TEMA 10 GUIA_DIDACTICA_Cuerpos_revolucion

10
Cuerpos de revolución
10
CUERPOS
DE REVOLUCIÓN
E
sta unidad despertará el interés y la curiosidad por el conocimiento de los elementos de las superficies esféricas, la interpretación de
mapas, los cambios horarios y la localización de ciudades en la esfera terrestre. Lo fundamental es que los alumnos reconozcan y sepan
desarrollar cuerpos de revolución. Será muy importante que recuerden cómo se calcula el área de un círculo y de un sector circular y
cómo se ha de hallar la longitud de una circunferencia y de un arco.
Los contenidos de cada una se las secciones se presentan como una necesidad de conocerlos para poder resolver un problema de la vida
cotidiana. Es preferible que aprendan a deducir las expresiones que permiten calcular áreas y volúmenes.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al
mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
Es la protagonista de toda la unidad teniendo especial importancia en las secciones: Matemáticas vivas, Geometría en el arte y en la sección
Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrollan a lo largo de toda la unidad, integrarán el conocimiento matemático con otras áreas para obtener conclusiones y enfrentarse
a situaciones cotidianas.
Competencia digital (CD)
Se integra en los epígrafes Área y volumen de conos y Composición de cuerpos de revolución, así como en la sección Matemáticas en el día a
día del inicio de unidad, haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Estará presente en todas aquellas actividades que propongamos para que los alumnos las realicen en grupo, procurando la participación de
todos los integrantes. Pondremos especial interés para que aprendan a gestionar un comportamiento de respeto a las diferencias de criterio.
Competencia aprender a aprender (CAA)
A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que adquieran la capacidad de concentración y que desarrollen el razonamiento matemático para describir la realidad. Con el trabajo en equipo aprenderán a comunicar de manera eficaz los resultados de su propio trabajo
potenciando así las metas de su aprendizaje.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
La capacidad de elegir con criterio propio y llevar adelante acciones necesarias se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada
sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas vivas.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
Toda la unidad trata del estudio y comprensión de distintos diseños geométricos. El aprendizaje de las técnicas para hallar los elementos característicos permitirá que los alumnos adquieran la capacidad de percibir y comprender las producciones del mundo del arte.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Reconocer cuerpos de revolución y determinar el área y el volumen de cilindros, conos y esferas.
❚❚ Identificar cortes de planos y esferas.
❚❚ Conocer la esfera terrestre, utilizar husos horarios y manejar coordenadas geográficas.
❚❚ Clasificar y calcular áreas y volúmenes de cuerpos de revolución.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los cuerpos de revolución.
Unidades didácticas 294
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución
de problemas relacionados con la geometría del espacio. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los
contenidos y procedimientos estudiados sobre los cuerpos de revolución, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos
contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de cuerpos de revolución pueden acceder a las lecciones 1107,
1122, 1136 y 1138 de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Cilindros y conos
Troncos de conos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
Competencias
clave
1. Reconocer cilindros y conos como cuerpos
de revolución.
2. Identificar troncos de cono como cuerpos
de revolución.
3. Reconocer cuerpos de revolución en
diferentes contextos.
1.1. Describe los elementos y propiedades
métricas de cilindros y conos.
2.1. Conoce los elementos y propiedades
métricas de troncos de cono.
3.1. Identifica y crea cuerpos de revolución.
2, 3, 5
G1
4, 6
Área y volumen de
cilindros
4. Comprender y aplicar las fórmulas para el
cálculo de áreas y volúmenes de cilindros.
4.1. Calcula áreas y volúmenes de cilindros.
9-11
63-65
12-21
66-70
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Área y volumen de
conos
Área y volumen de los
troncos de conos
5. Comprender y aplicar las fórmulas para el
cálculo de áreas y volúmenes de conos.
5.1. Obtiene áreas y volúmenes de conos.
5.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de
conos para resolver problemas.
6.1. Calcula áreas y volúmenes de troncos de
cono.
22, 71, 72
24, 73, 74
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Esferas
Intersecciones de
planos y esferas
7. Reconocer la esfera como cuerpo de
revolución.
8. Identificar las intersecciones que se
obtienen al cortar una esfera por uno o más
planos.
7.1. Describe la esfera y sus elementos.
26, 27, 29
8.1. Reconoce, dibuja y aplica propiedades
métricas en semiesferas, casquetes, zonas, cuñas
y husos esféricos.
25, 28
79, 81, 82
Matemáticas
vivas 1
Área y volumen de
esferas
9. Deducir la forma adecuada para hallar el
área y el volumen de esferas.
9.1. Calcula área y volumen de esferas, área de
husos y volumen de cuñas esféricas.
9.2. Relaciona elementos, área y volumen de
esferas para resolver problemas.
30, 35, 83, 86
Matemáticas vivas 3
31-34, 36-38
80, 84, 85, 87-89
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Composición
de cuerpos de
revolución
10. Reconocer cuerpos compuestos por
cuerpos de revolución y determinar su área y
su volumen.
10.1. Obtiene el área y el volumen de cuerpos
compuestos por cuerpos de revolución.
39-44
90, 91
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
La esfera terrestre
Elementos de la esfera
terrestre
11. Conocer los elementos de la superficie
terrestre.
11.1. Reconoce los elementos de la superficie
terrestre.
11.2. Identifica husos horarios y determina
diferencias horarias.
12.1. Reconoce coordenadas geográficas
y calcula distancias entre dos puntos de la
superficie terrestre.
50-52
92, 96
45-49
100-103
53-62
93-95, 97-99
104-106
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Coordenadas
geográficas
Unidades didácticas 6. Deducir la forma adecuada para calcular
áreas y volúmenes de troncos de conos.
12. Identificar el sistema de coordenadas
geográficas.
4.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de
cilindros para resolver problemas.
295
1, 7, 8
23, 75, 78
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
CCEC
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Formas naturales
1. Cilindros y conos
• Troncos de cono
2. Área y volumen de cilindros
3. Área y volumen de conos
• Área y volumen de los troncos de
cono
Vídeo. Área y volumen de un cono
4.Esferas
• Intersecciones de planos y esferas
5. Área y volumen de esferas
6.Composición de cuerpos de
revolución
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Vídeo. Área y volumen de un cuerpo de
revolución compuesto
7. La esfera terrestre
• Elementos de la esfera terrestre
8. Coordenadas geográficas
Comprende y resuelve
problemas
¿Qué tienes que saber?
• C
ilindros
• Conos y troncos de cono
• E sferas
Practica+
MisMates.es
Lecciones 1107, 1122, 1136 y
1138 de la web
www.mismates.es
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas
Astronomía
• Estudio de cuerpos celestes
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Cabezas juntas
numeradas de Spencer Kagan
Avanza
Razones trigonométricas de un
ángulo agudo
Geometría en el arte
Cuerpos geométricos en la
arquitectura
Unidades didácticas 296
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
10
Sugerencias didácticas
En esta esta unidad los alumnos aprenderán a generar
cuerpos de revolución y a calcular sus áreas y volúmenes.
Resultará muy atractivo el epígrafe sobre la esfera terrestre.
Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que
tengan que recordar cómo se halla la longitud de una circunferencia y de un arco, así como el cálculo del área de un
círculo y de un sector circular. Al terminar la unidad debemos asegurarnos de que los alumnos son capaces de calcular áreas y volúmenes de cuerpos de revolución e interpretar
las coordenadas de un punto en la esfera terrestre. Será
importante que realicen dibujos representativos de actividades propuestas, y no debería presentar problema el correcto manejo de la calculadora. Haremos hincapié en que su
forma de argumentar y comunicar sea, en todo momento,
mediante la utilización del lenguaje matemático adecuado.
CUERPOS
DE REVOLUCIÓN
IDEAS PREVIA
S
Los cuerpos de revolución se obtienen al girar una figura
plana alrededor de una recta que se denomina eje de giro. Por
ejemplo, si impulsas una moneda para hacerla girar, podrás
observar que aparentemente se crea una esfera.
una
❚ Longitud de
y de un arco.
circunferencia
ulo y de
círc
un
❚ Área de
.
un sector circular
La forma esférica aparece con frecuencia en la naturaleza.
Dado un cierto volumen, esta forma lo contiene con la mínima
superficie y, por tanto, con el menor gasto energético. Las
pompas de jabón generadas por la tensión superficial del agua
con jabón constituyen un buen ejemplo de esto.
Los cucuruchos de galleta en los que se colocan las bolas
de helado, así como muchos de los envases que utilizamos a
diario, son también cuerpos de revolución.
REPASA LO QUE SABES
1. Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.
2. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de
longitud?
3. Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide
10 cm si tiene una amplitud de 30º.
4. Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.
Contenido WEB. FORMAS NATURALES
5. ¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso
TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explica cómo se utilizan cuerpos
de revolución en la naturaleza y en la ingeniería para obtener las
figuras más adecuadas a la función que se realiza. Puede utilizarse
para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un
interés especial.
6. Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su
radio mide 8 cm.
[
Matemáticas en el día a día
mac3e36
]
El estudio de la naturaleza ha permitido crear estructuras
que imitan sus formas y obtienen los mejores resultados para
situaciones cotidianas. El uso de conos, cilindros y esferas
mejora las condiciones energéticas, acústicas o económicas
de un objeto o de una construcción.
183
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.
L = 2 ∙ π ⋅ 6 = 37,68 m
2.¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de longitud?
2πr = 15 → r = 2,39 cm
3.Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm si tiene una amplitud de 30º.
30 º
L = 2 ⋅ π ⋅10 ⋅
= 5,23 cm
360 º
4.Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.
r = 3 → A = π ⋅ 32 = 28,26 m2
5.¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?
πr2 = 1 256 → r = 20 cm
6.Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su radio mide 8 cm.
45º
A = π ⋅ 82 ⋅
= 25,12 cm2
360 º
Unidades didácticas 297
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
1. Cilindros y conos
10
Aprenderás a…
●
Reconocer cilindros, conos
y troncos de cono como
cuerpos de revolución.
1. CILINDROS Y CONOS
Juanjo ha pasado la tarde
fabricando
banderines
para
animar la próxima carrera
solidaria de su barrio.
Al hacer girar la varilla en la
que ha sujetado una pieza
rectangular, ha obtenido lo que
parece un cilindro.
Recuerda
❚ El segmento que genera
el cilindro como cuerpo
de revolución se llama
generatriz, g.
Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace
girar un rectángulo sobre un eje paralelo a uno de sus lados.
❚ La altura, h, de un cilindro es
la distancia entre sus bases.
Un cilindro recto tiene una superficie lateral que es un rectángulo y dos bases
que son círculos.
1
Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:
a) Cilindros.
b) Conos.
c) Troncos de cono.
2
Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro.
Si este cilindro ha sido generado haciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor,
¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
3
Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio
mide 3 cm.
4
¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer
girar este trapecio sobre el eje vertical?
Halla la longitud del lado desconocido del
trapecio e indica a qué elemento del cuerpo
corresponde.
❚ El segmento que genera el
tronco de cono como cuerpo
de revolución se llama
generatriz, g.
❚ La altura, h, de un tronco de
cono es la distancia entre sus
bases.
Al cortar un cono recto por
un plano paralelo a su base,
obtenemos un tronco de cono y
un cono más pequeño.
Cono
5
Un cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar
un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene uno de sus catetos. Uno de
sus extremos es el vértice del cono.
Un cono recto tiene una superficie lateral que es un sector circular y una base
que es un círculo.
Troncos de cono
Recuerda
Presta atención
8 cm
18 cm
Recuerda
❚ La altura, h, de un cono es la
distancia entre su vértice y el
centro de su base.
Y
12 cm
Cuando Juanjo elige otro
banderín en el que ha colocado
una pieza con la forma de un
triángulo rectángulo y lo hace
girar, obtiene lo que podría ser
un cono.
❚ El segmento que genera
el cono como cuerpo
de revolución se llama
generatriz, g.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
Fíjate en el triángulo.
a) ¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico
que se obtiene cuando el triángulo gira
sobre el eje horizontal?
b) Halla la longitud del radio de la base del
cuerpo obtenido con el giro del apartado
anterior.
c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que
se obtiene al girar el triángulo sobre el eje
vertical?
d) Calcula el área de la base del cuerpo
obtenido con el giro del apartado anterior.
X
Y
6 cm
2 cm
X
6
Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio
rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm y 10 cm, respectivamente.
7
Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre
el lado AE.
María, la hermana de Juanjo,
ha tenido la idea de cortar los
triángulos rectángulos antes
de pegarlos a la varilla. De este
modo, ha obtenido trapecios
rectángulos y, al hacer girar un
banderín así construido, ha visto
como aparecía un tronco de
cono.
Tronco
de cono
B
D
C
A
E
Investiga
8
Un tronco de cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se
hace girar un trapecio rectángulo sobre un eje que contiene el lado perpendicular
a sus bases.
Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.
a) Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico
obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?
b) Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un
cuerpo de revolución?
Un tronco de cono recto tiene una superficie lateral que es un trapecio circular y
dos bases que son círculos.
184
185
Sugerencias didácticas
y como la sección de un cono por un plano paralelo a la
base.
La comprensión de las figuras de cilindro y cono como cuerpos de revolución no presentará problemas, pero estaremos
atentos a la comprensión y dibujo de los elementos básicos.
El teorema de Pitágoras será clave para la resolución de alguna de las actividades propuestas.
Será importante el reconocimiento de un tronco de cono
como el cuerpo generado por un trapecio rectángulo
Soluciones de las actividades
1 Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:
a)Cilindros.
b)Conos.
c) Troncos de cono.
Respuesta abierta, por ejemplo:
a)La base de una lámpara de mesa, una cacerola y un jarrón.
b)Un embudo, la punta de un bolígrafo y una copa.
c) La pantalla de una lámpara, un recipiente para bolígrafos y un vaso.
2 Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro. Si este cilindro ha sido generado ha-
ciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
El rectángulo ha de tener 20 cm de altura y 2 cm de base.
3 Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio mide 3 cm.
g=
122 + 32 = 12,37 cm
Unidades didácticas 298
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
4 ¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer girar este trapecio sobre el eje vertical?
10
Y
Halla la longitud del lado desconocido del trapecio e indica a qué elemento del cuerpo
corresponde.
8 cm
Se obtiene un tronco de cono.
El lado desconocido mide: a = 122 + 102 = 15,62 cm
Este segmento corresponde a la generatriz del tronco de cono.
12 cm
18 cm
X
Y
5 Fíjate en el triángulo.
a)¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico que se obtiene cuando el triángulo gira
sobre el eje horizontal?
b)Halla la longitud del radio de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado
anterior.
c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el triángulo sobre el
eje vertical?
6 cm
d)Calcula el área de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.
a)Se obtiene un cono.
2 cm
b)El radio del cono mide: r = 62 − 22 = 5,66 cm
c) También se obtiene un cono.
X
d)Ab = π ⋅ 22 = 12,56 cm2
6 Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm
y 10 cm, respectivamente.
Ab1 = π ⋅ 82 = 200,96 cm2
Ab2 = π ⋅ 102 = 314 cm2
7 Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre el lado AE.
Investiga
8 Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.
a)Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico obtienes?
¿Es un cuerpo de revolución?
b)Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de
revolución?
a)Se obtiene un cilindro oblicuo. No es un cuerpo de revolución ya que la altura no coincide con la generatriz.
b)Se obtiene un cono oblicuo. No es un cuerpo de revolución porque la altura no coincide con la generatriz.
Unidades didácticas 299
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
2. Área y volumen de cilindros
10
Aprenderás a…
●
Deducir la forma más
adecuada para obtener
el área y el volumen de
cilindros.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
2. ÁREA Y VOLUMEN DE CILINDROS
Ángela tiene una moto de dos cilindros. Los cilindros de un motor son unas piezas
metálicas capaces de resistir las altas temperaturas que se producen por las constantes
explosiones del combustible. Estas explosiones originan la fuerza mecánica del
motor, que es la que después se transforma en el movimiento de la moto.
9
La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área
total y su volumen.
10
Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm × 5 cm. Halla el área del cilindro
que se obtiene haciendo girar el rectángulo sobre el lado de 2 cm.
Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el
rectángulo sobre el lado de 5 cm.
11
Calcula el volumen de estos cilindros.
a)
b)
15 cm
10 c
• Hay motores
de un
cilindro, com
o los de las
motosierras o
algunas
motocicletas
pequeñas,
y los hay de hast
a 16
cilindros, com
o los que
equipan algu
nos
autobuses, cam coches,
iones o
aviones.
• La cilindrad
a de un
vehículo es la
form
de medir el tam a
año de
su motor. Se
obtiene
sumando los
volúmenes
de unas piez
as llamadas
pistones que
se sitúan
en el interior
de cada
cilindro. Es frec
uen
hablar, por ejem te
plo, de
un motor de
2 000 cm 3
o de su equival
ente, un
motor de 2 L.
m
12 cm
En tu vida
diaria
8
¿Cómo puede Ángela hallar el área y el volumen de uno de los cilindros de su moto?
cm
12
Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura
cuyo diámetro es de 10 m.
13
Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura
y 1 cm de diámetro.
14
Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que
abarcará con cada vuelta completa del rodillo?
15
Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm,
¿cuál es su altura?
16
Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su
altura es el triple que su radio.
17
Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es
de 62,8 dm.
18
Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm,
halla la altura del cilindro.
19
La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si
tiene una altura de 10 m?
20
Halla el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.
Para determinar el área, primero dibujamos el desarrollo plano de uno de los cilindros.
3 cm
3 cm
4 cm
❚ El área lateral es el área del rectángulo cuya base mide la longitud de las
circunferencias de las bases del cilindro.
AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 4 = 75,36 cm2
❚ El área total es la suma del área lateral y las áreas de los dos círculos.
AT = AL + 2Ab = 75,36 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2
❚ Calculamos la capacidad del cilindro aplicando el principio de Cavalieri, que nos
permite hallar el volumen del cilindro:
V = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 28,26 ⋅ 4 = 113,04 cm3
❚ El área lateral de un cilindro recto, AL, es el área del rectángulo que forma su
cara lateral.
AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
❚ El área total de un cilindro recto, AT , es la suma del área lateral y las áreas de
las dos bases.
DESAFÍO
AT = AL + 2Ab = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r2
❚ El volumen de un cilindro recto, V, es el producto del área de la base por la altura.
21
V = Ab ⋅ h = π ⋅ r ⋅ h
2
Una vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál
será el volumen de la parte de la vela que queda después de 4 h encendida?
186
187
Sugerencias didácticas
El cálculo del volumen no presentará problemas, pero debemos insistir en la utilización correcta de las medidas de
capacidad.
En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular el área
lateral, el área total y el volumen de un cilindro recto.
Es recomendable que los alumnos no aprendan las fórmulas de memoria, el cálculo de las áreas lo plantearemos a
partir del desarrollo plano del cilindro.
También es recomendable que los alumnos realicen las
actividades propuestas para superar los posibles inconvenientes que pueden encontrarse, tanto gráficos como de
cálculo numérico.
Soluciones de las actividades
9 La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 6 = 113,04 m2
AT = 113,04 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 113,04 + 56,52 = 169,56 m2
V = π ⋅ 32 ⋅ 6 = 169,56 m3
10 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm x 5 cm. Halla el área del cilindro que se obtiene haciendo girar el rectán-
gulo sobre el lado de 2 cm.
Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el rectángulo sobre el lado de 5 cm.
Girando sobre el lado de 2 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 52 = 219,8 cm2
Al girar sobre el lado de 5 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ π ⋅ 22 = 87,92 cm2
Por tanto, las áreas laterales coinciden pero las totales no.
Unidades didácticas 300
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
11 Calcula el volumen de estos cilindros.
a)
b)
m
15 c
10 c
m
12 cm
8
cm
a)r = 7,5 cm → V = π ⋅ 7,5 ⋅ 12 = 2 119,5 cm3
2
b) h =
102 − 82 = 6 cm y r = 4 cm → V = π ⋅ 42 ⋅ 6 = 301,44 cm3
12 Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura cuyo diámetro es de 10 m.
r = 5 m → V = π ⋅ 52 ⋅ 15 = 1 177,5 m3 = 1 177 500 L
13 Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura y 1 cm de diámetro.
r = 0,5 cm → V = π ⋅ 0,52 ⋅ 11 = 8,64 cm3
14 Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que abarca-
rá con cada vuelta completa del rodillo?
La superficie de la pared que abarcará con cada vuelta del rodillo coincide con el área
lateral del cilindro.
r = 5 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 25 = 785 cm2
15 Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm, ¿cuál es su altura?
r = 3,25 cm → 330 = π ⋅ 3,252 ⋅ h → h = 9,95 cm
16 Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su altura es el triple que su radio.
r = 7 cm → h = 21 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 7 ⋅ 21 = 923,16 cm2
17 Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es de 62,8 dm.
62,8 = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 dm
18 Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm, halla la altura del cilindro.
3 500 = 2 ⋅ π ⋅ 17,5 ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ 17,52 → h = 14,35 dm
19 La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si tiene una altura de 10 m?
3 140 = π ⋅ r2 ⋅ h → r = 10 m
20 Calcula el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.
1 000 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5,64 m → d = 11,28 m
Desafío
21 Una vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál será el volumen
de la parte de la vela que queda después de 4 h encendida?
El volumen de la vela es: V = π ⋅ 32 ⋅ 15 = 423,9 cm3
Después de 4 h = 240 min, la altura del cilindro se habrá reducido: 240 : 40 = 6 cm
Entonces la altura de la vela será: 15 − 6 = 9 cm
Luego, su volumen será: V = π ⋅ 32 ⋅ 9 = 254,34 cm3
Unidades didácticas 301
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
3. Área y volumen de conos
10
Aprenderás a…
●
Deducir la forma más
adecuada para obtener el
área y el volumen de conos y
troncos de cono.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
3. ÁREA Y VOLUMEN DE CONOS
EJERCICIO RESUELTO
Sofía y su hermana se han comprado
unos helados con forma de cono.
}
¿Cuál es la superficie que cubre el
envoltorio de papel?
Determina el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto cuyo
radio mide 4 cm si su altura es de 3 cm.
Solución
¿Qué volumen ocupa el helado en
su interior?
Recuerda
Podemos calcular el área de un
sector circular con la fórmula:
A = πr 2 ⋅
α
Al desenvolver el helado, podemos observar que la superficie lateral corresponde a
un sector circular.
donde r es la longitud del radio
del círculo y α es la amplitud
del ángulo que abarca el sector
circular.
mac3e37
❚ El radio del sector tiene la longitud de
la generatriz, g.
360°
g
22
❚ La amplitud del ángulo que abarca el
sector mide: 2πr
h
EJERCICIO RESUELTO
❚ Como el círculo completo abarca un
ángulo de 2πg, el área lateral es:
r
AL = πg ⋅
2
r
2πr
2πg
}
= πrg
Calcula las áreas lateral y total, y el volumen de un tronco de cono recto de
12 m de altura si los radios de las bases miden 4 m y 9 m, respectivamente.
Solución
g
Para calcular el área lateral, hallamos la generatriz
aplicando el teorema de Pitágoras:
Presta atención
g=
❚ La medida del envoltorio completo corresponde al área total formada por la del
sector circular y la del círculo de la base: AT = πrg + πr2
❚ El área lateral de un cono recto, AL, es el área del sector circular que forma su
cara lateral.
AL = πrg
c
h
52 + 122 = 13 m
4m
Observamos los triángulos determinados por
las generatrices y los radios de las bases y
comprobamos que están en posición de Tales.
c
c + 13
=
→ 9c = 4 c + 52
4
9
❚ El volumen que puede contener el envoltorio del helado corresponde al volumen
del cono recto, que, como ocurre con la pirámide, coincide con la tercera parte del
volumen de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura.
G
g
12 m
5c = 52 → c = 10,4 m
Presta atención
También podemos calcular el área
lateral y el volumen del tronco de
cono recto mediante las siguientes
fórmulas:
AL = π ⋅ (R + r) ⋅ g
9m
Por tanto, la generatriz del cono mide:
G = 13 + 10,4 = 23,4 m
❚ El área total de un cono recto, AT , es la suma del área lateral y el área de la base.
V =
El área lateral es: AL = πRG − πrc = π ⋅ 9 ⋅ 23,4 − π ⋅ 4 ⋅ 10,4 = 530,66 m
π ⋅ ( R2 + r 2 + R ⋅ r ) ⋅ h
3
2
AT = AL + Ab = πrg + πr2
Necesitamos el contenido de tres
conos para completar la capacidad
de un cilindro con la misma base
y altura.
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de
altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.
El área total es: AT = AL + πR2 + πr2 = 530,66 + π ⋅ 92 + π ⋅ 42 = 835,24 m2
❚ El volumen de un cono recto, V, es un tercio del producto del área de la base
por la altura.
A ⋅ h πr 2 ⋅ h
V = b
=
3
3
Para hallar el volumen del tronco, consideramos los conos que tienen como bases
las del tronco. Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, obtenemos la altura de
El volumen es: V =
23
❚ El área total de un tronco de cono recto, AT , es la suma del área lateral y
las áreas de las bases.
V =
π ⋅ ( 92 + 42 + 9 ⋅ 4 ) ⋅12
3
πR2 ⋅ H
3
−
πr 2 ⋅ h
3
=
π ⋅ 92 ⋅ 21,6
3
−
=
V = 1 670,48 m3
Así, la altura del otro cono es: H = 12 + 9,6 = 21,6 m
❚ El área lateral de un tronco de cono recto, AL, se puede hallar calculando
la diferencia entre las áreas laterales de los conos cuyas bases corresponden a
las bases del tronco.
