Mecánica I Tema 1 Cinemática de la Part´ıcula

Mecánica I
Tema 1
Cinemática de la Partı́cula
Manuel Ruiz Delgado
24 de septiembre de 2010
Cinemática de la partı́cula. . . . . . . . . . . .
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partı́culas y sólidos . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . .
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trayectorias: definición geométrica . . . . . .
Trayectorias: ecuaciones paramétricas . . . .
Trayectorias: ecuaciones implı́citas . . . . . .
Ecuaciones horarias, ley horaria . . . . . . . .
Ecuaciones horarias, ley horaria . . . . . . . .
Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vector velocidad: coordenadas intrı́nsecas .
Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hodógrafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vector aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vector aceleración: coordenadas intrı́nsecas
Vector aceleración: coordenadas intrı́nsecas
Vector aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vector aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coordenadas cilı́ndricas. . . . . . . . . . . . . .
Derivación de los versores: geométrica . . .
Derivación de los versores: analı́tica . . . . .
Vector velocidad en cilı́ndricas . . . . . . . . .
Vector aceleración en cilı́ndricas . . . . . . . .
Velocidad areolar: conceptos previos . . . . .
Velocidad areolar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . .
Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . .
Consecuencias de la ley de áreas . . . . . . .
1a Fórmula de Binet. . . . . . . . . . . . . . . .
2a Fórmula de Binet. . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo: problema de Kepler . . . . . . . . . .
Ejemplo: problema de Kepler . . . . . . . . . .
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2
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7
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9
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Cinemática de la partı́cula
Definiciones: Cinemática, punto, sólido
Definiciones: Sistemas de referencia, posición, coordenadas
Definiciones: Reposo, movimiento
Definiciones: Trayectoria, ley horaria, ecuaciones horarias
Vector velocidad
Vector aceleración
Coordenadas cilı́ndricas: velocidad y aceleración
Velocidad areolar
Movimientos centrales:
• Definición y propiedades
• Fórmulas de Binet, 1a y 2a
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Definiciones
Cinemática: Es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin entrar a
considerar su causa.
Se puede ver como una extensión de la Geometrı́a en la que, además de la posición, se
considera el tiempo.
No se estudia la masa, fuerza, o energı́a; de eso se ocupa la Dinámica, que relaciona el
movimiento con su causa.
Las magnitudes fundamentales que intervienen en cada una de ellas son:
Geometrı́a
Cinemática
Dinámica
L
LT
LTM
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2
Partı́culas y sólidos
Cuerpo material: Cualquier objeto con masa. La Mecánica Clásica no estudia el movimiento de
cuerpos de masa nula o despreciable (solo como ligaduras o para transmitir fuerzas).
Partı́cula o Punto: Cuerpo material que se representa como un punto geométrico del espacio, sin
considerar para nada su extensión, orientación (actitud) o distribución de masa.
Sin masa en Cinemática, con masa en Dinámica.
No es necesario que sean pequeños: basta con que su orientación no influya en el
movimiento. En Mecánica Celeste, por ejemplo, se tratan los planetas como puntos.
Sólido rı́gido: Conjunto de partı́culas cuyas distancias no varı́an.
La Mecánica Clásica no estudia los sólidos deformables (Resistencia de Materiales y
Elasticidad) ni los fluidos (Mecánica de Fluidos). Excepción: cables o hilos (enlaces) y
muelles (fuerzas conocidas).
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Sistema de referencia
En Mecánica Clásica los cuerpos se mueven en el espacio euclı́deo tridimensional, R3 (RE:
M3+1 , RG: Riemann, S/Cuerdas: 1+3+6+. . . ).
Para definir la posición de una partı́cula, se toma un
Sistema de referencia: Triedro o referencia triortogonal orientado a derechas, formado por
El origen de coordenadas, un punto O ∈ R3
Tres ejes Ox, Oy, Oz según los versores i, j, k
z
Unitarios
i·i=1 j·j=1 k·k=1
Ortogonales i · j = 0 i · k = 0 j · k = 0
A derechas
k=i∧j
k
O
x
