El seno de la suma

Una conocida fórmula para el área de un triángulo
En Fig. 1, es claro que sen γ =
h
, de donde h = a sen γ . También en Fig.2,
a
reflexionando sobre la definición del seno cuando el ángulo está comprendido entre 90o
y 180o, se tiene sen γ =
a
h
.
a
h
h
γ
a
γ
b
Fig. 2
Fig. 1
En ambos casos su área es igual a
b
1
bh , y habida cuenta que h = a sen γ , en ambos
2
casos se tiene
Area =
•
1
b a sen γ
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno
del ángulo comprendido entre ellos.
Deducción sencilla de una fórmula de adición para el seno
β
α
b
h
a
Ta
Tb
Con Ta denotamos el triángulo izquierdo, con Tb el derecho y con T el triángulo
entero.
Es claro que
Area T = Area Ta + Area Tb
Pero según se vio anteriormente, el área de un triángulo es igual a la mitad del producto
de dos de sus lados, multiplicada por el seno del ángulo comprendido entre ellos.
Area T
=
Area Ta
=
Area Tb
=
1
a.b.sen(α + β )
2
1
a.h.sen α
2
1
b.h.sen β
2
de donde
1
1
1
a.b.sen(α + β ) = a.h.sen α + b.h.sen β
2
2
2
Multiplicando por 2 y dividiendo por ab se tiene
sen(α + β ) =
h
h
sen α +
sen β
b
a
Pero como es sencillo ver:
h
h
= cos β ;
= cos α
b
a
de donde surge la conocida fórmula de adición
sen(α + β ) = sen α cos β + cos α sen β .