AL = π ⋅ (9 + 4) ⋅ 13 = 530,66 m2
10, 42 − 42 = 9,6 m
uno de los conos: h =
Área y volumen de los troncos de cono
En el ejercicio resuelto:
π ⋅ 42 ⋅ 9,6
3
= 1 670, 48 m3
Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm
y 2 dm, respectivamente. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
DESAFÍO
24
❚ El volumen de un tronco de cono recto, V, se puede calcular hallando la diferencia
entre los volúmenes de los conos cuyas bases corresponden a las bases del tronco.
Halla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la base mide
6 m y que se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.
188
189
Sugerencias didácticas
Puede resultar complicado el aprendizaje del cálculo de
áreas y volumen de un tronco de cono, para empezar debemos realizar alguna actividad en la que traten el tronco
como diferencia de dos conos.
En este epígrafe los alumnos aprenderán a determinar el
área lateral, el área total y el volumen de conos y troncos
de cono rectos.
Es imprescindible que el alumnado sea capaz de identificar
y reconocer los elementos principales de los conos.
El teorema de Tales nos permitirá relacionar la altura de un
tronco con la altura del cono.
El desarrollo plano, en los ejercicios que realicen, les será
de gran utilidad para comprender cómo ha de calcularse el
área lateral y el área total.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio resuelto, indicando cómo calcular el área lateral, el área total y el volumen de un
cono recto.
Es importante que relacionen el volumen de un cono con
un tercio del volumen de un cilindro que tenga la misma
base y altura.
Unidades didácticas Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como
recurso para que los alumnos lo repasen.
302
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
Soluciones de las actividades
22 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.
g=
182 + 62 = 18,97 cm
AL = π ⋅ 6 ⋅ 18,97 = 357,39 cm2
AT = 357,39 + π ⋅ 62 = 470,43 cm2
π ⋅ 62 ⋅18
V =
= 678,24 cm3
3
23 Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm y 2 dm, respectivamente. Calcula su
área lateral, su área total y su volumen.
g=
52 + 12 = 5,1 dm
AL = π ⋅ (2 + 1) ⋅ 5,1 = 48,04 dm2
AT = 48,04 + π ⋅ 22 + π ⋅ 12 = 63,74 dm2
π ⋅ ( 22 + 12 + 2 ⋅1) ⋅ 5
V =
= 36,63 dm3
3
Desafío
24 Halla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la base mide 6 m y que
se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.
π ⋅ 3 ⋅ g = 47,1 → g = 5 m
Como la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: h =
Unidades didácticas 303
52 − 32 = 4 m
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
4. Esferas
10
Aprenderás a…
●
Reconocer la esfera como
cuerpo de revolución.
●
Identificar las intersecciones
que se obtienen al cortar una
esfera por uno o más planos.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
4. ESFERAS
25
Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio
mide 5 cm.
a) Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.
b) La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.
c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.
d) La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.
e) Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.
26
Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una
circunferencia máxima.
b) Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una
superficie esférica.
Elisa ha comprado un móvil para
colocarlo en su terraza con la idea
de que se mueva propulsado por
el viento.
Cuando giran las piezas con
forma de semicírculo, parece
que el móvil está formado por
esferas de colores.
Una esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un
semicírculo alrededor de un eje que contiene su diámetro.
❚ Una esfera tiene una sola cara, llamada superficie esférica.
EJERCICIO RESUELTO
❚ Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto fijo, denominado
centro de la esfera.
}
❚ La distancia que separa los puntos de la superficie del centro recibe el nombre de
radio de la esfera.
❚ Corte de una esfera por un plano que
pasa por su centro.
La distancia entre A y B es igual a la longitud del
arco de la circunferencia máxima que los contiene,
correspondiente al ángulo de 45º de amplitud:
❚ Corte de una esfera por un plano que
no pasa por su centro.
La esfera no tiene desarrollo
plano.
d ( A, B ) = 2π ⋅ 4 ⋅
Se obtiene un círculo máximo
delimitado por una circunferencia
máxima. Cada parte en las que queda
dividida la esfera es una semiesfera.
Se obtienen dos partes. Cada una de
ellas es un casquete esférico.
❚ Corte de una esfera por dos planos
paralelos.
❚ Corte de una esfera por dos planos
secantes que pasan por su centro.
Podemos calcular la longitud
del arco de una circunferencia
aplicando la fórmula:
Solución
Intersecciones de planos y esferas
Presta atención
Recuerda
Calcula la distancia entre los puntos A y B de
la superficie esférica si el radio de la esfera
mide 4 m.
45°
360°
O•
45º
•
A
L = 2πr ⋅
•
B
= 3,14 m
27
Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:
a) Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por
el centro de la esfera forman un ángulo de 10º.
b) Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y
por el centro de la esfera forman un ángulo de 60º.
c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la
esfera y por los puntos forman un ángulo de 25º.
28
Un plano que corta a una esfera de 14 cm de
radio dista 9 cm de su centro.
a) ¿Cuál es la longitud del radio del círculo
determinado por el corte del plano a la
esfera?
b) Calcula la altura del casquete esférico
determinado por el corte del plano.
α
360°
donde r es la longitud del
radio de la circunferencia, y α
corresponde a la amplitud del
ángulo que determina el arco.
h
• r
Investiga
29
Se obtiene una zona esférica
formada por la parte de la superficie
esférica comprendida entre ambos
planos.
El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de
1958, es una estructura formada por esferas. Busca en Internet
sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias
máximas de cada esfera.
Se obtiene dos partes. Cada una de
ellas es una cuña esférica.
El huso esférico es la parte de la
superfie esférica que corresponde a
una cuña esférica.
190
191
Sugerencias didácticas
También deben reconocer qué es una semiesfera, un casquete esférico, una zona esférica, una cuña y un huso esférico. Debemos conseguir que sean capaces de expresar
verbalmente cómo se obtienen. Será necesario utilizar el
teorema de Pitágoras en el cálculo de secciones planas de
una esfera.
Es importante que los alumnos reconozcan que la esfera no
admite desarrollo plano.
Deberán aprender a calcular la distancia entre dos puntos
de la superficie esférica, no resultará difícil que entiendan
que se trata de calcular la longitud de un arco de circunferencia.
Soluciones de las actividades
25 Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio mide 5 cm.
a)Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.
b)La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.
c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.
d)La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.
e)Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.
Unidades didácticas 304
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
a)
c) 10
e)
4 cm
90º
5c
5 cm
b)
m
d)
4 cm
30º
5 cm
5c
m
26 Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una circunferencia máxima.
b)Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una superficie esférica.
a)Verdadera, ya que la distancia más corta entre dos puntos es el arco de circunferencia máxima que pasa por ellos.
b)Falsa, porque por tres puntos no alineados siempre es posible construir una circunferencia que pase por todos ellos
pero no ha de ser siempre una circunferencia máxima de la esfera que los contiene.
27 Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:
a)Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo
de 10º.
b)Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un
ángulo de 60º.
c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la esfera y por los puntos forman un ángulo
de 25º.
10 º
a) d ( A, B ) = 2 π ⋅ 20 ⋅
= 3, 49 cm
360 º
60 º
b) d ( A, B ) = 2 π ⋅ 5 ⋅
= 5,23 cm
360 º
25º
c) d ( A, B ) = 2 π ⋅16 ⋅
= 6,98 dm
360 º
28 Un plano que corta a una esfera de 14 cm de radio dista 9 cm de su centro.
a)¿Cuál es la longitud del radio del círculo determinado por el corte del plano a la esfera?
b)Calcula la altura del casquete esférico determinado por el corte del plano.
a)El radio de la esfera, la distancia del centro de la esfera al plano y la longitud del radio del círculo generado por el corte
forman un triángulo rectángulo. Así, aplicando el teorema de Pitágoras: r =
142 − 92 = 10,72 cm
b)h = 14 − 9 = 5 cm
Investiga
29 El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de 1958, es una estructura formada por esferas. Busca en
Internet sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias máximas de cada esfera.
El diámetro de las esferas mide 18 m.
Entonces la longitud de las circunferencias máximas mide: L = 2 ⋅ π ⋅ 9 = 56,52 m
Unidades didácticas 305
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
5. Área y volumen de esferas
10
Aprenderás a…
●
Deducir la forma más
adecuada para hallar el área
y el volumen de esferas y
cuerpos esféricos.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
5. ÁREA Y VOLUMEN DE ESFERAS
30
El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.
Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a. C.),
físico, ingeniero y matemático griego, inventor
de la polea, la rueda dentada o la palanca,
dedicó dos de sus libros a la relación que existe
entre los cuerpos de revolución: el cilindro,
el cono y la esfera.
31
Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad
de la superficie dentro del agua.
a) Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.
b) Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.
r
•
2r
Arquímedes demostró que el área de una
esfera es igual al cuádruple del área de su
círculo máximo. Para ello, imaginó la esfera
dentro de un cilindro cuya altura y cuyo
diámetro coincidiesen con el de la esfera.
32
El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.
33
El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.
34
Calcula la cantidad de material plástico de
cada color que se necesita para construir un
balón como el de Manuel si cada franja tiene
4 cm de altura.
Entonces:
Aesfera = AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 2r = 4πr2
De igual forma, el área de un casquete esférico y de una zona esférica coinciden
con el área lateral de un cilindro con la misma altura y el mismo diámetro.
h
•
EJERCICIO RESUELTO
r
• r
}
h
Dos planos secantes que forman un ángulo de 30º cortan una esfera cuyo
radio mide 5 cm y pasan por su centro. Calcula:
a) El volumen de la cuña esférica determinada por estos planos.
b) El área del huso esférico correspondiente a esta cuña.
Acasquete esférico = 2πrh
Solución
Azona esférica = 2πrh
a) El volumen de la cuña esférica es proporcional al volumen
de la esfera.
El área de una esfera de radio r es: A = 4πr2
V = Vesfera ⋅
Para determinar el volumen de la esfera, Arquímedes demostró que el volumen
de una semiesfera coincide con el de un cilindro con la misma altura y el mismo
diámetro al que se le resta el volumen de un cono con las mismas dimensiones.
r
=
4
3
π ⋅ 53 ⋅
30 º
360 º
= 43,61 cm3
b) Del mismo modo, el área del huso esférico es proporcional
al área de la esfera.
A = Aesfera ⋅
•
30 º
360 º
30 º
360 º
= 4 π ⋅ 52 ⋅
30 º
360 º
= 26,17 cm3
•
r
35
Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el
radio de la esfera mide 8 cm, halla:
a) El área del huso esférico determinado por los planos.
b) El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.
36
¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera
de radio 3a?
37
El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la
longitud del radio de la esfera que tiene el mismo volumen que este cilindro.
r
•
r
•
Vsemiesfera = Vcilindro = Vcono = πr 2 ⋅ r −
πr ⋅ r
2
3
Así pues, el volumen de la esfera es el doble: Vesfera = 2 ⋅
2
3
=
2
3
r
πr 3
πr 3 =
4
3
Investiga
πr 3
38
El volumen de una esfera de radio r es: V =
4
3
Responde razonadamente:
a) Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?
πr 3
b) Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?
192
193
Sugerencias didácticas
La obtención del volumen de la esfera podemos ilustrarla
con el dibujo de la semiesfera, el cilindro y el cono con las
mismas dimensiones de radio y altura.
Presentaremos a los alumnos la demostración del área de
una esfera razonando que coincide con el área lateral del
cilindro circunscrito a ella y con altura de igual longitud que
el diámetro.
Para que resulte sencilla la comprensión de cómo ha de
calcularse el volumen de una cuña esférica y la obtención
del área de un huso esférico se propone realizar el ejercicio
resuelto.
Es importante que entiendan de la misma forma cómo ha
de calcularse el área de un casquete y de una zona esférica,
coincidiendo de la misma forma con el cilindro con la altura
correspondiente.
Soluciones de las actividades
30 El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.
A = 4 ⋅ π ⋅ 22 = 50,24 cm2
4
V = ⋅ π ⋅ 23 = 33, 49 cm3
3
31 Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad de la superficie dentro del agua.
a)Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.
b)Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.
1 4
a)Vsemiesfera = ⋅ ⋅ π ⋅113 = 2786,22 cm3
2 3
b)Asemiesfera = 2 ⋅ π ⋅ 112 = 759,88 cm2
Unidades didácticas 306
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
32 El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.
314 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 5 cm
33 El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.
113,4 =
4
⋅ π ⋅ r3 → r = 3 m
3
El diámetro mide 6 m.
34 Calcula la cantidad de material plástico de cada color que se necesita para construir
un balón como el de Manuel si cada franja tiene 4 cm de altura.