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i
j
y
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Definiciones
z
Vector posición de la partı́cula M respecto a la referencia Oxyz
rM = OM = x i + y j + z k
M
b
Coordenadas cartesianas de la partı́cula M respecto a la referencia
Oxyz
x = rM · i, y = rM · j, z = rM · k
r
z
O
y
y
x
Reposo
∀t
x
de la partı́cula M respecto a la referencia Oxyz: sus coordenadas se mantienen constantes
Movimiento
tiempo
x = x0 ,
y = y0 ,
z = z0
Cte. ∀ t
de la partı́cula M respecto a la referencia Oxyz: una o más coordenadas varı́an con el
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t)
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Trayectoria
z
Curva C del espacio, lugar geométrico de las posiciones sucesivas
de la partı́cula M en ejes Oxyz.
b
El tiempo no es necesario: la trayectoria es un concepto geométrico.
M
r
Se puede definir de varios modos:
O
y
x
definición geométrica: Dar los datos geométricos suficientes para identificar la curva en el espacio.
ecuaciones implı́citas: Se dan dos ecuaciones correspondientes a superficies, cuya intersección
define la curva C:
f (x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0
ecuaciones paramétricas: Se dan tres ecuaciones x = x(u), y = y(u), z = z(u) que determinan las
coordenadas en función de un parámetro u.
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Trayectorias: definición geométrica
Avión en vuelo circular horizontal a una altura constante
Planeador en vuelo circular
en una corriente ascendente
(térmica)
Tiro parabólico en el vacı́o
z
z
z
b
M
b
M
M
b
b
O
O
O
y
y
x
Circunferencia horizontal de
centro (0, 0, h) y radio R
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y
x
Hélice circular, eje Oz, pasa
por (R, 0, 0), pendiente α
x
Parábola que pasa por tres
puntos dados
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Trayectorias: ecuaciones paramétricas
z
z
z
b
M
b
M
b
M
b
O
O
O
y
y
x
θ
x = R cos θ
y = R sin θ
z=h
x
y
θ
x = R cos θ
y = R sin θ
z = Rθ tan α
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x
x=0
y = v0 cos α u
z = v0 sin α u −
gu2
2
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5
Trayectorias: ecuaciones implı́citas
z
z
z
y
y
x
y
x
x
x2 + y 2 = R 2
x2 + y 2 = R 2
z=h
z
R tan α
tan
=
y
x
x=0
z=
y
cot α
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−
g y2
2v02 cos α2
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Ecuaciones horarias, ley horaria
Ecuaciones horarias: Ecuaciones paramétricas de la trayectoria, tomando como parámetro el
tiempo: x(t), y(t), z(t)
Ley horaria: (sentido amplio) parámetro u de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, como
función del tiempo : u(t)
Ley horaria: (sentido estricto) parámetro natural s de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
(longitud de arco recorrido), como función del tiempo: s(t)
Trayectoria
Ley horaria
Ecuaciones horarias
x(u), y(u), z(u) +
u(t)
x(t), y(t), z(t)
⇒
x(s), y(s), z(s)
s(t)
x(t), y(t), z(t)
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Ecuaciones horarias, ley horaria
z
z
z
b
M
b
M
b
M
b
s
O
O
θ
y
θ
y
x
x = R cos ω t
y = R sin ω t
z=h
x
y
x
x = R cos ω t
y = R sin ω t
z = Rω t tan α
x=0
y = v0 cos α t
z = v0 sin α t −
θ = ωt
s=
α
t
Rω α
s
o
c
u=t
s = ...
Rω t tan α
θ = ωt
s = Rω t
g t2
2
Rω t
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Vector velocidad
z
Vector velocidad de un punto M relativa a un sistema de referencia
es la derivada respecto al tiempo de su vector posición en esos ejes,
considerados como fijos .
M
b
v
r
O
v
M
rM (t + ∆t) − rM (t)
drM
= lı́m
=
= ṙM
∆t→0
∆t
dt
y
x
Siempre se define respecto a unos ejes determinados, pero puede proyectarse en otros distintos
Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su cálculo es trivial:
rM = OM = x(t) i + y(t) j + z(t) k
vM = ṙM = ẋ i + ẏ j + ż k + x i̇ + y j̇ + z k̇ =
= vM = ẋ i + ẏ j + ż k
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Vector velocidad: coordenadas intrı́nsecas
∆r
dr
ds d r
r(t + ∆t) − r(t)
= lı́m
=
=
·
= ṡ ~τ =
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
dt
dt ds
lı́m
v = v ~τ
ṡ = v = |v| =
p
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2
|~τ | = 1
t
Vector unitario tangente ~
τ
t + ∆t
r(t
)
∆r
∆r
r(t
+
)
∆t
M
~
τ
v(t)
r(t)
∆s
∆r
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Vector velocidad
z
z
z
M
b
b
M
b
b
s
~τ
M
O
~
τ
θ
x


