MAT 1135E SEM II-98

EXAMEN FINAL MAT 1135 “E”
DOCENTE: Ing. Eduardo Echeverría Castillo
SEM II/98
FILA 2
1.- Un investigador científico informa que los ratones de un experimento vivirán un promedio de
40 meses cuando sus dietas sean severamente restringidas y luego se enriquezcan con vitaminas y
proteínas. Suponiendo que los tiempos de vida de estos ratones se distribuyen normalmente con
una desviación estándar de 6.3 meses. Determinar la probabilidad de que un ratón viva
a) Mas de 32 meses
b) Entre 37 y 49 meses
Solución:
a) Datos:
Utilizando la distribución normal estandarizamos
40 meses
x
32 40
z
1 . 26
6 .3
6 . 3 meses
Se nos pide mas de 32 meses entonces x=32
z
1 . 26 por tablas: área=0.8962
Sabiendo que la distribución normal es
simétrica decimos que:
P(x
32 )
0 . 8962
b) Tenemos x1=37 y x2=49.Estandarizamos ambas variables
x1
40
0 . 47
6 .3
x2
49 40
z2
1 . 42
6 .3
Para z1 por tablas tenemos
de tablas obtenemos que para z=0.47
la probabilidad es 0.6808 pero como
necesitamos el reciproco este será
z1=1-0.6808=0.3192
Para z2=1.42 por tablas la probabilidad
es 0.9222
El área que buscamos esta comprendida entre z1 y z2 por tanto restando área superior menos la
inferior obtendremos la respuesta
z1
P ( 37
37
x
49 )
0 . 9222
0 . 3162
0 . 603
2.- Todas las noches el Señor Pérez llega tarde a su casa. La señora Pérez que es buena esposa le
deja encendida la luz de la entrada a la casa. La probabilidad de que el señor Pérez llegue
borracho es 0.60. Si llega borracho, hay una probabilidad de 0.90 que olvide apagar la luz en
tanto que esta es solo 0.05 si llega sobrio
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Pérez apague la luz en una noche cualquiera?
b) Dado que el señor Pérez apago la luz una noche cualquiera ¿Cuál es la probabilidad que
haya llegado borracho?
Solución:
Sean los sucesos:
A: El señor Pérez llega borracho
B: El señor Pérez No apaga la luz
El espacio muestral será:
S
{( A , B ), ( A , B ), ( A , B ), ( A , B )}
a) Datos:
P ( A ) 0 . 60 (Probabilidad de que el señor Pérez llegue borracho)
P ( B A ) 0 . 90 (Probabilidad de no apagar la luz si llega borracho)
P (B A)
0 . 05 (Probabilidad de no apagar la luz si no llega borracho)
P ( A)
P ( A)
1
1
0 . 60
0 . 40
P (B A)
1
P (B A)
1
0 . 90
0 . 10
P (B A)
1
P (B A)
1
0 . 05
0 . 95
P(B)
P ( A) P (B A)
P(B)
0 . 60 0 . 10
P(B)
0 . 44
b) P ( A B )
0 . 40 0 . 95
?
P(A B)
Por Regla de Bayes
P(A
P ( A) P (B A)
B)
P(A
B)
P(B)
P ( A) P (B A)
Reemplazando tenemos:
P(A B)
P ( A) P (B A)
P(B)
P(A B)
0 . 136
0 . 60 0 . 10
0 . 44
3.- La duración en minutos de un disco de 33 r.p.m. grabados por una compañía disquera es
una variable aleatoria x con una función de densidad:
f (x)
1
x
3
0
1 2
x
36
3
4
3
x
9
otro caso
a) ¿Cuál es la probabilidad que la duración de un disco exceda a 6 minutos?
b) Si la compañía graba 1000 discos ¿Cuántos de ellos tienen una duración de más de 6
minutos?
c) Calcule la media de x
Solución:
6)
a) P ( x
?
9
P(x
1
x
3
6)
6
9
1
3
6
1 92
3 2
15
2
x dx
6
1 93
36 3
9
4
9
3
dx
4
9
3
4
2
62
2
19
4
P(x
9
1
36
xdx
1 2
x
36
2 9
1
3
dx
6
63
3
6
x
2
3
9
4
9
1
xdx
3
6
3 9
1
36
6
x
3
1 45
3 2
6
9
1 2
x dx
36
6
3
x
4
6
3
dx
4
1
171
36
9
6
3
3
4
1
2
1
2
6)
b) x =1000 discos P(x) = 1/2
E (x)
x P (x)
E (x)
500
1
2
1000
500
c) Por definición la media es E ( x )
9
E (x)
1
x
3
x
3
1
3
9
1
36
2
x dx
3
3
3
1 2
x
36
3
4
3
x dx
3
4
f (x)
9
3
dx
4
9
1 9
3
1 9
3 3
3
36 4
78 45 27 6
x
x
4
3
4
9
xdx
3
2
3 9
4 2
3
1 2
x dx
3
1
3
x3
3
2
3
2
9
3
9
3
1 3
x dx
36
1
36
x4
4
1
234
3
9
3
9
3
3
4
1
1620
36
3
xdx
4
x2
2
9
3
3
36
4
6
4.- De los 250 empleados de una compañía 130 fuman cigarrillos. Hay 150 hombres que trabajan
en esta compañía, de los cuales 85 fuman cigarrillos ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado
seleccionado al azar
a) No fume cigarrillos
b) Sea mujer y fume cigarrillos
Solución:
Sean los sucesos:
H: Seleccionado sea hombre
F: Seleccionado fume
a) Datos: P ( F )
150
250
P(H )
P(F )
?
1
P(F H )
P(F )
1
130
250
85
150
120
250
P(F )
P(H )
1
130
250
P(H )
1
150
250
100
250
F) ?
b) P ( H
Por la regla de Bayes
P(H
F)
P(H ) P(F H )
Utilizando
P(F )
P(H ) P(F H ) P(H ) P(F H )
P(F ) P(H ) P(F H )
P(F H )
P(H )
130
150
85
250
250 150
P(F H )
100
250
9 50
9
P(F H )
100 250
20
Ahora para hallar la probabilidad requerida reemplazamos
P(H
F)
P(H
F)
P(H ) P(F H )
100
9
9
250 20
50
José Herberth Falcon Ballesteros
AUXILIAR MAT 1135