Como las franjas tienen la misma altura, el área de los casquetes esféricos y de las
zonas esféricas coincide:
A = 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 4 = 602,88 cm2
Se necesitan 602,88 cm2 de material
de cada color.
35 Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el radio de la esfera mide 8 cm, halla:
a)El área del huso esférico determinado por los planos.
b)El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.
90 º
a) A = 4 ⋅ π ⋅ 82 ⋅
= 200,96 cm2
360 º
4
90 º
b)V = ⋅ π ⋅ 83 ⋅
= 535,89 cm3
3
360 º
36 ¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera de radio 3a?
4
V1 = ⋅ π ⋅ a3
3
4
4
4
V2 = ⋅ π ⋅ (3a)3 = ⋅ π ⋅ 27 a3 = 27 ⋅ ⋅ π ⋅ a3 = 27V1
3
3
3
El volumen de la esfera de radio 3a es 27 veces el de la de radio a.
37 El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la longitud del radio de la esfera que tiene el
mismo volumen que este cilindro.
V = π ⋅ 62 ⋅ 8 = 904,32 m3
4
904,32 = ⋅ π ⋅ r 3 → r = 6 m
3
Investiga
38 Responde razonadamente:
a)Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?
b)Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?
a)La esfera tiene menor área.
b)El cubo tiene menor volumen.
Unidades didácticas 307
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
6. Composición de cuerpos de revolución
10
6. COMPOSICIÓN DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Aprenderás a…
●
10
Actividades
Cuerpos de revolución
39
Un tentetieso es un juguete infantil. Puede estar formado por una semiesfera o un
casquete esférico en la parte inferior, que contiene una pieza pesada en su interior
que actúa como contrapeso. Así, al modificar su posición de equilibrio estable,
siempre vuelve a su posición inicial.
Obtener el área y el volumen
de cuerpos compuestos por
cuerpos de revolución.
Halla el área y el volumen de cada figura.
a)
Simón y Erica quieren construir un
tentetieso con un material de plástico
flexible.
2 cm
4 cm
•
•
41
Halla el área del cristal de este tubo de ensayo.
Calcula el volumen que puede contener.
42
Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el
de la figura. Halla el volumen de cada envase.
43
Un juguete está formado por dos conos unidos por la
base. ¿Cuál es su volumen?
2 cm
2 cm
¿Qué cantidad de material
necesitarán? ¿Cuál es el volumen
que podría contener?
b)
3m
40
2m
•
Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a
continuación.
mac3e38
El área y el volumen de un cuerpo compuesto por dos o más cuerpos de revolución
se hallan sumando las áreas y los volúmenes de los cuerpos que lo forman.
EJERCICIO RESUELTO
}
DESAFÍO
44
Una arandela de acero forma parte de un mecanismo. Calcula el volumen de la pieza representada.
Solución
m
•
10 c
La pieza está compuesta por un cilindro de cuyo interior
se ha eliminado un cilindro con un radio menor; por tanto:
5 cm
7 cm
V = Vcilindro exterior − Vcilindro interior =
V = π ⋅ 52 ⋅ 5 − π ⋅ 3,52 ⋅ 5 =
V = 125 π − 61,25 π =
V = 63,75π = 200,18 cm3
Crea tu propio tentetieso. Para ello, puedes utilizar
una pelota de tenis, una cartulina, un tornillo con
dos tuercas y cola blanca. Primero corta la pelota
por la mitad e introduce el tornillo con las tuercas
enroscadas en la parte de abajo y centrado. Después
rellena con la cola blanca hasta cubrir las tuercas (no
es necesario llenar toda la semiesfera). Espera 24
horas, tiempo aproximado para que el contrapeso
quede fijo. Con cartulina, construye un cilindro cuya
base coincida con el círculo máximo de la semiesfera,
así como un cono cuyo radio sea 1 cm mayor que el
del cilindro. Pega los tres cuerpos y adorna el juguete
a tu gusto.
194
195
Sugerencias didácticas
En este epígrafe se pondrán en práctica los conocimientos
adquiridos en los anteriores. Los alumnos suelen desarrollar
una actitud muy positiva cuando les proponemos actividades en las que deban observar figuras para su descomposición en otras más pequeñas.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CUERPO
DE REVOLUCIÓN COMPUESTO
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volumen del cuerpo compuesto del ejemplo.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como
recurso para que los alumnos lo repasen.
En el ejercicio de la sección Desafío se propone a los alumnos la construcción real de un cuerpo compuesto utilizando
materiales sencillos. La manipulación del tentetieso propuesto puede ayudar a una mejor comprensión de los ejercicios propuestos.
Soluciones de las actividades
39 Halla el área y el volumen de cada figura.
a)
b)
3m
2 cm
•
4 cm
•
2 cm
2m
•
2 cm
2
2
2
2
2
b) A = 2 ⋅ π ⋅ 5 + 2 ⋅ π ⋅ 2 + π ⋅ ( 5 − 2 ) = 248,06 m
1 4
1 4
A = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 2,83 + 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 4 = 85,78 cm2 V = ⋅ ⋅ π ⋅ 53 + ⋅ ⋅ π ⋅ 23 = 278, 41 m3
2 3
2 3
π ⋅ 22 ⋅ 2
V = 2⋅
+ π ⋅ 22 ⋅ 4 = 66,99 cm3
3
a) g =
22 + 22 = 2,83 cm Unidades didácticas 308
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
40 Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a continuación.
A = π ⋅ 42 + 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 8 + π ⋅ ( 62 − 42 ) + 2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ 6 + π ⋅ 62 =
= 653,12 cm2
41 Halla el área del cristal de este tubo de ensayo. Calcula el volumen
que puede contener.
A = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 282,6 cm2
1 4
V = π ⋅ 32 ⋅12 + ⋅ ⋅ π ⋅ 33 = 395,64 cm3
2 3
42 Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el de la figura.
Halla el volumen de cada envase.
π ⋅ 32 ⋅ 4
V = π ⋅ 32 ⋅12 −
= 301, 44 cm3
3
43 Un juguete está formado por dos conos unidos por la base. ¿Cuál
es su volumen?
Si h1 y h2 son las alturas de los conos:
h1 + h2 =
32 + 42 = 5 cm
⎧⎪ h
⎪⎪ 1 = 3 → h = 1,8 cm
1
⎪3
5
Por semejanza de triángulos: ⎪⎨
⎪⎪ h
4
⎪⎪ 2 = → h2 = 3,2 cm
⎪⎩ 4
5
Entonces: r1 =
V =
32 −1,82 = 2, 4 cm = r2 =
π ⋅ 2, 42 ⋅1,8
3
Unidades didácticas +
π ⋅ 2, 42 ⋅ 3,2
3
42 − 3,22 = 2, 4 cm
= 30,14 cm3
309
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
7. La esfera terrestre
10
●
Aprenderás a…
7. LA ESFERA TERRESTRE
Reconocer los elementos de
la esfera terrestre.
La Tierra es un planeta cuya forma se
aproxima a la de una esfera, que realiza
un doble giro: por un lado, describe
un movimiento de traslación alrededor
del Sol y, por otro, un movimiento de
rotación alrededor de un eje imaginario
inclinado unos 23,5º respecto a la
órbita del Sol, donde están definidos los
puntos llamados polo norte y polo sur.
En tu vida
diaria
Desde la anti
güedad se ha
tratado de perf
eccionar la
disposición de
las regiones
y accidentes
geográficos
en la esfera terr
estre.
Los avances que
han tenido
lugar en la cart
ografía han
permitido el
desarrollo
de los transpo
rtes
la meteorologí ,
a o la
localización vía
satélite.
10
Actividades
Cuerpos de revolución
EJERCICIO RESUELTO
}
Para unificar los horarios de los distintos territorios de la Tierra, la superficie
se ha dividido en 24 husos horarios, según el giro que da el planeta en una
hora alrededor de su eje. Calcula la amplitud de cada huso horario.
Solución
Cada 24 horas, la Tierra gira 360º sobre su eje; por tanto, un huso horario tiene una
amplitud de: 360º : 24 = 15º
La Tierra gira 15º cada hora alrededor de su eje.
La esfera terrestre es una maqueta tridimensional en la que aparecen
representadas las zonas de tierra, los mares y los accidentes geográficos del
planeta Tierra.
45
Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado
en notación científica.
46
Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos
meridianos que forman un ángulo de 120º.
47
Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades
cuando en Greenwich sean las 8 h.
a) Helsinki
c) El Cairo
e) Bombay
b) Río de Janeiro
d) Londres
f) Bangkok
Elementos de la esfera terrestre
❚ El eje terrestre es una recta imaginaria sobre la que gira la Tierra. Los extremos de
este eje se llaman polos: son el polo norte y el polo sur.
❚ Los paralelos son circunferencias determinadas por los planos perpendiculares al eje
terrestre.
❚ La zona es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.
48
Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en
Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la
ciudad de destino cuando aterrice?
49
Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h,
¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto JFK (Nueva York)?
50
Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del
planeta sabiendo que el radio mide 6 371 km, aproximadamente. Expresa los
resultados en notación científica.
51
Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los paralelos son circunferencias máximas.
b) Todos los meridianos son circunferencias máximas.
c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.
d) Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos
paralelos.
e) La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.
❚ El ecuador es una circunferencia de 6 371 km de radio, la de mayor radio sobre la
esfera terrestre, que divide a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio norte y el
hemisferio sur.
❚ Los meridianos son semicircunferencias máximas, cuyos extremos están situados
en los polos.
❚ El meridiano de Greenwich es el meridiano que pasa por el antiguo observatorio
de la localidad inglesa del mismo nombre, también denominado meridiano 0. Divide
a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio oriental y el hemisferio occidental.
En tu vida
diaria
• Un día es el
período de
tiempo que tran
scurre
desde que el
Sol está
sobre el mer
idiano de un
lugar hasta que
vuelve
a situarse en
la misma
posición. Por
lo tanto,
todos los pun
tos de un
meridiano tien
en
misma hora sola la
r.
• Para establec
er el
horario, se tom sistema
a como
referencia el
meridiano 0.
Los relojes indi
can las
12 h cuando
el Sol pasa
por este mer
idiano.
Los puntos que
se
encuentran en
los husos
situados hacia
el oeste
marcan, suce
sivamente,
una hora men
os,
mientras que
los que se
encuentran en
los husos
hacia el este
marcan
una hora más
, también
sucesivamen
te.
Investiga
❚ Un antimeridiano es un arco opuesto a un meridiano que completa con él una
circunferencia máxima.
52
Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.
❚ Un huso es una parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.
196
197
Sugerencias didácticas
Las definiciones de los elementos de la esfera terrestre no
presentarán ninguna dificultad, debemos hacer hincapié en
el correcto cálculo de la amplitud de un huso horario.
Es el momento de poner en práctica los conocimientos adquiridos de la geografía terrestre en otras asignaturas. Los
alumnos reconocerán la importancia que tienen las matemáticas en otras disciplinas.
Será del interés del alumnado las actividades propuestas
que hacen referencia a las diferencias horarias.
Soluciones de las actividades
45 Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado en notación científica.
Cada huso horario tiene una amplitud de 15º y el radio de la Tierra es de 6 371 km.
15º
La superficie de cada huso mide: A = 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 ⋅
= 21241912,12 km2 = 2,12 ⋅ 107 km2
360 º
46 Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de
120º.
Como cada huso horario tiene una amplitud de 15º, el número de husos entre las dos ciudades es: 120º : 15º = 8
Por tanto, tienen su diferencia horaria es de 8 h.
Unidades didácticas 310
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
47 Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades cuando en Greenwich sean las 8 h.
a)Helsinki
c) El Cairo
e)Bombay
b)Río de Janeiro
d)Londres
f) Bangkok
a)Las 9 h c) Las 10 h
e)Las 13 h
b)Las 5h d)Las 8 h f) Las 15 h
48 Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de
Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la ciudad de destino cuando aterrice?
Como hay 7 h de diferencia horaria: 6 h + 17 h 30 min + 7 h = 6 h 30 min del día siguiente
49 Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h, ¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto
JFK (Nueva York)?
Como hay 6 h de diferencia horaria: 14 h + 8 h 15 min − 6 h = 16 h 15 min
50 Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del planeta sabiendo que el radio mide
6 371 km, aproximadamente. Expresa los resultados en notación científica.
A = 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 = 5,098 ⋅ 108 km2
4
V = ⋅ π ⋅ 6 3713 = 1,083 ⋅ 1012 km3
3
51 Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)Todos los paralelos son circunferencias máximas.
b)Todos los meridianos son circunferencias máximas.
c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.
d)Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.
e)La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.
a)Falsa, ya que están determinados por planos que son perpendiculares al eje terrestre.
b)Verdadera, los meridianos son circunferencias máximas que pasan por los polos.
c) Falsa, porque el ecuador es una circunferencia máxima y su centro es el centro de la Tierra.
d)Falsa, puesto que un huso es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.
e)Verdadera
Investiga
52 Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.
