Ángulos a) Para cada uno de las siguientes figuras, utiliza las letras

Ángulos
a) Para cada uno de las siguientes figuras, utiliza las letras que dan las medidas de
los ángulos y escribe una ecuación que los relacione, En cada caso, justifica la
ecuación con las propiedades geométricas que has utilizado para escribirla. Halla
el valor de los ángulos.
Observa que las figuras no están hechas a medida. Cuando dos lados son iguales
se marcan con dos barras paralelas.
x+
0º
2m
2m +
7x +
3p
2p
II. Lados
a) Para cada una de las siguientes figuras, utiliza las letras que dan las medidas de
los lados y escribe una ecuación que los relaciones.
b) En cada figura, justifica la ecuación con las propiedades geométricas que has
utilizado para escribirla. Halla el valor de los lados.
Las figuras no están hechas a medida, y la letra p indica el perímetro de la
figura.
1
8
5
p=
1
3
p=
p=
4
3
Estos ejercicios muestran como se podemos utilizar un soporte geométrico para plantear
ecuaciones sencillas, que como ya mencionamos, los alumnos están acostumbrados a
manejar verbalmente y numéricamente desde la primaria.
En la primera parte, los alumnos deben conocer y aplicar algunas de las
propiedades de los ángulos de un triángulo en diversos casos: triángulos cualesquiera,
donde los tres ángulos siempre suman 180º. Igualmente, los alumnos pueden aplicar o
recordar casos particulares, como es el caso del:
(1)
Triángulo
rectángulo,
donde
los
dos
ángulos
agudos
son
complementarios;
(2)
Triángulo isósceles, donde dos ángulos son iguales.
(3)
Triángulo equilátero con los tres ángulos iguales a 60º.
(4)
Triángulo isósceles rectángulo, con dos ángulos de 45.
Aplicando las anteriores propiedades geométricas de los triángulos, se puede
llegar a la traducción del lenguaje verbal al algebraico y se obtienen condiciones en
forma de ecuaciones de primer grado para las letras que aparecen en cada caso. Por
tanto, sugerimos que a partir de los triángulos propuestos, amplíen el abanico de
situaciones a todos los tipos de triángulos.
En la segunda parte, de lados, las ecuaciones surgen y se escriben utilizando las
propiedades de los triángulos. En particular, si se da la medida del perímetro p del
triángulo. Aquí pueden aparecer reforzados, propiedades de los lados de los triángulos,
tales como:
(1) La hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que los catetos.
(2) Un triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales.
(3) Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno diferente.
Otros tipos de problemas que se podrían presentar para el tratamiento de las
ecuaciones con soporte geométrico son los siguientes:
III. Área y perímetro del rectángulo.
En esta tabla aparecen frases en las que se describen seis rectángulos diferentes.
Si en la frase se habla de la base, utiliza la altura como incógnita. Si en la frase se habla
de la altura, utiliza la base como incógnita.
a) completa la siguiente tabla con los datos anteriores:
FRASE
B
(BASE)
Rectáng
ulo 1
H
(ALTURA)
PERÍ
METRO
REA
La base es el triple
de la altura
Rectáng
ulo 2
La altura excede en
8 unidades a la base
Rectáng
ulo 3
La base es 3/4 de la
altura
Rectáng
ulo 4
La base y la altura
se
diferencian
en
5
es
la
unidades
Rectáng
ulo 5
La
altura
cuarta parte de la base
b) A continuación se añade un dato de cada rectángulo con el que puedes
conocer sus dimensiones:
Rectángulo 1: El área del rectángulo es 147 cm2 . ¿Cuál es su perímetro?
Rectángulo 2: El perímetro del rectángulo es de 216 cm. ¿Cuál es su área?
Rectángulo 3: El área del rectángulo es de 48 cm2 . ¿Cuál es su perímetro?
Rectángulo 4: El perímetro del rectángulo es 90 cm. ¿Cuál es su área?
Rectángulo 5: El área del rectángulo es 100 cm2 . ¿Cuál es su perímetro?
En esta actividad se utiliza un soporte geométrico conocido, el rectángulo, para
traducir al lenguaje algebraico expresiones escritas en lenguaje natural.
a) Cuando se ha expresado simbólicamente una de las dos incógnitas, base o
altura, en función de la otra, los alumnos deben operar con ellas para obtener también el
perímetro y el área correspondiente.
De esta forma, además de traducir al lenguaje algebraico, se practican destrezas
operativas con letras para despejar, en cada caso, la expresión más sencilla para el
perímetro y el área de cada rectángulo.
b) Se proponen cinco problemas relacionados respectivamente con los cinco
rectángulos anteriores. Los alumnos deben traducir la condición del problema a una
ecuación y obtener, a partir de ella, los datos numéricos del rectángulo.
El rectángulo 1, que tiene 147 cm2 de área, tendrá una altura de 7cm y una base
de 21cm, siendo el perímetro 56 cm.
El rectángulo 2, de perímetro 216 cm, tendrá una base de 50 cm, una altura de 58
cm y un área de 2.900 cm2 .
El rectángulo 3, de área 48 cm2 , tendrá una altura de 8 cm, una base de 6 cm y
un perímetro de 28 cm.
El rectángulo 4, con perímetro de 90 cm, tendrá una altura de 20 cm y, por lo
tanto, una base de 25 cm y un área de 500 cm2 .
Por fin, el rectángulo 5, con un área de 100 cm2 , tendrá una base de 20 cm, una
altura de 5 cm y un perímetro de 50 cm.
Posteriormente, se podrían trabajar de forma variada las figuras geométricas,
proponiendo situaciones como las siguientes (Azarquiel, 2000):
1) El perímetro de un rectángulo es 108 cm, y uno de los lados es 11 cm más largo que
el otro. Haz un dibujo del rectángulo, escribe una ecuación y calcula cuánto deben
medir los lados.
2) El perímetro de un triángulo isósceles es 47 cm, y cada uno de los lados iguales
mide 7 cm más que el tercero. Haz un dibujo del triángulo, escribe una ecuación y
calcula cuánto miden los lados.
3) Escribe una ecuación que nos permita calcular cuánto debe valer d para que los dos
rectángulos tengan la misma área.
4
6
d
5
8
4) ¿Cuánto debe medir d para que los perímetros de los rectángulos del problema
anterior sean iguales?
5) El lado de un triángulo equilátero mide 20 cm más que el lado de un cuadrado.
Calcula las longitudes de los lados de ambas figuras sabiendo que ambas tienen el
mismo perímetro.