R cos ω t
r = R sin ω t


h
~
τ
v
v
y


 R cos ω t 
R sin ω t
r=


Rω t tan α


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


0


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


tan α
ṡ = v = Rω
ṡ = v =


 − sin ω t 
cos ω t
~
τ =


0


 − sin ω t 
cos ω t
~
τ = cos α


tan α
y
x
y
x
v
O
θ


0
v0 cos α t
r=

z0 + v0 sin α t −


g t2 
2



0

v0 cos α
v=


v0 sin α − g t
Rω
cos α
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ṡ =
p
v02 − 2v0 sin αg t + g 2 t2
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Hodógrafa
Hodógrafa Es la curva descrita por el extremo de un vector equipolente al vector velocidad, llevado
al origen (indicatriz).
Si se considera el vector velocidad como vector posición de un punto, la Hodógrafa serı́a la trayectoria
de este punto ficticio. No aparece el tiempo.
z
z
z
M
b
~
τ
b
M
v
b
s
x
v
~
τ
O
M
b
y
θ
x


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


0
y
x
θ
y

0

v0 cos α
v=


v0 sin α − g t


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


tan α


ż
ż
ż
v
O
~
τ
v
ẏ
ẋ
ϕ
ẏ
ẋ
ẋ
ϕ
ẏ
Manuel Ruiz - Mecánica I
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Vector aceleración
z
Vector aceleración de un punto M relativa a un sistema de referencia
es la derivada respecto al tiempo de su vector velocidad en esos
ejes, considerados como fijos .
M
γ
M
v
r
O
dvM
d2 rM
= v̇M = r̈M
=
=
dt
dt2
b
γ
y
x
Siempre se define respecto a los mismos ejes que la velocidad, pero puede proyectarse en otros.
Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su cálculo es trivial
vM = ẋ(t) i + ẏ(t) j + ż(t) k
γ M = v̇M = ẍ i + ÿ j + z̈ k + ẋ i̇ + ẏ j̇ + ż k̇ =
= γ M = ẍ i + ÿ j + z̈ k
Manuel Ruiz - Mecánica I
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9
Vector aceleración: coordenadas intrı́nsecas
∆v
v2
dv
d
~n
=
=
(ṡ ~τ ) = s̈ ~τ + ṡ ~τ˙ = γ t + γ n = s̈ ~τ +
∆t→0 ∆t
dt
dt
ρ
γ = lı́m
d s d ~τ
ṡ
v
·
= ṡ ~τ ′ = ~n = ~n = v ~κ
~τ˙ =
dt ds
ρ
ρ
|d~τ | = |~τ | · dϕ = 1 ·
(
Tangencial: γ t = s̈ ~τ = v̇ ~τ
2
Normal:
γ n = ṡρ ~n = v 2 κ ~n
ds
ρ
~
τ
γt
v(t)
M
~τ
~τ + d
~τ
~τ + d
~τ
~n
γ
γn
ρ
ds
dϕ
ρ
dϕ =
ds
ρ
~n en Mecánica: hacia el centro de curvatura
~n en Geometrı́a Diferencial: (~τ , ~n) a derechas.
= ds κ
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Vector aceleración: coordenadas intrı́nsecas
Conocidas γ y v, las componentes intrı́nsecas se obtienen usando el desarrollo del producto triple
kv
⊥v
γ∧v
z
}|
{
z }| {
v ∧ (γ ∧ v) = v 2 γ − (γ · v) v
γt
γn
v
γ
γt =
(γ · v) v
v2
|γ t | = v̇ =
γn =
v ∧ (γ ∧ v)
v2
|γ n | =
|γ · v|
v
v2
|γ ∧ v|
=
ρ
v
Intrı́nsecas: se ve el sentido fı́sico de cada término:
γ t = v̇ ~τ
Varı́a el módulo de v
(T 0)
v = v ~τ
γn =
v2
ρ
~n Varı́a la dirección de v
Manuel Ruiz - Mecánica I
(≧ 0)
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10
Vector aceleración
z
z
z
M
γ
γ
b
n
M
γ=
v̇ = 0
γ = 0·~
τ+
v2
R
γ ≡ γn
ρ=R
γ=
v=
n
r=
γ = 0·~
τ+