Una esfera armilar es un modelo de la esfera terrestre utilizado para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alrededor de la Tierra o el Sol.
La esfera armilar está construida sobre un esqueleto de círculos graduados mostrando el ecuador, la eclíptica, los meridianos y los paralelos terrestres.
Unidades didácticas 311
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
8. Coordenadas geográficas
10
Aprenderás a…
●
●
8. COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Utilizar las coordenadas
geográficas para hallar
distancias entre dos puntos
de la esfera terrestre.
Un globo terráqueo es una representación de la
esfera terrestre que permite, por ejemplo, situar
lugares geográficos y calcular la distancia entre
ellos.
Describir localizaciones de
lugares de la Tierra.
Salvo en los polos, por cada punto de la Tierra
pasan un paralelo y un meridiano.
Así, cualquier punto de la Tierra queda determinado
por el meridiano y el paralelo que pasan por él.
53
Halla la latitud de todos los puntos de la superficie
terrestre situados en el ecuador.
54
Indica cuál es la longitud de todos los lugares situados
en el antimeridiano de Greenwich.
55
¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?
56
Indica la coordenada geográfica que comparten dos
puntos situados sobre el mismo paralelo.
57
Para localizar un lugar en la esfera terrestre se usan
dos coordenadas geográficas: la longitud y la
latitud.
¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares
situados en el mismo meridiano?
A
•
El antimeridia
no del
meridiano de
Greenwich
es el meridia
no 180º
y coincide con
la línea
internaciona
l de cambio
de fecha. Esta
es una línea
imaginaria traz
ada sobre el
océano Pacífico
que cruza
el estrecho de
Bering entre
Alaska y Sibe
ria.
•
59
Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz
sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas
geográficas son: (7º O, 39º N)
EJERCICIO RESUELTO
}
Halla la distancia entre dos puntos, A(10º E, 45º N)
y B(20º E, 45º N), situados en el mismo paralelo.
Solución
EJERCICIO RESUELTO
}
En tu vida
diaria
Latitud
A •B
•
Halla la distancia entre dos puntos, A(20º O, 45º N)
y B(20º O, 55º N), situados en el mismo meridiano.
•
Solución
B•
A•
Ecuador
La amplitud del arco entre los dos puntos es:
Longitud
20º − 10º = 10º
•
Meridiano cero
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la
longitud del arco correspondiente a un sector circular de
10º de amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º.
Observamos que, al estar los puntos en este
paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro
de la circunferencia del casquete también es r; en
consecuencia:
❚ La longitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del ángulo
formado por el plano que contiene el meridiano que pasa por dicho punto y el
plano que contiene el meridiano 0 o meridiano de Greenwich.
Su valor varía de 0º a 180º y hay que añadirle O si está al oeste del meridiano 0 y
E si se encuentra al este.
La amplitud del arco entre los dos puntos es:
55º − 45º = 10º
❚ La latitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del arco
determinado por el plano que contiene el ecuador y el radio que une dicho punto
con el centro de la esfera terrestre.
r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km
Luego:
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es
la longitud del arco correspondiente a un sector circular
de 10º de amplitud y cuyo radio es, aproximadamente,
el radio de la Tierra:
Su valor varía de 0º a 90º y hay que añadirle N si está al norte del ecuador y S si
se encuentra al sur.
d ( A, B ) = 2π ⋅ 6 371⋅
10°
360°
= 1 111,39 km
d ( A, B ) = 2π ⋅ 4 504,98 ⋅
58
Observa el dibujo e indica las coordenadas geográficas del punto P sobre la superficie terrestre.
Solución
Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q,
cuyas coordenadas geográficas son:
P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)
10°
360°
= 785,87 km
60
Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q,
cuyas coordenadas geográficas son:
P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)
61
Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen
por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua
la distancia que hay entre ellos.
EJERCICIO RESUELTO
}
10
Actividades
Cuerpos de revolución
El punto P está situado 50º hacia el este del meridiano 0 y 45º hacia el norte del
ecuador; por consiguiente, sus coordenadas son: P(50º E, 45º N)
Investiga
62
Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.
a) Círculo polar ártico
b) Círculo polar antártico
c) Trópico de Cáncer
d) Trópico de Capricornio
198
199
Sugerencias didácticas
Para calcular distancias entre puntos del mismo paralelo
tendremos en cuenta que solo podrán hacerlo, por no haber estudiado aún trigonometría, con puntos que pertenezcan al paralelo de latitud 45º dado que el triángulo que se
forma es rectángulo e isósceles. Es muy conveniente realizar
los dos ejercicios resueltos de la sección.
Para definir las coordenadas geográficas dibujaremos un
punto en la esfera terrestre e indicaremos los elementos
que intervienen: el meridiano 0, el ecuador, y los ángulos.
Será conveniente que expliquemos la similitud que existe
con la representación de un punto en el plano cartesiano.
Los cálculos de distancias entre puntos del mismo meridiano no presentarán dificultad dado que el problema consiste
en calcular la medida de arcos en una circunferencia.
Soluciones de las actividades
53 Halla la latitud de todos los puntos de la superficie terrestre situados en el ecuador.
Todos los puntos del ecuador tienen latitud 0º.
54 Indica cuál es la longitud de todos los lugares situados en el antimeridiano de Greenwich.
Todos estos puntos del ecuador son de longitud 180º.
55 ¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?
La latitud del polo norte es 90º N. Y la del polo sur es 90º S.
56 Indica la coordenada geográfica que comparten dos puntos situados sobre el mismo paralelo.
Comparten la misma latitud.
57 ¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares situados en el mismo meridiano?
Tienen la misma longitud.
Unidades didácticas 312
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
58 Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:
P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 40º + 10º = 50º
La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 50º de
50 º
amplitud y cuyo radio es el radio de la Tierra: d ( P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 5556,93 km
360 º
59 Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas geográficas son: (7º O,
39º N)
La amplitud del arco entre Badajoz y el ecuador es: 39º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 39º de amplitud y cuyo radio es el radio de la
39º
Tierra: 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 4 334, 404 km
360 º
60 Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:
P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 30º − 15º = 15º
La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 15º de
amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º S.
Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también
es r; por tanto: r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km
15º
Entonces: d ( P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅ 4 504,98 ⋅
= 1178,803 km
360 º
61 Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua la distancia
que hay entre ellos.
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 15º + 45º = 60º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 60º de amplitud y cuyo radio es el radio de la
60 º
Tierra: d (M , N ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 6 668,31 km
360 º
Investiga
62 Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.
a)Círculo polar ártico
b)Círculo polar antártico
c) Trópico de Cáncer
d)Trópico de Capricornio
a)Es uno de los cinco paralelos principales terrestres, señala la región ártica del planeta, en la que se encuentra el Polo
Norte. Todos sus puntos tienen latitud: 66º 33’ 45” N
b)Es uno de los cinco paralelos principales de la Tierra, indica la zona ocupada por la Antártida y en él se halla el Polo Sur.
Todos su puntos tienen latitud: 66° 33’ 45” S
c) Es uno de los paralelos del planeta, está ubicado en el hemisferio norte y señala el límite septentrional de la zona
intertropical. Todos sus puntos tienen latitud: 23º 26’ 15” N
d)Es otro de los paralelos principales de la Tierra, se encuentra en el hemisferio sur y señala el límite meridional de la zona
intertropical. Todos sus puntos están situados actualmente a una latitud de: 23º 26’ 15” S
Unidades didácticas 313
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
10
Actividades
tienes que saber
Cilindros. Áreas y volúmenes
Ten en cuenta
Un cilindro recto es un cuerpo de
revolución que se obtiene cuando se
hace girar un rectángulo sobre un
eje paralelo a uno de sus lados.
63
Cilindros
Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio mide 8 cm
y que tiene una altura de 24 cm.
❚ Área lateral:
Conos y troncos de cono. Áreas
y volúmenes
71
b) Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.
AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
64
❚ Área total:
24 cm
AT = AL + 2Ab =
Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7 cm,
respectivamente.
a) Determina las dimensiones del cilindro que genera
el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que
contiene el lado más largo.
8 cm
8 cm
10
Finales
Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de
diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:
a) El área lateral.
= 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r2
c) El volumen.
V = Ab ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h
65
Área lateral: AL = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 24 = 1 205,76 cm2
Halla el área lateral, el área total y el volumen del
cilindro dibujado.
72
La generatriz y el diámetro de la base de un cono
recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total
y su volumen.
73
Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de
2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.
74
Para confeccionar un gorro de brujo con forma de
cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina
negra. Averigua la longitud del diámetro de la base
del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide
61 cm.
75
La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y
los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm,
respectivamente. Halla:
a) Su área lateral.
b) Su área total.
c) Su volumen.
76
Determina la capacidad de una champanera de acero
inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y
boca tienen un diámetro, respectivamente, de 18 cm
y 26 cm.
77
Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada
mañana.
Área total: AT = 1 205,76 + 2 ⋅ π ⋅ 8 = 1 205,76 + 401,92 = 1 607,68 cm
2
2
Volumen: V = π ⋅ 8 ⋅ 24 = 4 823,04 cm
10 cm
3
Ten en cuenta
Conos y troncos de cono
Un cono recto es un cuerpo de
revolución que se obtiene cuando se
hace girar un triángulo rectángulo
sobre un eje que contiene uno de
sus catetos.
Halla el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono recto del dibujo.
2 dm
4,5 dm
❚ Área lateral:
30 cm
2,5 dm
1,5 dm
AL = πrg
❚ Área total:
El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide
301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus
bases.
67
En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de
altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases
sabiendo que tiene una capacidad de 785 m3.
68
¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de
1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden
60 cm?
69
Calcula el área total y el volumen de un cilindro si
la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la
diferencia, de 12 cm.
70
Elisa y su madre han comprado la tela para
confeccionar un cojín.
6 dm
AT = AL + Ab = πrg + πr2
❚ Volumen:
V =
66
7,5 dm
Ab ⋅ h
3
=
πr 2 ⋅ h
3
Un tronco de cono recto es un
cuerpo de revolución que se obtiene
cuando se hace girar un trapecio
rectángulo sobre un eje que
contiene el lado perpendicular a sus
bases.
Área lateral: AL = πRG − πrg = π ⋅ 6 ⋅ 7,5 − π ⋅ 2 ⋅ 2,5 = 125,6 dm2
Área total: AT = AL + πR2 + πr2 = 125,6 + π ⋅ 62 + π ⋅ 22 = 251,2 dm2
Volumen: V =
πR2 ⋅ H
3
−
πr 2 ⋅ h
3
=
π ⋅ 62 ⋅ 4,5
Ten en cuenta
Una esfera es un cuerpo de
revolución que se obtiene cuando se
hace girar un semicírculo alrededor
de un eje que contiene su diámetro.
❚ Volumen:
V =
4
3
−
π ⋅ 22 ⋅1,5
3
= 163,28 dm3
Esferas
Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 8 cm.
Área: A = 4πr2 = 4 ⋅ π ⋅ 82 = 803,84 cm2
Volumen: V =
❚ Área:
A = 4πr2
3
46 cm
28 cm
b) El área total.
❚ Volumen:
2
Un cono es generado al
hacer girar el triángulo de la
figura alrededor del cateto
mayor.
Halla el área lateral, el área
total y el volumen del cono.
•
4
3
πr 3 =
4
3
⋅ π ⋅ 83 = 2 143,57 cm3
¿Qué cantidad de leche recoge cada vez que llena
el cubo?
8 cm
78
πr 3
Determina cuánto han pagado por la tela.
Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y
6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono
que se obtiene al cortar el cono anterior por un plano
paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.
200
201
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al terminar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular áreas y volúmenes de cilindros realizando su desarrollo plano.
❚❚ Dibujar correctamente los elementos de un cono, su desarrollo plano y determinar su área y volumen.
❚❚ Hallar áreas y volúmenes de troncos de cono y dibujar su desarrollo plano.
❚❚ Calcular áreas y volúmenes de esferas.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
63 Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7 cm, respectivamente.
a)Determina las dimensiones del cilindro que genera el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que contiene el lado
más largo.
b)Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.
a)La altura del cilindro medirá 7 cm y el radio de la base medirá 3 cm.
b)V = π ⋅ 32 ⋅ 7 = 197,82 cm3
Unidades didácticas 314
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
64 Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) El volumen.
a)AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 8 = 150,72 cm2
b)AT = 150,72 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 207,24 cm2
c) V = π ⋅ 32 ⋅ 8 = 226,08 cm3
65 Halla el área lateral, el área total y el volumen del cilindro dibujado.
AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 30 = 942 cm2
m
10 c
AT = 942 + 2 ⋅ π ⋅ 52 = 1 099 cm2
30 cm
V = π ⋅ 52 ⋅ 30 = 2 355 cm3
66 El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide 301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus bases.
