Función Transferencia y Respuesta Impulsiva

Función Transferencia y Respuesta Impulsiva
Daprotis Martín
Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Julio 2011
Resumen: En esta informe se desarrollaran las aplicaciones en ingeniería eléctrica de la transformada de Laplace vistas en el
transcurso de la materia Funciones de Variables Complejas. Se desarrollara en particular: Función de Transferencia, que
relaciona la entrada y salida de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, Respuesta al Impulso, la cual permite
relacionar la función de transferencia mediante Laplace, y Estabilidad del Sistema mediante los polos y ceros de la función
transferencia.
Palabras Claves: Función Transferencia, Impulso, Estabilidad
I.
INTRODUCCIÓN:
La transformada de Laplace tiene numerosas aplicaciones en la ingeniería. Resulta particularmente útil en
problemas en que la fuerza impulsora (mecánica o eléctrica) presenta discontinuidades, es impulsiva o es
periódica pero no una simple función seno o coseno. Otra de sus ventajas es que con este método los problemas
se resuelven de manera directa.
Aquí nos enfocaremos más hacia las aplicaciones de electrónica.
Sea:
∞
(1)
La operación que acaba de describirse, mediante la cual se obtiene
a partir de una
dada, es
llamada transformada de Laplace, además
es llamada la transformada inversa de laplace y se denota
. Es decir:
(2)
En esta nota de aplicación mostraremos la resolución de las ecuaciones diferenciales mediante la
Transformada de Laplace, veremos también el significado de la Función Transferencia y la respuesta al impulso,
y finalmente analizaremos los polos y ceros para determinar la estabilidad de sistemas.
II. SISTEMAS LINEALES E INVERIANTES EN EL TIEMPO
A. Función transferencia:
El modelo básico de un sistema describe matemáticamente la influencia de una señal de entrada u(t) sobre
otra señal de salida y(t). Supóngase que ambas están relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal con
coeficientes constantes, de orden n.
(3)
Figura 1: Relación entrada-salida representada en diagrama de bloque
Es importante observar que físicamente la salida depende de la entrada. Esta orientación no queda bien
reflejada en la ecuación diferencial, aunque se hace explicita en los diagramas de bloques.
Se transforman ahora ambos miembros de la ecuación. Si ambas señales son causales (y por tanto tienen
condiciones iníciales nulas), cada derivada se traduce simplemente en un producto por s, y la ecuación
diferencial en t se convierte en una ecuación algebraica en s:
Definiendo los polinomios:
∑∞
(4)
∑∞
(5)
Entonces tenemos que:
(6)
La salida puede expresarse (en transformadas) como la entrada multiplicada por la función de transferencia
del sistema, estando inicialmente el sistema en reposo. Expresada como cociente de polinomios:
(7)
y
(8)
•
Los sistemas de orden no mínimo tienen raíces comunes a B(s) y A(s): la función de transferencia debe
escribirse de forma simplificada, y es de orden inferior a n.
•
Las funciones de transferencia propias tienen numerador de orden menor o igual al del denominador:
esto siempre sucede en sistemas físicos, y se supondrá implícitamente.
•
Las raíces del denominador y del numerador se denominan, respectivamente. polos y ceros de F(s).
Vale recordar que el concepto de función de transferencia es aplicable exclusivamente a sistemas lineales e
invariantes en el tiempo, aunque existen algunas extensiones de aplicación limitada.
La ecuación
0 es llamada la ecuación característica del sistema, el orden determina el orden del
sistema y sus raíces se conocen como los polos de la función de transferencia. De la misma manera, las raíces de
0 son los ceros de la función de transferencia.
Es una propiedad del propio sistema y es independiente tanto de la entrada como de la salida del sistema
A pesar de que una función de transferencia caracteriza la dinámica del sistema, no proporciona información
concerniente a la estructura física real del sistema, y de hecho sistemas que son físicamente distintos puede tener
la misma función de transferencia.
En la práctica, un sistema completo puede formarse de cierto número de componentes, cada una
caracterizada por su propia función de transferencia y relacionadas con una operación en caja/bloque. Así que la
función de transferencia de entrada-salida del sistema completo se obtiene por las reglas del algebra de bloques
como:
…
…
y
son los ceros y los polos de la función de transferencia respectivamente, vemos que
Donde
conocida excepto por un factor constante, si se conocen las posiciones de todos los polos y ceros.
