NM3 Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Plan de Recuperación Intensivo
Expresiones algebraicas fraccionarias.
GUIA DE APRENDIZAJE: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Aprendizajes Esperados: Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.
Una expresión algebraica fraccionaria o expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios,
P ( x)
es decir:
∀x ∈ ℜ tal que Q ( x) ≠ 0
Q( x)
Ejemplos 1:
a.
x
x −3
2
b.
1
x −1
c.
x 2 − 2x + 5
x 3 + 5 x − 10
d.
8x − 7
3
Las expresiones algebraicas racionales son, en muchos aspectos, muy semejantes, a los números
racionales. Así por ejemplo en (a) X es el numerador y x 2 − 3 es el denominador de la expresión
algebraica. Esto es muy importante ya que para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones
algebraicas siguen las mismas reglas que los racionales.
Expresiones fraccionarias irreductibles
Para reducir una expresión racional a su mínima expresión, factorizamos completamente el numerador
y el denominador, simplificando posteriormente los factores comunes, por ejemplo:
Ejemplo 2:
Observación
x2 −1
x 2 − 6x + 5
simplificación de la primera.
La expresión
De igual manera
es equivalente con
x 5 − 8x
x 4 − 6x + 5
x +1
por que la segunda se obtiene por una
x−5
es equivalente con
x 2 + 2x + 4
.
x+3
¿Por qué?
Es claro entonces que al multiplicar el numerador y el denominador de una expresión algebraica por un
mismo polinomio, se obtiene una expresión equivalente a la dada, es decir:
Usando este último resultado, dadas varias expresiones podemos encontrar otras, equivalentes a ellas,
que tengan el mismo denominador, es decir, las reducimos a común denominador.
El ejemplo que sigue nos muestra como hacerlo:
1
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Expresiones algebraicas fraccionarias.
Ejemplos 3: Reduce a común denominador las expresiones:
Procedemos como cuando trabajamos con las fracciones, es decir, hallamos el mínimo común múltiplo
de los denominadores factorizados:
x( x + 1)
x +1
1
x +1
x +1
1
x
1
1
x
x +1
mcm = { x (x + 1)
Por lo tanto las nuevas expresiones reducidas a denominador común son:
(4 x + 1)(x + 1) ;
x( x + 1)
(x + 2)x ;
x( x + 1)
x−3
x(x + 1)
Suma – Resta de expresiones algebraicas fraccionarias:
Coma ya dijimos las expresiones algebraicas fraccionarias son, en muchos aspectos, muy semejantes, a
los números racionales. En este sentido se suman y restan de manera análoga a la suma y resta de
racionales.
Ejemplo 1:
x + 1 2x − 3
x+2
+ 2
+
=
3x
x − 2x x − 2
(x + 1)(x − 2) + 3(2 x − 3) + 3x(x + 2)
3x( x − 2)
3x(x − 2) 3 x(x − 2 ) =
(x
2
)
(
)
− x − 2 + (6 x − 9) + 3 x 2 + 6 x
=
3x 2 − 6 x
m.c.m entre 2 x, x 2 − 2 x, x − 2 es 3 x ( x − 2 )
4 x 2 + 11x − 11
3x 2 − 6 x
Con la resta se procede de manera análoga.
Producto o Multiplicación:
El producto de dos expresiones algebraicas racionales es igual a la expresión que resulta de multiplicar
los numeradores dividida por la multiplicación de los denominadores.Ejemplo 2:
División o cociente:
El cociente de dos expresiones algebraicas racionales es igual a la expresión que resulta de multiplicar la
primera por la inversa de la segunda.-
2
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Ejemplo 3:
Ejercicios tipo PSU
x2 − y2
(con x ≠ y ) resulta:
x−y
1) Al simplificar la fracción:
A) x − y
2) Si a ≠ 0, entonces
A)
2x
3a
B) x + y
x − a x + 2a
es igual a:
+
a
2a
3x
3x
B)
C)
a
2a
3) Si, a ≠ 2 y a ≠ 3 entonces
A) 2a + 2
4) Si x ≠ 2 , entonces
A)
5)
x+2
2
C) 2 x + 2 y
D) 2 x − 2 y
D)
2x + a
a
E)
x− y
2
E)
2x + a
2a
a 2 − 4a + 3 a − 3
:
es igual a:
2a − 4
4a − 8
B) a − 1
C) 2a − 2
D) 4a − 4
E) 2a 2 − 8a + 6
x2 − 4
es igual a:
4 − 2x
B)
x+2
−2
C) x + 1
D) x − 1
E) 2 x − 1
B)
x−2
2
C)
x+2
2
D) x + 1
E) x − 1
x 2 − 2x
x
:
=
2x + 4 x + 2
A)
x−2
2x
6) Si x ≠ 1, y ≠ −1 , entonces
A)
x+2
x
B)
x
x2
1
: 2
+ es igual a:
x +1 x −1 x
2x + 1
x
C) 1
1
x es igual a:
7) Si x ≠ 0, x ≠ 1 y x ≠ −1 , entonces
1
x2 − 2
x
2
2
x +1
x2 −1
A)
B)
C)
x
x
x
D)
1
2
D)
x
x +1
E)
x3 − x2
x3 + x 2 − 1
E)
x
x −1
x+
2
2
3
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8) Si x ≠ y , entonces el valor de
A) x − y
B) x + y
9) Al simplificar la expresión
A)
x2 − y2
x2 + y2
10) Si x ≠ y , entonces
x 2 − y 2 (x − y )
+
− (x − y ) =
x−y
x−y
B)
D)
x−y
x+ y
E) 2 x + y
D)
x−y
x+ y
E)
16 x 2 − 4 y 2
se obtiene:
16 x 2 + 4 y 2
4x − 2 y
4x + 2 y
B) x 2 − y 2
11) Siendo x, y, z todos no nulos, entonces
12)
C) − x + y
C)
4x − y
4x + y
4x 2 − y 2
4x 2 + y 2
x3
y3
+
=
x− y y−x
A) x 2 y 2
A)
2
1
x y2z2
2
C) x + y
D) x 2 + xy + y 2
E) x 2 + y 2
1
1
1
+
+
=
xy yz zx
B)
x+ y+z
x2 y2 z2
C)
3
x y2z2
D)
x+ y+z
xyz
E)
x+ y+z
3
B)
5y + 4
y2 + y
C)
y+4
y2 + y
D)
3
y +y
E)
1
y +1
x2 −1
2x − 1
C) x − 1
a 2 − ab + b 2
a−b
C)
2
3
2
2
− + 2
=
y +1 y y + y
A)
y−4
y2 + y
2
 x − 1   2x − 1 
13) 
: 2
=
 x + 1   x + 2x + 1 
A)
14)
2x − 1
2x 2 − 1
B)
D) − x 2
E) −
1
x2
a 3 − b 3 a 2 − ab + b 2
⋅
=
a−b
a3 + b3
A)
a 2 + ab + b 2
a+b
B)
a 2 + ab + b 2
a−b
x +1
−
15) Desafío: Simplificando la fracción compuesta x − 1
1
+
x +1
A) 4 x
B) 2 x
C) 2
D)
a 2 − ab + b 2
a+b
E) 1
x −1
x + 1 obtenemos:
1
x −1
D)
1
2
E) 1
4