301,44 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 12 → r = 4 cm
67 En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases sabiendo que
tiene una capacidad de 785 m3.
785 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5 m
68 ¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de 1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden 60 cm?
V = π ⋅ 32 ⋅ 12 = 339,12 dm3 = 339,12 L
69 Calcula el área total y el volumen de un cilindro si la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la diferencia, de 12 cm.
r + h = 40 ⎫⎪⎪
⎬ → 2r = 52 → r = 26 → h = 14
r − h = 12 ⎪⎪⎭
AT = 2 ⋅ π ⋅ 26 ⋅ 14 + 2 ⋅ π ⋅ 262 = 6 531,2 cm2
V = π ⋅ 262 ⋅ 14 = 29 716,96 cm3
70 Elisa y su madre han comprado la tela para confeccionar un cojín. Determina cuánto han pagado por la tela.
La cantidad de tela necesaria es el área total de un cilindro más los
500 cm2 para las costuras:
2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 50 + 2 ⋅ π ⋅ 122 + 500 = 5 172,32 cm2
Como cada metro cuadrado cuesta 10 €, Elisa y su madre han
pagado: 0,517 ⋅ 10 = 5,17 €
71 Un cono es generado al hacer girar el triángulo de la figura alrededor del cateto mayor.
Halla el área lateral, el área total y el volumen del cono.
g=
462 + 282 = 53,85 cm
AL = π ⋅ 28 ⋅ 53,85 = 4 734,49 cm2
46 cm
AT = 4 734,49 + π ⋅ 282 = 7 196,25 cm2
π ⋅ 282 ⋅ 46
V =
= 37746,99 cm3
3
Unidades didácticas 28 cm
315
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
72 La generatriz y el diámetro de la base de un cono recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen.
AL = π ⋅ 6 ⋅ 12 = 226,08 cm2
AT = 226,08 + π ⋅ 62 = 339,12 cm2
h=
122 − 62 = 10,39 cm
π ⋅ 62 ⋅10,39
V =
= 391,5 cm3
3
73 Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de 2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.
π ⋅102 ⋅ h
2198 =
→ h = 21 cm
3
74 Para confeccionar un gorro de brujo con forma de cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina negra. Averigua
la longitud del diámetro de la base del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide 61 cm.
2 106,94 = π ⋅ r ⋅ 61 → r = 11 cm → El diámetro mide 22 cm.
h = 612 −112 = 60 cm
75 La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm, respectivamente. Halla:
a)Su área lateral.
a) g =
b)Su área total.
122 + 22 = 12,17 cm AL = π ⋅ (9 + 7) ⋅ 12,17 = 611,42 cm2
c) Su volumen.
π ⋅ ( 92 + 72 + 9 ⋅ 7 ) ⋅12
c) V =
= 2024,08 cm3
3
b)AT = 611,42 + π ⋅ 92 + π ⋅ 72 = 1 019,62 cm2
76 Determina la capacidad de una champanera de acero inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y boca tienen un
diámetro, respectivamente, de 18 cm y 26 cm.
V =
π ⋅ (132 + 92 + 13 ⋅ 9 ) ⋅ 28
= 10 755,55 cm3
3
La champanera puede contener 10,75 L.
77 Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada mañana. ¿Qué
cantidad de leche recoge cada vez que llena el cubo?
Para hallar los radios de las bases:
20π = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 cm
30π = 2 ⋅ π ⋅ R → R = 15 cm
La altura del cubo mide: h =
V =
302 − 52 = 29,58 cm
π ⋅ (152 + 102 + 15 ⋅10 ) ⋅ 29,58
3
En cada cubo recoge 14,7 L.
= 14 706,19 cm3
78 Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y 6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono que se obtiene
al cortar el cono anterior por un plano paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.
π ⋅ 62 ⋅10
V =
= 376,8 cm3
3
La altura del tronco de cono que se obtiene mide: h = 10 − 4 = 6 cm
4 10
Como los triángulos generados al cortar el cono están en posición de Tales:
=
→ r = 2, 4 cm
r
6
π ⋅ 2, 42 ⋅ 4
El volumen del tronco de cono es: V = 376,8 −
= 352,68 cm3
3
Unidades didácticas 316
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
Actividades
Cuerpos de revolución
Esferas. Áreas y volúmenes
79
Dibuja una esfera, una semiesfera y una cuña esférica.
a) ¿Cuántos ejes de giro tiene cada uno de los
cuerpos dibujados?
85
El área de una semiesfera mide 942 cm2. Determina
la longitud de su radio.
86
Una esfera tiene un diámetro de 20 cm. Halla:
a) El volumen de la esfera.
b) El volumen de una cuña esférica de 40º de
amplitud.
b) ¿Cuántos planos de simetría poseen estos
cuerpos?
80
Una fábrica de juguetes comercializa unas bolas
magnéticas de 7 mm de diámetro en paquetes de
64 unidades. Con ellas pueden construirse diferentes
figuras.
87
El área de una esfera mide 452,16 cm2; ¿cuál es su
volumen?
88
El radio de un cilindro recto de 4 m de altura mide
3 m. Si una esfera tiene el mismo volumen que este
cilindro, ¿cuánto mide el diámetro de la esfera?
89
Una esfera de 5 dm de radio tiene el mismo volumen
que un cono recto de 8 dm de altura. ¿Cuánto mide
el radio de la base de este cono?
Composición de cuerpos
de revolución
90
92
Dibuja una esfera terrestre e indica en ella todos los
elementos que conozcas.
93
Sitúa en un dibujo de la esfera terrestre los siguientes
puntos.
a) A(45º E, 0º N)
b) B(30º O, 45º S)
c) C(15º O, 60º S)
d) D(90º E, 30º N)
94
Indica si es verdadera o falsa cada afirmación y
justifica tu respuesta.
a) Todos los puntos de un meridiano tienen la misma
longitud.
b) Todos los paralelos tienen el mismo radio.
95
Dos puntos son antípodas si están diametralmente
opuestos en una circunferencia máxima de la
superficie terrestre. Averigua:
a) Las antípodas del punto (90º E, 0º N).
b) Las antípodas del punto (45º E, 45º N).
c) El país antípoda de España.
En el gimnasio al que acude regularmente Raúl hay
mancuernas de distintos pesos, forradas de material
plástico antideslizante.
a) Calcula el volumen de material que ocupan las 26
bolas que quedan en la bolsa.
96
Sabiendo que el radio de la Tierra mide 6 371 km,
aproximadamente:
a) Halla cuánto mide el ecuador.
b) Calcula cuántos kilómetros mide un arco de un
meridiano de 1º de amplitud.
• 8 cm
97
Dos puntos, P y Q, situados sobre el ecuador tienen
una longitud de 30º E y 30º O, respectivamente;
averigua la distancia que hay entre ellos.
•
98
Las coordenadas geográficas de una ciudad son:
(10º E, 45º N)
Halla la distancia al ecuador medida sobre el
meridiano que pasa por dicha ciudad.
b) Determina la longitud de la pulsera.
81
Un plano corta a una esfera de 10 cm de radio.
Calcula la cantidad de material antideslizante
necesario para forrar la mancuerna que ha elegido
Raúl hoy.
a) Halla la distancia que separa el plano del centro
de la esfera.
b) Calcula la altura del casquete esférico más
pequeño de los generados por la intersección del
plano.
82
Calcula la longitud del radio de una esfera que, al ser
cortada por un plano que pasa a 8 cm de su centro,
genera una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.
83
El diámetro de una esfera mide 14 cm. Calcula:
a) El área de la esfera.
b) El área de un huso esférico de 20º de amplitud.
84
Averigua la longitud del diámetro de una esfera,
sabiendo que su área mide 1 808,64 cm2.
91
Un juguete está
formado por nueve
aros de madera
de 4 cm de altura
cada uno. Para
poder introducirlos
en la varilla vertical,
cuyo
diámetro
mide 3 cm, todos
los aros tienen un
agujero circular de
2 cm de radio. El
aro más pequeño mide 6 cm de diámetro; el siguiente
en tamaño, 8 cm; y cada aro sucesivo tiene 2 cm más
de diámetro que el anterior. Si la longitud de la varilla
vertical es de 42 cm, ¿cuál es el volumen total de la
madera necesaria para construir la torre?
10
Finales
La esfera terrestre. Coordenadas
geográficas
99
Dos ciudades tienen la misma longitud, 10° E, y sus
latitudes son 37° 25' N y 22° 35' S, respectivamente.
¿Cuál es la distancia entre ellas?
100
Cuando en el huso horario 0 son las 10 h, averigua:
a) La hora que será en el huso 4º E.
b) La hora que tendrán las ciudades situadas en el
huso horario 5º O.
101
María está de vacaciones en Buenos Aires. Ha
hablado por teléfono con su hermano Andrés, que
vive en París, a las ocho y cuarto de la tarde. ¿Qué
hora marcaba el reloj de Andrés en ese momento?
102
Cerdeña está en el huso 1° E, y Cuba, en el 5° O. Si
un avión sale de Cerdeña a las 6 h y el vuelo dura 8 h,
¿cuál será la hora local de llegada a Cuba?
202
10
103
Calcula la diferencia horaria entre dos ciudades
situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo
de 135º de amplitud.
104
La milla marina es una unidad de longitud que se
emplea en navegación marítima y aérea. Es la
distancia que hay entre dos puntos de un meridiano
de la superficie terrestre que forman un arco de 1’ de
amplitud (una sesentava parte de un grado).
a) Calcula cuántos kilómetros abarca una milla
marina.
b) Expresa en kilómetros la distancia recorrida por
un velero en una etapa de 310 millas marinas
entre dos puertos marítimos.
c) Dos ciudades están separadas por una distancia
de 4 625 km. Si un avión ha de cubrir la ruta entre
ellas, determina cuántas millas marinas debe
recorrer en los trayectos de ida y vuelta.
105
Dos puntos, A y B, de la superficie terrestre están
situados en el mismo paralelo.
•
B
A•
•
Calcula la distancia que separa estos puntos si sus
coordenadas geográficas son:
A(10º E, 60º N) y B(53º E, 60º N)
106
Un piloto de avión debe decidir la ruta más corta
para volar desde la ciudad A hasta la ciudad B, ambas
situadas en puntos diametralmente opuestos en el
paralelo 45º.
•
•
¿Qué será más conveniente: realizar una ruta que
pase por el polo norte o hacer el viaje volando sobre
el paralelo en el que se encuentran las ciudades?
203
79 Dibuja una esfera, una semiesfera y una cuña esférica.
a)¿Cuántos ejes de giro tiene cada uno de los cuerpos dibujados?
b)¿Cuántos planos de simetría poseen estos cuerpos?
a)La esfera tiene infinitos ejes de giro que pasan por su centro. La semiesfera solo tiene un eje de giro que es perpendicular a la base y pasa por su centro. La cuña esférica no tiene ejes de giro.
b)La esfera tiene infinitos planos de simetría que pasan por su centro. La semiesfera tiene infinitos planos de simetría
que son perpendiculares a la base y que pasan por su centro. La cuña esférica tiene dos planos de simetría que son
perpendiculares entre sí.
80 Una fábrica de juguetes comercializa unas bolas magnéticas de 7 mm de diámetro en paquetes de 64 unidades. Con ellas
pueden construirse diferentes figuras.
a)Calcula el volumen de material que ocupan las 26 bolas que quedan en la bolsa.
b)Determina la longitud de la pulsera.
a)El volumen de una de las bolas es: V =
4
⋅ π ⋅ 3,53 = 179,5 mm3
3
Las 26 bolas ocupan un volumen de : 26 ⋅ 179,5 = 4 667 mm3
b)Como la pulsera tiene 15 bolas, su longitud es de 15 ∙ 7 = 105 mm
Unidades didácticas 317
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
81 Un plano corta a una esfera de 10 cm de radio.
• 8 cm
a)Halla la distancia que separa el plano del centro de la esfera.
b)Calcula la altura del casquete esférico más pequeño de los generados por la intersección del plano.
•
a) d = 102 − 82 = 6 cm
b)h = 10 − 6 = 4 cm
82 Calcula la longitud del radio de una esfera que, al ser cortada por un plano que pasa a 8 cm de su centro, genera una
circunferencia cuyo radio mide 15 cm.
r = 152 + 82 = 17 cm
83 El diámetro de una esfera mide 14 cm. Calcula:
a)El área de la esfera.
b)El área de un huso esférico de 20º de amplitud.
a)A = 4 ⋅ π ⋅ 72 = 615,44 cm2
20 º
b)A = 4 ⋅ π ⋅ 72 ⋅
= 34,19 cm2
360 º
84 Averigua la longitud del diámetro de una esfera, sabiendo que su área mide 1 808,64 cm2.
1 808,64 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 12 cm
El diámetro mide 24 cm.