0
v0 cos α t
z0 + v0 sin α t −
v
R
γ ≡ γn
g t2 
2

0

v0 cos α
v=


v0 sin α − g t
 
 0 
0
γ=
 
−g
v̇ = 0
2






− cos ω t
− sin ω t


0
Rω
cos α
y
x
y
Rω 2
v
O


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


tan α


− cos ω t
− sin ω t


0
v = Rω
v
x


 − sin ω t 
cos ω t
v = Rω


0
Rω 2
γ
θ = ωt
y
θ
x
~
τ
~
τ
v
~
τ
O
M
b
b
s
b
n
n
ρ=
ṡ =
R
cos2 α
q
v02 − 2v0 sin αg t + g 2 t2
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Vector aceleración
z
Un punto se mueve con velocidad de módulo variable v(t); su trayectoria es una circunferencia horizontal de radio R y centro a una altura h.
b
M
s
O
b
ṡ = v
r
y
θ
x
z
b
v
→
s=
Z
t
v(t) dt
→
0


cos s/R
r = R sin s/R


h
x
γt > 0
~τ
O
s
R


 − sin s/R 
cos s/R = v ~τ
v = ṙ = ṡ


0
b
s
θ=
v̇ > 0
y
θ
v̇ < 0
τ
γn
z
τ
γn
n
n
γ
γt < 0
γn
b
n
b
τ
γt
y


 − sin s/R 
cos s/R +
γ = v̇ = s̈


0
ṡ2
R


− cos s/R
− sin s/R = v̇ ~τ +


0
v2
ρ
n
x
Manuel Ruiz - Mecánica I
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11
Coordenadas cilı́ndricas
z
Plano π que contiene a M y a Oz
Coordenadas cartesianas r, z en π
M
Coordenada θ : ∠ (π, Oxz)
Versores en las direcciones en que crecen las coordenadas:
r
uz
móviles
z
cte.
z }| { z}|{
ur , uθ , uz
uθ
y
O
θ
Polares: cilı́ndricas sin z, planas
ur
π
r
x
rM = r ur + z uz = r cos θ i + r sin θ j + z k
vM = ṙ ur + r u̇r + ż k = ṙ ur + r θ̇ uθ + ż k
γ M = r̈ − r θ̇2 ur + r θ̈ + 2ṙ θ̇ uθ + z̈ k
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Derivación de los versores: geométrica
y
uθ
∆ur
∆uθ
1
∆θ
uθ
∆θ
r
∆ur
∆
u
π
ur
1
u
r
+
θ
ur
θ
O
x
∆ur
dur
u̇r =
= lı́m
=
∆t→0 ∆t
dt
|∆ur |
∆θ
= lı́m
uθ = lı́m
uθ = u̇r = θ̇ uθ
∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
y
u̇r
∆uθ
lı́m
=
∆t→0 ∆t
|∆uθ |
lı́m
∆t→0 ∆t
∆θ
u̇θ
(−ur ) =
∆θ
= lı́m
(−ur ) = u̇θ = −θ̇ ur
∆t→0 ∆t
Manuel Ruiz - Mecánica I
∆θ
uθ
π
θ
ur
θ
x
O
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12
Derivación de los versores: analı́tica
y
Proyectar en ejes fijos, y derivar:
uθ
ur =
cos θ i + sin θ j
uθ = − sin θ i + cos θ j
M
π
θ
ur
x
θ
O
uθ
z
}|
{
u̇r = θ̇ − sin θ i + cos θ j
u̇θ = θ̇ − cos θ i − sin θ j
{z
}
|
−ur
⇒
u̇r =
θ̇ uθ
u̇θ = −θ̇ ur
que coincide con las expresiones obtenidas anteriormente.
Manuel Ruiz - Mecánica I
