Ejemplo Resuelto

Control Moderno - Ing. Electrónica
Ejercicio resuelto 1: Modelo de estados de un motor de corriente
continua
1.
Introducción
A fin de obtener modelos de estado para las distintas configuraciones que puede adoptar esta
máquina eléctrica plantearemos en primer lugar las ecuaciones que describen su funcionamiento.
En la Fig. 1, se muestra un esquema del sistema. En favor de la simplicidad supondremos que el
flujo en el entrehierro es producido por una fuente de corriente if .
Figura 1: Esquema de máquina de CC
Las ecuaciones principales son la ‘eléctrica’ correspondientes a la malla de armadura
Va = La i̇a + Ra ia + Eb ,
(1)
y la ‘mecánica’ planteada sobre el rotor
J ω̇ + Bω = T + Tp .
(2)
Estas ecuaciones no corresponden a dos sistemas aislados, la ecuación que los relaciona y sintetiza
esta transducción electro-mecánica es
T = k1 Φia .
(3)
Además, la fem inducida Eb es proporcional al flujo y a la velocidad de rotación según
Eb = k2 Φω
(4)
y si nos mantenemos fuera de la zona de saturación, el flujo será proporcional a la corriente de
excitación
Φ = k3 if .
(5)
Si consideramos que la potencia eléctrica transferida al entrehierro es transformada totalmente en
energı́a mecánica en el eje, podemos escribir
Pelec = Pmec ,
Eb ia = T ω
1
(6)
reemplazando (3) y (4) en (6) obtenemos
k1 Φωia = k2 Φωia ,
y podemos concluir que
k1 = k2 = k.
(7)
A partir de las ecuaciones presentadas puede describirse, en forma simplificada, el funcionamiento
de la máquina de continua. De acuerdo a la configuración adoptada, las variables involucradas
podrán mantenerse constantes, constituir acciones de control, perturbaciones o variables de estado.
A continuación analizaremos algunos casos tı́picos.
2.
Motor de Corriente Continua controlado por corriente de armadura
En este modo de funcionamiento, la corriente de excitación if es constante, por consiguiente también
lo es el flujo Φ. En esta condición Eb = kω, T = kia , y las ecuaciones (1) y (2) toman la forma
Va = La i̇a + Ra ia + kω,
(8)
J ω̇ + Bω = kia + Tp ,
(9)
despejando i̇a de (8) y ω̇ de (9), se obtienen
Ra
k
1
ia −
ω+
Va ,
La
La
La
k
B
1
ia − ω + Tp .
J
J
J
i̇a = −
(10)
ω̇ =
(11)
Si se desea un control de posición debemos incluir una ecuación adicional para esta variable
θ̇ = ω.
Las ecuaciones (10)-(12) constituyen las ecuaciones
cial como

 

k
a
−R
i̇a
La 0 − La

 

0
1 
 θ̇  =  0
k
ω̇
0 −B
J
J
Definiendo el vector de estados x =
ecuación (13) toma la forma general
h
ia θ ω
iT
(12)
de estado y pueden expresarse en forma matri


1
ia
  La
θ + 0
ω
0
#
0 "
 Va
.
0 
Td
1
(13)
J
y el vector de entrada u =
h
Va Td
iT
, la
ẋ = Ax + Bu.
De los elementos del vector u, Va es la acción de control. El par mecánico externo en el eje Td no
puede variarse a voluntad sino que está impuesta por el sistema mecánico acoplado, además, dado
que difı́cilmente tendremos información acerca de ella, debemos considerarla una perturbación. Para
distinguir entre entradas que son acciones de control y perturbaciones, las ecuaciones de estado (13)
pueden reescribirse como
a
−R
i̇a
La

 
 θ̇  =  0
k
ω̇
J

respondiendo a la forma


1
0 − Lka
ia
0

  La 


θ
+
V
0
1 
  0  a  0  Td ,
1
ω
0
0 −B
J
J






(14)
ẋ = Ax + Bu u + Bp p,
siendo u el vector de las acciones de control y p el de las perturbaciones.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 1
2
3.
Motor de Corriente Continua controlado por corriente de excitación
Una posibilidad de operación del motor CC continua controlado por corriente de excitación es
mantener constante la tensión de armadura Va y actuar sobre la corriente de excitación if que
determina el flujo en el entrehierro. Esta corriente constituirá la acción de control.
Reemplazando (3) y (4) en (1) y (2), suponiendo k1 = k2 = k, tenemos
Va = La i̇a + Ra ia + kk3 if ω,
(15)
J ω̇ + Bω = kk3 ia if + Td ,
recordemos que si deseamos plantear un control de posición debemos incluir
θ̇ = ω.
despejando i̇a y ω̇ obtenemos
k2 k3 if
Ra
Va
ia −
ω+
,
La
La
La
k1 k3
B
1
ω̇ =
ia if − ω + Td ,
J
J
J
θ̇ = ω.
i̇a = −
(16)
Definiendo un vector de entrada u1 ,
u=
h
u1 u2 u3
iT
=
h
Va if
Tp
iT
,
h
x1 x2 x3
iT
=
h
Va if
Tp
iT
,
y un vector de estados x dado por
x=
las ecuaciones en (16) pueden reescribirse como
Ra
k2 k3
u1
x1 −
u2 x2 a +
,
La
La
La
k1 k3
B
1
=
x1 u2 − x2 + u3 ,
J
J
J
= x2 ,
ẋ1 = −
ẋ2
ẋ3
(17)
pero no es posible llevarlas a la forma ẋ = AX + Bu, pues se trata de un sistema no lineal. El
sistema queda de la forma
ẋ = f (x, u).
1
No todas las componentes de este vector de entrada constituyen acciones de control. Para este caso el par Td
no puede variarse a voluntad sino que está determinado por la carga mecánica externa, deberı́amos considerarlo una
perturbación.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 1
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