Cúbica - EveryOneWeb

FUNCION DE PRODUCCION CUBICA (Función clásica).
lorenzo castro gómez1
Esta función es Y = ƒ (X) = b1X + b2X2 - b3X3
donde : Y = producto total
Xi = insumos
bi = parámetros
Ejemplo: sea la función Y = ƒ (X) = 3X + 2X2 - 0.1X3
PM = Y/X = (3X + 2X2 - 0.1X3)/X = 3 + 2X - 0.1X2
PMg = dy/dx = 3 + 4X - 0.3X2
E = (dy/dx)(x/y)=(dy/dx)(y-1)/(X-1)=(dy/dx)(y/x)-1=dy/dx/y/x=
PMg / PM
Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto total es
condición necesaria que dy/dx = PMg = 0, es decir que:
3 + 4x - 0.3X2 = 0, o bien
- 0.3X2 + 4X + 3 = 0, esta estructura se parece a una ecuación cuadrática, por lo
que se resuelve con la fórmula general, por lo que se tiene:
X = -4 ±
= -4 ±
[42 - 4 (-0.3) (3)] / 2(-0.3)
[16 + 3.6] / - 0.6
= - 4 ± 4.42 / - 0.6
X1 = - 0.72
X2 = 14.03
La condición de segundo orden para un máximo exige que d2y/dx2 < 0, por lo
tanto d2y/dx2 = 4 - 0.6 evaluada en X1 = -0.72, será:
d2y/dx2 (x = - 0.72) = 4 - 0.6 (- 0.72) = 4.43 > 0 lo que garantiza un mínimo.
d2y/dx2 (x = 14.04) = 4 - 0.6 (14.04) = - 4.42 < 0 lo que garantiza un máximo.
Por lo tanto, tomamos el valor de X2 = 14.04 como aquel que garantiza un
máximo.
El producto máximo será:
Y = 3 (14.04) + 2 (14.04)2 - 0.1 (14.04)3
1
Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE – UAAAN.
1
Ymax = 159.6045
Para encontrar el nivel de insumo variable que maximiza el producto medio es
condición necesaria que dPM/dx = 0, es decir 2 - 0.2X = 0 ó bien, X = 10, la d2PM / dx2
= - 0.2 < 0 lo que garantiza el máximo de PM, cuando X = 10 el ;
PMmax = 3 + 2 (10) - 0.1 (10)2 = 13
Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto
marginal es condición necesaria que dPMg/dx = 0, es decir que 4 - 0.6X = 0, o bién X =
6.67 el ;
PMgmax = 3 + 4 (6.67) - 0.3 (6.67)2 = 16.33
El valor del insumo variable que cumple con PM = PMg es:
3 + 2X - o.1X2 = 3 + 4X - 0.3X2
2X - 0.1X2 = 4X - 0.3X2
2 -0.1X = 4 - 0.3X
0.2X = 2
X = 2/0.2
X = 10
Desde el punto de vista del insumo variable, las tres etapas de la producción
quedan definidas como:
Etapa I
0 < X < 10
Etapa II
10 < x < 14.04
Etapa III
X > 14.04
La ley de los rendimientos marginales decrecientes empieza a operar a partir
de X = 6.67, etapa racional o económica será desde el punto de vista de la elasticidad
de producción, la etapa II [ 0 < E < 1 ].
LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LOS COSTOS
ALGUNAS DEFINICIONES DE LA TEORÍA DE LOS COSTOS
El costo alternativo o de oportunidad de la producción de una unidad del bien
X es la cantidad del bien Y que debe sacrificarse a tal efecto. También se llama
costo social.
Los costos implícitos en que incurre un empresario al producir un bien
especifico consisten en las sumas que podría ganar en el mejor uso alternativo
de su tiempo y de su dinero. En la producción de X obtendrá un beneficio
económico neto, sólo en el caso de que sus ingresos totales superen la suma de
sus costos explícitos e implícitos.
La curva de costo total a largo plazo se relaciona directamente con la curva de
expansión; en realidad, la curva o función de costo total a largo plazo es
2
simplemente el equivalente de la ruta de expanción en terminos del costo y el
volumen de producción.
El costo fijo total (CFT), es la suma de los costos fijos explícitos a corto plazo y
los costos implícitos en que incurre el empresario.
El costo variable total (CVT), es la suma de las cantidades gastadas en cada
uno de los insumos variables empleados.
A corto plazo, el costo total (CT), es la suma del costo fijo total y el costo
variable total.
El Costo fijo medio (CFM) es el costo total dividido por el número de unidades
producidas.
El costo variable medio (CVM), es el costo variable total dividido por el
número de unidades producidas.
El costo medio total (CMT), es igual al costo total dividido por el número de
unidades producidas. También se puede calcular mediante la suma del costo
fijo medio y el costo variable medio.
El costo marginal es la adición al costo total, imputable a una unidad adicional
de producción.