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Vector velocidad en cilı́ndricas
z
Se deriva el vector posición teniendo en cuenta las derivadas de los versores móviles, u̇r = θ̇ uθ :
ż
r θ̇
rM = r ur + z uz
M
b
vM = ṙ ur + r u̇r + ż uz =
O
= ṙ ur + r θ̇ uθ + ż uz
z
ṙ
y
θ
r
x
vM = ṙ ur + r θ̇ uθ + ż uz
Manuel Ruiz - Mecánica I
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Vector aceleración en cilı́ndricas
ż
z
r θ̇
ṙ
z̈
Se deriva el vector velocidad, teniendo en cuenta las derivadas de los versores móviles, u̇r = θ̇ uθ , u̇θ = −θ̇ ur :
−r θ̇2
r θ̈
v
M
M
= ṙ ur + r θ̇ uθ + ż uz
2ṙ θ̇
b
γ M = r̈ ur + ṙ u̇r + ṙ θ̇ uθ +
O
r̈
z
+ r θ̈ uθ + r θ̇ u̇θ + z̈ uz =
y
θ
r
x
= r̈ ur + ṙ θ̇ uθ + ṙ θ̇ uθ + r θ̈ uθ − r θ̇ θ̇ uθ + z̈ uz =
γ M = r̈ − r θ̇2 ur + r θ̈ + 2 ṙ θ̇ uθ + z̈ uz
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Velocidad areolar: conceptos previos
z
A
Área de un triángulo en el espacio, con un vértice en el origen:
A=
1
r ∧ ∆r
2
r
y
∆r
x
Vector normal al triángulo, de módulo
|A| =
1
1
|r| · |∆r| sin α = b h
2
2
∆r α
r
Se usarán para definir la velocidad areolar: concepto abstracto, pero muy útil en movimientos centrales
Manuel Ruiz - Mecánica I
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14
h
Velocidad areolar
z
Área barrida por un punto en un tiempo ∆t
∆A =
∆A
1
r ∧ ∆r
2
y
r
Velocidad areolar: área barrida por un móvil en la unidad de tiempo:
b
∆r
b
v
x
z
var
∆A
1
∆r
= lı́m
= r ∧ lı́m
=
∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
2
var =
1
r∧v
2
var
y
r
x
Aceleración areolar:
γ ar =
1 dvar
= (
v ∧ v + r ∧ γ)
dt
2
⇒
γ ar =
1
r∧γ
2
Manuel Ruiz - Mecánica I
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Movimientos centrales
El vector aceleración pasa siempre por un punto fijo, el Centro.
z
La velocidad areolar respecto al Centro es un vector constante
(r k γ)
v̇ar =
1
2
r∧γ =0
⇒
v
~
var = Cte.
γ
b
r
C
Son movimientos planos
y
~
~
r ∧ v = 2 var = Cte.
⇒ r ⊥ Cte.
~ = 0 ⇒ Ax + B y + C z = 0
r · Cte.
x
z
Coordenadas polares en el plano del movimiento, origen (polo)
en el Centro
γ = γ r ur + γθ
u
θ
var
r
y
b
v
x
Manuel Ruiz - Mecánica I
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15
Movimientos centrales
z
Velocidad areolar en cartesianas:
i j k
var = 12 x y 0 =
ẋ ẏ 0 var



0 
1
0
2

xẏ − y ẋ
θ
y
r
b
x
v
Velocidad areolar en polares: Ley de áreas
var
Por otro camino:
u r u θ u z 0 0 =
= 21 r
ṙ rθ̇ 0  
 0 
1
0
2

r2 θ̇
r2 θ̇ = C
⇒
r·
γ θ = rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0 −→ r2 θ̈ + 2rṙθ̇ =
(Cte. de áreas)
d 2
r θ̇ = 0 → r2 θ̇ = C
dt
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Consecuencias de la ley de áreas
θ̇ no cambia de signo:
r2 θ̇
=C
r2 > 0 ⇒ θ̇ 6= 0
θ̇ = 0 ⇒ r → ∞
θ̇ →
0
b
+
b
0
0
r→
∞
θ̇
¡No!
Trayectoria r(θ) y C determinan v, γ → Fórmulas de Binet
v
C = r θ̇
r
r θ̇
τ
τ
b
b
r
b
r 2 θ̇ = C
r(θ)
r
θ
→
→
r θ̇ =
τ (θ)
b
C
r
= vθ (θ)
r θ̇
τ (θ)
Manuel Ruiz - Mecánica I
θ
θ̇= C2
r
→ v(θ) −→
γ(θ)
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16
1a Fórmula de Binet
Conocidas r(θ) y C, hallar v(θ) , o v(θ)
Usar r2 dθ
dt = C para eliminar t : dθ =
v=
Introduciendo
dr 1
dθ r 2
d
= − dθ
d
v = −C
dθ
1
r
dr
dt
C
r2
dt
ur + r θ̇ uθ =
dr C
C
ur + r 2 uθ
2
dθ r
r
, queda más compacto:
C
1
ur + uθ
r
r
⇒
v2 = C 2
"
d
dθ
2 2 #
1
1
+
r
r
1a Fórmula de Binet
Manuel Ruiz - Mecánica I
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2a Fórmula de Binet
Conocidas r(θ) y C, hallar γ(θ) (solo γr , pues γθ = 0 ).
Usar r2 dθ
dt = C para eliminar t : dθ =
γ = γr =
d2 r
dt2
−r
θ̇2
C
r2
dt a
C 2
=
ṙ − r
=
r2
dt
i C
d h
C2
d 1
−C dθ
=
−
=
r
dθ
r2
r3
d
1
C 2 d2 1
+
γ=− 2
2
r
dθ
r
r
2a Fórmula de Binet
Manuel Ruiz - Mecánica I
a
b
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No se puede sustituir en la derivada 2a , solo en la 1a
Otro camino: derivar v(θ) y eliminar t. Pero se pierde tiempo calculando γθ .
17
Ejemplo: problema de Kepler
Aplicar la 2a fórmula de Binet a la aceleración gravitatoria:
GM m
µ
ur
(GM = µ) γ = − 2
2
r
r
1
1
µ
C 2 d2 1
+
Cambio:
− 2 =− 2
=u
2
dθ
r
r
r
r
r

 Homogénea: uh = A cos (θ + ϕ)
u′′ + u = Cµ2
 Particular:
up = Cµ2
F = mγ = −
r=
1
1
=
=
uc
up + uh
C 2 /µ
r=
1+
AC 2
µ
cos (θ + ϕ)
=
µ
C2
1
+ A cos (θ + ϕ)
p
1 + e cos (θ + ϕ)
Ecuación polar de una
cónica
Manuel Ruiz - Mecánica I
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Ejemplo: problema de Kepler
Cónica: la distancia r de un punto P de la curva a un punto fijo (Foco),
partida por la distancia de P a una recta fija (Directriz) es una constante
(excentricidad):
b
P
r
r
= e;
D − r cos θ
z}|{
r = eD − er cos θ →
Directriz
θ
p
b
F
→
r=
p
1 + e cos θ
p
D
e = 0 Circunferencia
e < 1 Elipse
b
e = 1 Parábola r(π) → ∞
e > 1 Hipérbola r(arccos −1
e )→∞
Manuel Ruiz - Mecánica I
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18