85 El área de una semiesfera mide 942 cm2. Determina la longitud de su radio.
942 = 2 ⋅ π ⋅ r2 → r = 12,25 cm
86 Una esfera tiene un diámetro de 20 cm. Halla:
a)El volumen de la esfera.
b)El volumen de una cuña esférica de 40º de amplitud.
4
a)V = ⋅ π ⋅103 = 4186,67 cm3
3
40 º
4
b)V = ⋅ π ⋅103 ⋅
= 465,19 cm3
3
360 º
87 El área de una esfera mide 452,16 cm2; ¿cuál es su volumen?
452,16 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 6 cm
4
V = ⋅ π ⋅ 63 = 904,32 cm3
3
El diámetro mide 6 m.
88 El radio de un cilindro recto de 4 m de altura mide 3 m. Si una esfera tiene el mismo volumen que este cilindro, ¿cuánto
mide el diámetro de la esfera?
V = π ⋅ 32 ⋅4 = 113,04 m2
4
113,04 = ⋅ π ⋅ r 3 → r = 3 m
3
89 Una esfera de 5 dm de radio tiene el mismo volumen que un cono recto de 8 dm de altura. ¿Cuánto mide el radio de la
base de este cono?
4
V = ⋅ π ⋅ 53 = 523,33 dm3
3
π ⋅ r2 ⋅ 8
523,33 =
→ r = 7,91 dm
3
Unidades didácticas 318
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
90 En el gimnasio al que acude regularmente Raúl hay mancuernas
de distintos pesos, forradas de material plástico antideslizante.
Calcula la cantidad de material antideslizante necesario para forrar la mancuerna que ha elegido Raúl hoy.
A = 2 ⋅ π ⋅ 52 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 6 + 2 ⋅ π ⋅ (52 − 22) + 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 16 =
= 678,24 cm2
91 Un juguete está formado por nueve aros de madera de 4 cm de altura cada uno. Para poder introducirlos en la varilla
vertical, cuyo diámetro mide 3 cm, todos los aros tienen un agujero circular de 2 cm de radio. El aro más pequeño mide
6 cm de diámetro; el siguiente en tamaño, 8 cm; y cada aro sucesivo tiene 2 cm más de diámetro que el anterior. Si la
longitud de la varilla vertical es de 42 cm, ¿cuál es el volumen total de la madera necesaria para construir la torre?
V = π ⋅ 32 ⋅ 4 + π ⋅ 42 ⋅ 4 + π ⋅ 52 ⋅ 4 + π ⋅ 62 ⋅ 4 + π ⋅ 72 ⋅ 4 + π ⋅ 82 ⋅ 4 + π ⋅ 92 ⋅ 4 + π ⋅ 102 ⋅ 4 + π ⋅ 112 ⋅ 4 − 9 ⋅π ⋅ 22 ⋅ 4 =
= 5 840,4 cm3
92 Dibuja una esfera terrestre e indica en ella todos los elementos que conozcas.
93 Sitúa en un dibujo de la esfera terrestre los siguientes puntos.
a)A(45º E, 0º N)
c) C(15º O, 60º S)
b)B(30º O, 45º S)
d)D(90º E, 30º N)
•
•
B (30º O, 45º S)
C (15º O, 60º S)
•
D (90º E, 30º N)
A (45º E, 0º N)
•
94 Indica si es verdadera o falsa cada afirmación y justifica tu respuesta.
a)Todos los puntos de un meridiano tienen la misma longitud.
b)Todos los paralelos tienen el mismo radio.
a)Verdadera, ya que son puntos de una misma semicircunferencia máxima.
b)Falsa, porque el paralelo de radio máximo es el ecuador y los demás tienen radios distintos, que van disminuyendo
según su cercanía a los polos.
Unidades didácticas 319
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
95 Dos puntos son antípodas si están diametralmente opuestos en una circunferencia máxima de la superficie terrestre. Ave-
rigua:
a)Las antípodas del punto (90º E, 0º N). b)Las antípodas del punto (45º E, 45º N). c)El país antípoda de España.
a)Es el punto (90º O, 0º S).
b)El punto (135º O, 135º S). c)Isla del Norte en Nueva Zelanda
96 Sabiendo que el radio de la Tierra mide 6 371 km, aproximadamente.
a)Halla cuánto mide el ecuador.
b)Calcula cuántos kilómetros mide un arco de un meridiano de 1º de amplitud.
a)L = 2 ⋅ π ⋅ 6 371 = 40 009,88 km
1º
b) L = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 111,14 km
360 º
97 Dos puntos, P y Q, situados sobre el ecuador tienen una longitud de 30º E y 30º O, respectivamente; averigua la distancia
que hay entre ellos.
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 30º + 30º = 60º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 60º de amplitud y cuyo radio es el radio de la
60 º
Tierra: d ( P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 6 668,31 km
360 º
98 Las coordenadas geográficas de una ciudad son (10º E, 45º N); halla la distancia al ecuador medida sobre el meridiano
que pasa por dicha ciudad.
La amplitud del arco que pasa por la ciudad y el ecuador mide 45º.
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 45º de amplitud y cuyo radio es el radio de la
45º
Tierra: 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 5 001,24 km
360 º
99 Dos ciudades tienen la misma longitud, 10°E, y sus latitudes son 37° 25’ N y 22° 35’ S, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre ellas?
La amplitud del arco que pasa por las dos ciudades mide: 37° 25’ + 22° 35’ = 60º
La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 60º de amplitud y cuyo radio es el radio de la
60 º
Tierra: 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 6 668,31 km
360 º
100 Cuando en el huso horario 0 son las 10 h, averigua:
a)La hora que será en el huso 4º E.
b)La hora que tendrán las ciudades situadas en el huso horario 5º O.
a)Serán las 14 h.
b)Serán las 5 h.
101 María está de vacaciones en Buenos Aires. Ha hablado por teléfono con su hermano Andrés, que vive en París, a las ocho
y cuarto de la tarde. ¿Qué hora marcaba el reloj de Andrés en ese momento?
La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 5 h, así que el reloj marcaba la una y cuarto de la madrugada.
102 Cerdeña está en el huso 1° E, y Cuba, en el 5° O. Si un avión sale de Cerdeña a las 6 h y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la
hora local de llegada a Cuba?
El avión tiene que recorrer 6 husos horarios. Cuando llegue a Cuba serán las 8 h + 6 h = 14 h en Cerdeña, y la hora local
en Cuba será de 6 h menos, por lo que serán las 8 h.
Unidades didácticas 320
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
103 Calcula la diferencia horaria entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 135º de amplitud.
Un huso horario tiene una amplitud de 15º, así el ángulo de 135º abarca 135º : 15º = 9 husos horarios.
La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 9 h.
104 La milla marina es una unidad de longitud que se emplea en navegación marítima y aérea. Es la distancia que hay entre
dos puntos de un meridiano de la superficie terrestre que forman un arco de 1’ de amplitud (una sesentava parte de un
grado).
a)Calcula cuántos kilómetros abarca una milla marina.
b)Expresa en kilómetros la distancia recorrida por un velero en una etapa de 310 millas marinas entre dos puertos marítimos.
c) Dos ciudades están separadas por una distancia de 4 625 km. Si un avión ha de cubrir la ruta entre ellas, determina
cuántas millas marinas debe recorrer en los trayectos de ida y vuelta.
1’
a)1 milla marina = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 1,85 km
360 ⋅ 60’
b)310 ⋅ 1,85 = 573,5 km
c) 4 625 : 1,85 = 2 500 millas
El avión debe recorrer 5 000 millas en los trayectos de ida y vuelta.
105 Dos puntos, A y B, de la superficie terrestre están situados en el mismo paralelo.
Calcula la distancia que separa estos puntos si sus coordenadas geográficas son:
A(10º E, 60º N) y B(53º E, 60º N)
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 53º − 10º = 43º
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 43º de
amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 60º N.
Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete forma
un triángulo rectángulo de hipotenusa el radio terrestre. Este triángulo y su simétrico forman un triángulo equilátero pues
sus ángulos miden 60º. Entonces: r = 6 371 : 2 = 3 185,5 km
43º
Entonces: d ( A, B ) = 2 ⋅ π ⋅ 3185,5 ⋅
= 2389, 48 km
360 º
106 Un piloto de avión debe decidir la ruta más corta para volar desde la ciudad A hasta la ciudad B, ambas situadas en puntos
diametralmente opuestos en el paralelo 45º.
¿Qué será más conveniente: realizar una ruta que pase por el polo norte o hacer el viaje volando sobre el paralelo en el
que se encuentran las ciudades?
Si realiza la ruta que pasa por el polo norte, ha de recorrer la longitud de un arco de circunferencia cuyo radio es el de la
90 º
Tierra y cuya amplitud es 90º: d ( A, B ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 10 002, 47 km
360 º
La amplitud del arco entre las dos ciudades es de 180º.
La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a una semicircunferencia y
cuyo radio, r, es el del paralelo 45º N.
Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también
es r, por tanto: r2 + r2 = 63712 → r = 4 504, 98 km
Entonces: d ( A, B ) = 2 ⋅ π ⋅ 4 504,98 ⋅
180 º
= 14145,64 km
360 º
Comparando ambas rutas, el piloto elegirá la que pasa por el polo norte por ser la más corta.
Unidades didácticas 321
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
Matemáticas vivas
10
MATEMÁTICAS VIVAS
Astronomía
REFLEXIONA
10
El Sol, los planetas y los satélites del sistema solar tienen forma esférica.
3
En un observatorio astronómico tienen expuestas las medidas del diámetro de los astros del sistema
solar.
El universo está en constante evolución y una de las posibles formas que se le atribuye es precisamente la
de una esfera.
Responde a las siguientes cuestiones.
COMPRENDE
1
a. ¿Cuántas veces es mayor la superficie de la Tierra que la superficie de la Luna?
Cuando observas los cuerpos celestes, puedes comprobar que los planetas y los satélites son esféricos,
pero hay asteroides más pequeños que no lo son.
b. Mercurio es el planeta más pequeño del sistema solar, y Júpiter, el más grande. ¿Cuántas veces contiene el
volumen de Júpiter el de Mercurio?
a. ¿Cuál puede ser la razón de que los astros de gran tamaño tengan todos forma esférica?
c. ¿Cuántos planetas como Júpiter podría contener la esfera del Sol?
ARGUMENTA
RESUELVE
b. ¿Cuál es la forma geométrica que observas cuando diriges la mirada al firmamento? ¿Cómo es su representación
en las bóvedas de los planetarios?
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
COMUNICA
RELACIONA
2
Todos los planetas giran alrededor del Sol y los satélites a su vez giran en torno a los planetas.
a. ¿Qué es lo que mantiene invariable la
estructura de nuestro sistema solar?
PIENSA Y RAZONA
b. ¿Cuál es la distancia, en kilómetros, que
separa la Tierra de la galaxia Andrómeda,
situada a 2,5 millones de años luz?
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
204
205
Astronomía
Sugerencias didácticas
En esta sección se les presenta a los alumnos el Sol, los planetas y los satélites del sistema solar, se pretende que los alumnos
tomen conciencia de la forma geométrica que adoptan para así justificar su estudio en esta unidad.
Habrán de analizar e investigar, argumentar, tomar decisiones y comunicar matemáticamente los diversos problemas con los
que se van a encontrar.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Comunica, Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático
o Resuelve.
En las actividades de comprensión deberán analizar la fotografía del sistema solar, argumentar la razón de la forma los astros
de gran tamaño y comunicar lo que por experiencia propia deduzcan.
En las actividades de relación los alumnos utilizarán la medida de distancias en el universo, el año luz, y tomarán conciencia
de las dimensiones que tiene el mundo en que vivimos.
Para terminar, en las actividades de reflexión, resolverán cuestiones donde tendrán que comparar superficies y volúmenes de
astros.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos imaginarán que están en el futuro y preparan un viaje al planeta Marte. Formarán
grupos de cuatro personas, y se numerarán del 1 al 4, para pensar primero individualmente la resolución del problema y,
después, llegar a un acuerdo entre los cuatro. El profesor elegirá un número del 1 al 4 y el alumno que corresponda explicará
la solución del equipo al resto de la clase.
Unidades didácticas 322
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
Soluciones de las actividades
El Sol, los planetas y los satélites del sistema solar tienen forma esférica.
El universo está en constante evolución y una de las posibles formas que se le atribuye es precisamente la de una esfera.