El ingreso total (IT), es el precio de mercado por la cantidad producida. IT =
Py * Y, donde Py = precio de mercado, y Y es la producción.
El ingreso marginal es la adición al ingreso marginal, imputable a una unidad
adicional al ingreso.
Beneficio total (BT), es la diferencia entre el ingreso total y los costos totales.
•
•
Sea la función de producción Y = f(x) = 3X +2X2 – 0.1X3
CFT = 150, Px = 5 y Py = 2, unidades monetarias respectivamente.
En el siguiente cuadro se resumen todas las operaciones. (la columna iluminada es la
mejor opción para el productor.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Y
0
4.9
13.2
24.3
37.6
52.5
68.4
84.7
100.8
116.1
130
141.9
PM
3
4.9
6.6
8.1
9.4
10.5
11.4
12.1
12.6
12.9
13
12.9
PMg
3
6.7
9.8
12.3
14.2
15.5
16.2
16.3
15.8
14.7
13
10.7
Px
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
VPMg CFT CVT
6
150 0
13.4 150 5
19.6 150 10
24.6 150 15
28.4 150 20
31 150 25
32.4 150 30
32.6 150 35
31.6 150 40
29.4 150 45
26 150 50
21.4 150 55
CT
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
CFM
0
30.61
11.36
6.17
3.99
2.86
2.19
1.77
1.49
1.29
1.15
1.06
CVM
0
1.02
0.76
0.62
0.53
0.48
0.44
0.41
0.4
0.39
0.38
0.39
CMT
0
31.63
12.12
6.79
4.52
3.34
2.63
2.18
1.89
1.68
1.53
1.45
CMg
1.67
0.75
0.51
0.41
0.35
0.32
0.31
0.31
0.32
0.34
0.38
0.47
Py
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
IT
0
9.8
26.4
48.6
75.2
105
136.8
169.4
201.6
232.2
260
283.8
BT
-150
-145
-134
-116
-94.8
-70
-43.2
-15.6
-11.6
37.2
60
78.8
3
12
13
14
15
16
17
18
151.2
157.3
159.6
157.5
150.4
137.7
118.8
12.6
12.1
11.4
10.5
9.4
8.1
6.6
7.8
4.3
0.2
-4.5
-9.8
-15.7
-22.2
5 15.6 150 60
5 8.6 150 65
5 0.4 150 70
5
-9 150 75
5 -19.6 150 80
5 -31.4 150 85
5 -44.4 150 90
210
215
220
225
230
235
240
0.99
0.95
0.94
0.95
1
1.09
1.26
0.4
0.41
0.44
0.48
0.53
0.62
0.76
1.39
1.36
1.38
1.43
1.53
1.71
2.02
0.64
1.16
25
-1.11
-0.51
-0.32
-0.23
2
2
2
2
2
2
2
302.4
314.6
319.2
315
300.8
275.4
236.4
92.4
99.6
99.2
90
70.8
40.4
-3.6
DONDE:
• X = insumo variable
• Y = Producto total
• PM = Producto medio
• PMg = Producto marginal
• Px = Precio por unidad de X
• VPMg = Valor del producto marginal
• CFT = Costo fijo total
• CVT = Costo variable total
• CT = Costo total
• CFM = Costo fijo medio
• CVM = Costo variable medio
• CMT = Costo medio total
• CMg = Costo marginal
• Py = Precio por unidad de Y
• IT = Ingreso total
• BT = Beneficio total (ganancia)
ECUACIONES:
• Y = f(x) = 3X +2X2 – 0.1X3
• PM = Y/X
• PMg = dy/dx
• VPMg = (Py) (PMg)
• CVT = (Px) (X)
• CT = CFT + CVT
• CFM = CFT/Y
• CVM = CVT/Y
• CMT = CT/Y ; ó CFM + CVM
• CMg = Px/PMg
• IT = (Py) (Y)
• BT = IT – CT;
IT – (CVT + CFT)
IT – [(Px)(X) + CFT]
(Py)(Y) – [(Px)(X) +CFT]
BT = [(Py)f(x)] – [(Px)(X) + CFT]
4
GAFICAMENTE SE TIENE:
Función de producción cúbica
180
160
140
100
PT
80
60
40
20
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
Productos
120
Insumos
5
Gráfica del PM Y PMg
20
15
10
19
17
15
13
-5
11
9
7
5
3
0
1
PM - PMg
5
PM
PMg
-10
-15
-20
-25
Insumos
Gráfica del CT, CFT y CVT
300
200
CFT
150
CVT
CT
100
50
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
CT - CFT - CVT
250
Insumos
6
Gráfico de CFM, CVM, CMT y CMg
35
CFM-CVM-CMT y CMg
30
25
20
CFM
CVM
15
CMT
CMg
10
5
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
0
-5
Insumos
Gráfico de la relación del BT, IT y CT
400
300
IT
100
BT
CT
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
BT-IT-CT
200
-100
-200
Insumos
7