1 Miscelánea . E: El lago de Chapala tiene un volumen de 8 km 3 y

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Miscelánea .
E: El lago de Chapala tiene un volumen de 8 km3 y los flujos de entrada y salida se producen
a razón de 5:1 km3 /año. Suponga que al tiempo t D 0 (años) su concentración de contaminantes es 0:0005 kg/m3 y posteriormente la concentración de contaminantes que ingresa al
agua es 0:0001 kg/m3 . Suponiendo también que el agua se mezcle perfectamente dentro del
lago, ¿cuánto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el lago se reduzca
al 0:0002 kg/m3 ?
D: H Este problema es un clásico ejemplo de mezclas. El lago de Chapala se considera como un
depósito cuyo volumen es V D 8 km3 . Los flujos de entrada y salida (por lluvia, evaporación
y explotación principalmente) son de 5:1 km3 al año. Si la concentración de contaminantes
es inicialmente C.0/ D 0:05% y la concentración en el flujo de entrada es Ce D 0:01%, esto
significa que (dado que 1 km3 D 109 m3 ):
C.0/ D 0:0005 Kg/m3
&
Ce D 0:0001 Kg/m3 :
Así que si denotamos M.t/ a la masa total de contaminantes en el lago, tenemos:
M.0/ D C.0/ V D .0:0005/8 1012 D 5 10
4
8 1012 D 40 108 g D 4 106 kg.
La masa de contaminantes que entra al lago es
Me D Ce Re D .0:0001/5:1 1012 D 5:1 108 g D 5:1 105 kg.
Por otro lado, la masa de contaminantes que sale del lago es
Ms D
M.t/
3
8
km
3/ D
.5:1km
5:1
M.t/:
8
Con estos datos podemos modelar este problema de mezclas con el PVI:
dM
D 5:1 105
dt
Resolvemos la ED
5:1
M; con M.0/ D 4 106 :
8
dM
5:1
C
M D 5:1 105 ;
dt
8
5:1
cuyo factor integrante es e 8 t :
5:1
5:1
5:1
5:1
dM
5:1
d
t
t
t
5
e 8
C
M D 5:1 10 e 8 )
e 8 M D 5:1 105 e 8 t )
dt
8
dt
5:1
Z
t
5:1
5:1
5:1
8
e
) e 8 t M D 5:1 105 e 8 t dt D 5:1 105 C C D 8 105 e 8 t C C )
5:1
8
) M.t/ D 8 105 C C e
6. canek.azc.uam.mx: 30/ 11/ 2010
5:1
t
8 :
2
Usando la condición inicial
M.0/ D 40 105 D 8 105 C C e 0 ) C D 32 105 ;
hallamos que
M.t/ D 8 C 32e
0:6375t
105 kg.
Ésta es la solución del PVI. Para que la concentración de contaminantes en el lago se reduzca
al 0:0002%, se requiere que la masa de contaminantes sea
M D C V D 2 10
4
8 1012 D 2 8 105 D 16 105 kg.
Entonces buscamos el tiempo t1 que cumpla
M.t1 / D 8 C 32e
0:6375t1
)
105 D 16 105 ) 8 C 32e
0:6375t1 D ln
1
) t1 D
4
0:6375t1
D 16 ) e
0:6375t1
D
ln 4
D 2:1746:
0:6375
8
1
D )
32
4
Así que se requiere de un tiempo aproximado de 2:1746 años o sea 2 años y 64 días.