Tabla de integrales inmediatas

UNIVERSIDAD
DE MURCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS I. GRADO EN QUÍMICA
Integrales inmediatas
un+1
n+1
1.
R
un du =
2.
R
du
u
3.
R
eu du = eu + C
4.
R
au du =
5.
R
sen u du = − cos u + C
6.
R
cos u du = sen u + C
7.
R
csc u du = − ln | csc(u) + cot(u)| + C
8.
R
sec u du = − ln | sec(u) + tan(u)| + C
9.
R
du
sen2 u
= − cot u + C
10.
R
du
cos2 u
= tan u + C
11.
R
senh u du = cosh u + C
12.
R
cosh u du = senh u + C
13.
R
du
senh2 u
= coth u + C
1
senh2 u
= coth2 u − 1
14.
R
du
cosh2 u
= tanh u + C
1
cosh2 u
= 1 − tanh2 u
15.
R
√ du
1−u2
= arc sen u + C
16.
R
√−du
1−u2
= arc cos u + C
17.
R
du
1+u2
con n 6= −1
+C
= ln |u| + C
au
ln a
+C
con a > 0, a 6= 1
1
sen2 u
1
cos2 u
= arctan u + C
1
= 1 + cot2 u
= 1 + tan2 u
Formulario de
integración
18.
R
√ du
u2 +1
19.
R
√ du
u2 −1
20.
R
du
1−u2
√
= argsenh u + C = ln |u + 1 + u2 | + C
√
= argcosh u + C = ln |u + u2 − 1| + C
= argtanh u + C
Observaciones.
1. Del hecho de que 1 = sen2 u + cos2 u se desprende que
1
= 1 + cot2 u
sen2 u
1
= 1 + tan2 u
cos2 u
2. Del hecho de que 1 = cosh2 u − senh2 u se desprende que
1
= coth2 u − 1
senh2 u
1
= 1 − tanh2 u
cosh2 u
1.
Cambios de variable notables
R
dx
1. Si I = ax2 +bx+c
, y r = p ± ıq son las raı́ces del denominador entonces
hacemos el cambio t = x−p
q obteniendo
Z
1
dt
I=
.
2
aq
t +1
R√
2. Si I =
a2 − x2 dx hacemos u = arc sen( xa ) y obtenemos
x
p
a2
I=
arc sen
+ x a2 − x2 + C.
2
a
2.
Fórmulas de reducción
1. Si In =
R
cosn (u) du entonces
In =
2. Si In =
R
senn (u) du entonces
In =
3. Si I =
1
n−1
sen(u) cosn−1 (u) +
In−2 .
n
n
du
(1±u2 )n
1
n−1
cos(u) senn−1 (u) +
In−2 .
n
n
entonces
In =
u
2n − 3
+
In−1 .
2
n−1
2(n − 1)(1 ± u )
2n − 2
2
3.
Integral definida
Teorema 1. Si Rf (x) es una función integrable en un intervalo [a, b] y hax
cemos F (x) = a f (t)dt entonces F (x) es derivable en [a, b] y se tiene
F 0 (x) = f (x).
Teorema 2. Si f (x) es una función integrable en un intervalo [a, b] y
R
Rb
F (x) = f (t)dt es cualquier primitiva entonces a f (x)dx = F (b) − F (a).
4.
Aplicaciones
Sólo aparecen aquellas aplicaciones que tienen una fórmula directa. Los
métodos se tienen en los apuntes.
4.1.
Sea
Curvas en forma paramétrica
(
x = f1 (t)
C:
y = f2 (t)
t ∈ [t0 .t1 ].
entonces el área debajo de la superficie determinada por la curva y el intervalo es
Z t1
A=
f2 (t)f10 (t)dt.
t0
4.2.
Curvas en forma polar
Si f (α) es una función sobre un ángulo α integrable entonces el área
determinada por la función y las rectas de ángulos θ1 y θ2 es
Z θ1
A=
f2 (α)2 dα.
θ0
4.3.
Longitud de una curva
Si f (x) es una función con una curva continua en el intervalo [a, b] entonces la longitud de la curva en dicho intervalo es:
Z bq
1 + (f 0 (x))2 dx.
L=
a
4.4.
Volúmenes de sólidos de revolución
Si f (x) es continua, con f (x) ≥ 0 en [a, b] el volumen del sólido de
revolución generado por la curva en el intervalo es
Z b
V =π
f (x)2 dx.
a
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