Comprende
1 Cuando observas los cuerpos celestes, puedes comprobar que los planetas y los satélites son esféricos, pero hay asteroides
más pequeños que no lo son.
a)¿Cuál puede ser la razón de que los astros de gran tamaño tengan todos forma esférica?
b)¿Cuál es la forma geométrica que observas cuando diriges la mirada al firmamento? ¿Cómo es su representación en
las bóvedas de los planetarios?
a)La forma esférica de los grandes cuerpos celestes se debe a la gravedad. Cualquier objeto crea a su alrededor un campo gravitatorio que actúa concentrando la masa del cuerpo. La distribución esférica de la materia es la única forma
geométrica que hace que toda la materia del planeta se sitúe lo más cerca posible del centro. Los planetas no son perfectamente esféricos porque ellos también giran. La fuerza de rotación actúa contra la gravedad y causa que muchos
planetas se abulten más alrededor de sus ecuadores.
b)Cuando miramos al firmamento vemos el universo como una semiesfera.
Un planetario consta de una pantalla en forma de cúpula semiesférica donde se proyectan las estrellas y planetas que
se observan desde distintos lugares de La Tierra y en diferentes épocas del año.
Relaciona
2 Todos los planetas giran alrededor del Sol y los satélites a su vez giran en torno a los planetas.
a)¿Qué es lo que mantiene invariable la estructura de nuestro sistema solar?
b)¿Cuál es la distancia, en kilómetros, que separa la Tierra de la galaxia Andrómeda, situada a 2,5 millones de años luz?
a)La estructura de nuestro sistema solar se mantiene invariante debido a la gravedad. El campo gravitatorio de los planetas atrae a sus satélites mientras se desplazan en su órbita, y el campo gravitatorio del Sol atrae a los planetas con
sus satélites. El sol a su vez se desplaza en el entorno de la galaxia (Vía Láctea) con todo el conjunto del sistema solar.
b)Calculamos los segundos que tiene un año: 365 ∙ 24 ∙ 3 600 = 31 536 000 s
Los kilómetros recorridos en un año luz son: 300 000 ⋅ 31 536 000 = 9,46 ∙ 1012 km
La distancia a Andrómeda en kilómetros es: 2,5 ⋅ 106 ⋅ 9,46 ∙ 1012 = 2,365 ∙ 1019 km
Reflexiona
3 En un observatorio astronómico tienen expuestas las medidas del diámetro de los astros del sistema solar.
Unidades didácticas 323
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
Responde a las siguientes cuestiones.
a)¿Cuántas veces es mayor la superficie de la Tierra que la superficie de la Luna?
b)Mercurio es el planeta más pequeño del sistema solar, y Júpiter, el más grande. ¿Cuántas veces contiene el volumen
de Júpiter el de Mercurio?
c) ¿Cuántos planetas como Júpiter podría contener la esfera del Sol?
a)Superficie de la Tierra: 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 = 5,098 ⋅ 108 km2
Superficie de la Luna: 4 ⋅ π ⋅ 1 7382 = 3,79 ⋅ 107 km2
5,098 ⋅ 108 : 3,79 ⋅ 107 = 13,45
Por tanto, la Tierra tiene una superficie, aproximadamente, 13 veces y media mayor que la Luna.
4
b)Volumen de Mercurio: ⋅ π ⋅ 2 4393 = 6,074 ⋅1010 km3
3
4
Volumen de Júpiter: ⋅ π ⋅ 714923 = 1,53 ⋅1015 km3
3
15
1,53 ⋅ 10 : 6,074 ⋅ 1010 = 25 189,33
Luego, el volumen de Júpiter contiene, aproximadamente, 25 200 veces el de Mercurio.
4
c) Volumen del Sol: ⋅ π ⋅ 696 0003 = 1, 41⋅1018 km3
3
18
1,41 ⋅ 10 : 1,53 ⋅ 1015 = 921,57
Así, la esfera del Sol podría contener 921 planetas como Júpiter.
Trabajo cooperativo
La distancia que hay que recorrer es: 1 408 + 1 327 + 274 = 3 009 millones de km
Para realizar el viaje se dispone de: 90 ⋅ 24 = 2 160 h
3009 000 000
= 1393055,56 km/h
2160
1408 000 000
= 1010,73 h = 42 días 2 h 38 min 24 s
Para realizar el viaje de la Tierra a Saturno son necesarios:
1393055,56
1327 000 000
= 952,58 h = 39 días 16 h 34 min 48 s
Para realizarlo de Saturno a Marte se tarda:
1393055,56
274 000 000
= 196,69 h = 8 días 4 h 41 min 24 s
Y para regresar a la Tierra desde Marte se necesitan:
1393055,56
Por tanto, la velocidad media del viaje ha de ser:
Unidades didácticas 324
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
Avanza. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
10
Sugerencias didácticas
Cuerpos de revolución
AVANZA
En esta sección se introducen las razones trigonométricas,
seno, coseno y tangente, de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre
los lados del triángulo rectángulo que lo contenga. Las razones trigonométricas fundamentales de un ángulo son:
Son conceptos muy sencillos de entender por el alumnado
si los presentamos de forma gráfica.
cateto
cateto
opuesto
opuesto
al al
ángulo
ángulo c c
dede
α:α:
seno
sen
sen
αα
==
==
❚ seno
hipotenusa
hipotenusa
aa
coseno de
de α:
α:cos
cos αα ==
❚ coseno
❚ tangente de α: tg α =
β
5
3
4
α
cateto
cateto contiguo
contiguo al
al ángulo
ángulo
hipotenusa
hipotenusa
cateto opuesto al ángulo
cateto contiguo al ángulo
==
=
bb
a
c
aa
c
b
Se puede realizar también alguna actividad donde tengan
que hallar un ángulo conocida una razón trigonométrica,
de esta forma los alumnos aprenderán otra de las ventajas
que nos proporciona el manejo correcto de la calculadora.
α
b
Por ejemplo, las razones trigonométricas de los ángulos agudos de este triángulo
son:
3
4
3
sen α =
cos α =
tg α =
5
5
4
4
3
4
sen β =
cos β =
tg β =
5
5
3
Soluciones de las actividades
A1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos lados miden 5 cm,
12 cm y 13 cm, respectivamente.
GEOMETRÍA EN EL ARTE
A1.Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos lados miden 5 cm,
12 cm y 13 cm, respectivamente.
12
5
12
sen α =
cos α =
tg α =
13
13
5
5
12
5
sen β =
cos β =
tg β =
13
13
12
Cuerpos geométricos en la arquitectura
Las esferas, los cilindros y los conos han sido fuente de inspiración en
el mundo del arte y la arquitectura.
Las cúpulas de los templos religiosos y los grandes edificios y hasta los
iglúes esquimales han tenido en cuenta, a lo largo de la historia de la
humanidad, esta forma y estructura matemática para determinar la
estabilidad, la resistencia de los materiales, las condiciones acústicas,
así como la temperatura y la luminosidad.
La arquitectura del siglo XX está dominada por el funcionalismo,
también llamado racionalismo, que más que ser un estilo arquitectónico
es un movimiento caracterizado por la utilización de formas simples
con volúmenes elementales, como el cubo, el cilindro, el cono y la
esfera. Los arquitectos más importantes de este movimiento fueron
Le Corbusier (1887-1965), Mies van der Rohe (1886-1969) y Walter
Gropius (1883-1969).
El funcionalismo está vinculado al progreso técnico; por tanto, son
imprescindibles los aportes contemporáneos de la técnica, como el
hormigón, el acero, los cables de fibra óptica y el vidrio.
El edificio residencial Torres Blancas, concebido por el arquitecto Sáenz
de Oíza (1918-2000), fue terminado en 1968. y por él le concedieron
el premio a la Excelencia Europea en 1974. El arquitecto español se
basó en las ideas funcionalistas de Le Corbusier.
G1. Fíjate en la fotografía del edificio. ¿Qué cuerpos geométricos puedes reconocer?
G2. Calcula la superficie del aparcamiento del edificio, sabiendo que tiene forma de corona circular rodeando la torre. El
radio de la circunferencia interior de la corona mide 17,6 m, y el exterior, 30,6 m.
206
Geometría en el arte. Cuerpos geométricos en la arquitectura
Sugerencias didácticas
En esta sección los alumnos aprenderán las bases de la arquitectura utilizada en el siglo xx, el funcionalismo, movimiento que
utiliza formas simples con volúmenes elementales. Reconocerán que esta corriente arquitectónica está estrechamente ligada
al progreso técnico y tecnológico.
Se propone que los alumnos comiencen leyendo el texto para entender la justificación de este movimiento arquitectónico así
como conocer los nombres de los arquitectos que lo llevaron a cabo.
A continuación, cada alumno deberá encontrar elementos geométricos en la fotografía del edificio Torres Blancas y calcular,
con los datos que se proporcionan, la superficie del aparcamiento del edificio.
Soluciones de las actividades
G1.Fíjate en la fotografía del edificio. ¿Qué cuerpos geométricos puedes reconocer?
Cilindros y prismas rectos de base cuadrangular.
G2.Calcula la superficie del aparcamiento del edificio, sabiendo que tiene forma de corona circular rodeando la torre. El radio
de la circunferencia interior de la corona mide 17,6 m, y el exterior, 30,6 m.
A = π ∙ 30,62 − π ∙ 17,62 = 1 967,52 m2
Unidades didácticas 325
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
10
Cuerpos de revolución
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. Calcula el área total de un cilindro que tiene por diámetro de la base 16 cm y cuya altura es el doble que el radio.
r = 8 cm → h = 16 cm
AT = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 16 + 2 ⋅ π ⋅ 82 = 1 205,76 cm2
2. La generatriz de un cono mide 52 cm y el diámetro de su base mide 14 cm, calcula:
a)El área total del cono.
b)Su volumen.
a)AT = π ⋅ 7 ⋅ 52 + π ⋅ 72 = 1 296,82 cm2
b) h =
522 − 72 = 51,53 cm → V =
π ⋅ 72 ⋅ 51,53
3
= 2642,8 cm3
3. Determina el área total de un tronco de cono de 5 dm de altura si los radios de sus bases miden 10 dm y 14 dm, respectivamente.
g=
52 + 22 = 5,39 dm
AT = π ⋅ (5 + 2) ⋅ 5,39 + π ⋅ 52 + π ⋅ 22 = 209,53 dm2
4. Un balón de 30 cm de radio está sumergido hasta la mitad flotando en una piscina. Calcula:
a)La superficie total del balón.
b)El volumen del balón que está sumergido.
a)AT = 4 ⋅ π ⋅ 302 = 11 304 cm2
b)V =
2
⋅ π ⋅ 302 = 1 884 cm3
3
5. Dos ciudades tienen la misma longitud, 10° O, y sus latitudes son 38° N y 25° S respectivamente, ¿cuál es la distancia
entre ellas?
La amplitud del arco entre los dos puntos es: 38º + 25º = 63º
La distancia sobre la superficie terrestre entre las dos ciudades es la longitud del arco correspondiente a un sector circular
63º
de 63º de amplitud y cuyo radio es el radio de la Tierra: 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
= 7 001,73 km
360 º
Unidades didácticas 326
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Cuerpos de revolución
10
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
1. El diámetro de la base de un cilindro recto mide 10 cm y su área lateral mide 628 cm². Calcula:
a)Su altura.
b)Su volumen.
a)628 = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ h → h = 20 cm
b)V = π ⋅ 52 ⋅ 20 = 1 570 cm3
2. Un cono de 30 cm de altura es cortado por un plano, paralelo a su base, que dista 15 cm de ella dividiendo el cuerpo
en un cono más pequeño y un tronco de cono. Si el radio de la base del cono inicial mide 20 cm, calcula el volumen del
tronco de cono.
Como los triángulos generados al cortar el cono están en posición de Tales:
El volumen del tronco de cono es: V =
π ⋅ ( 202 + 102 + 20 ⋅10 ) ⋅15
3
30
20
=
15
r
→ r = 10 cm
= 10 990 cm3
3. Calcula el volumen de un cilindro recto que tiene 125,6 m² de área total si el radio de su base mide 2 m.
125,6 = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ 22 → h = 8 m
V = π ⋅ 22 ⋅ 8 = 100,48 m3
4. En una piscina de 10 m de ancho, 12 m de largo y 1,60 m de profundidad metemos 6 balones de 30 cm de radio quedando sumergidos hasta la mitad. Calcula.
a)La cantidad de agua que ha perdido la piscina al introducir los balones.
b)Los centímetros que ha descendido el nivel de la piscina.
a)La cantidad de agua coincide con el volumen ocupado por la parte sumergida de los balones:
6⋅
2
3
⋅ π ⋅ 303 = 339120 cm3 = 339,12 L
b)1 000 ⋅ 1 200 ⋅ h = 339 120 → h = 0,28 cm
5. Dos ciudades situadas en el ecuador distan 2 250 km. Indica razonadamente cuál es su diferencia horaria.
Un huso horario tiene una amplitud de 15º. Por tanto, un huso en el ecuador abarca: 2 ⋅ π ⋅ 6 371⋅
2 250 : 1 667,087 = 1,35
La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 1 h.
Unidades didácticas 327
15º
360 º
= 1667,078 km
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO