejemplo MCO -----------------------------------------------------------------------------lwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------educ | .0746933 .0034983 21.35 0.000 .0678339 .0815527 exper | .084832 .0066242 12.81 0.000 .0718435 .0978205 expersq | -.002287 .0003166 -7.22 0.000 -.0029079 -.0016662 black | -.1990123 .0182483 -10.91 0.000 -.2347927 -.1632318 south | -.147955 .0259799 -5.69 0.000 -.1988952 -.0970148 smsa | .1363845 .0201005 6.79 0.000 .0969724 .1757967 VI. Instrumento: nearc4 educ exper expersq black south smsa | | | | | | .1315038 .1082711 -.0023349 -.1467757 -.1446715 .1118083 .0549637 .0236586 .0003335 .0538999 .0272846 .031662 2.39 4.58 -7.00 -2.72 -5.30 3.53 Walter Sosa-Escudero 0.017 0.000 0.000 0.007 0.000 0.000 .0237335 .0618824 -.0029888 -.2524603 -.19817 .0497269 .2392742 .1546598 -.001681 -.0410912 -.091173 .1738898 Endogeneidades y Variables Instrumentales