9
es
B. Respuesta al impulso:
La respuesta al impulso
de un sistema lineal invariante en el tiempo es la respuesta al sistema a un
impulso unitarion aplicado en el tiempo
0 cuando todas las condiciones iníciales son cero. Es tal que
, donde
es la función transferencia.
Para un sistema que tiene función transferencia
la salida o respuesta
, inicialmente en estado de
reposo, a una entrada
está determinada por la relación de las transformadas como vimos en (7)
Si la entrada
es la función impulso unitario
entonces la respuesta al sistema estará determinada
por:
10
Aplicando la transformada inversa de Laplace llegaremos a la respuesta en el tiempo correspondiente de
, que se llama la respuesta al impulso del sistema; esto es, la respuesta al impulso está dada por :
(11)
como la respuesta impulso es la transformada inversa de Laplace de la función transferencia, llevan la misma
información acerca de la dinámica del sistema lineal invariante en el tiempo. Por lo tanto, en teoría, es posible
determinas la información completa acerca del sistema excitándolo con un impulso y midiendo la respuesta. Por
esta razón es una práctica común en ingeniería ver la función de transferencia como la transformada de Laplace
de la respuesta del impulso, ya que esto es de gran significado en los parámetros del sistema cuando se
consideran diseños de sistemas.
C. Estabilidad:
La estabilidad de un sistema es una propiedad muy importante para los ingenieros. Un sistema estable es
aquel que permanece en reposo a menos que sea excitado por una fuente externa, y retorna al reposo si se quitan
tales influencias externas. Así un sistema estable cuya respuesta, en la ausencia de una entrada, se aproximara a
cero conforme el tiempo tiende a infinito. Esto garantiza entonces que cualquier entrada acotada producirá salida
acotada; esta propiedad se toma con frecuencia como la definición de un sistema lineal estable.
Es posible utilizar las funciones trasferencia F(s) para especificar las condiciones para que el sistema sea
estable:
•
Para un polo simple en
, haciendo fracciones parciales de
se llegara a un termino de la
forma /
, al cual se le aplica la antitransformada, se tiene que el tiempo de respuesta
correspondiente es
.
o
Si
0, de forma que el polo esta en la mitad izquierda del plano s, la respuesta del
tiempo tendera a 0 conforme
∞, que es lo que buscamos para que sea estable como
dijimos anteriormente.
o
Si
0 de forma que el polo esta en la mitad derecha del plano s, la respuesta en el
tiempo crecerá sin cota conforme
∞, esto es lo que no buscamos.
o
0, es correspondiente a un polo simple en el origen, el cual tiene una respuesta
, a este se lo llama sistema estable marginalmente, esto no asegura que una
entrada acotada lleve a una salida acotada.
Si
•
Para un polo múltiple, en
, haciendo fracciones parciales de
, cuya respuesta de tiempo es
la forma /
!
se llegara a un término de
. De igual manera que el
anterior Si
0, la respuesta del tiempo tendera a 0 conforme
∞, esto indica que un sistema
estable debe tener todos los polos repetidos con valores reales de
en la mitad izquierda del
plano .
•
Para un par de polos complejos conjugados en
,
que tiene como
.
respuesta de tiempo correspondiente
y
/ .
Donde
Nuevamente vemos que los polos en la mitad izquierda del plano s , tienen respuestas en el tiempo
correspondientes que se desvanecen en el tiempo en forma de una senoidal exponencialmente
amortiguada cuando
∞, siendo así un sistema estable.
Si
0, la respuesta de tiempo correspondiente será senoidal periódica que no se desvanece
cuando
∞ cuando la entrada es una senoidal con la misma frecuencia .
Definición: Un sistema lineal causal invariante en el tiempo físicamente realizable con función de
transferencia F(s) es estable siempre que todos los polos de F(s) estén en la mitad izquierda del plano s.
III. CONCLUSIONES
Como se vio en este artículo, en los sistemas lineales invariantes en el tiempo la función transferencia puede
servir para especificar las condiciones de estabilidad del sistema, de manera que se caracteriza por su respuesta
de impulso, podemos decir que el sistema es estable siempre que su respuesta al impulso decaiga a cero
conforme
∞,
REFERENCIAS
[1] G. Calandrini, “Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable
Compleja”. 1er. Cuatrimestre 2011, pp.50-53, 56-59. 2010.
[2] G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002, pp.177202.
[3] Ramón Rodríguez Pecharromán, "Función de transferencia", [internet], disponible en
http://www.dea.icai.upco.es/ramon/Ra4/RA2.pdf
[4] Electric Circuit Analysis, Third Edition, David E. Johnson, Johnny R. Johnson.