Propiedades de la suma

PPR
RO
OPPIIE
ED
DA
AD
DE
ESS
D
DE
E
L
LA
A
SSU
UM
MA
A
D
DE
E
N
NÚ
ÚM
ME
ER
RO
OSS
N
NA
AT
TU
UR
RA
AL
LE
ESS..
La suma de números naturales cumple las siguientes propiedades:
1) Conmutativa: m+n = n+m.
∀ m, n ∈ N.
2) Asociativa: (m+n)+p = m+(n+p).
∀ m, n, p ∈ N.
3) Existencia de elemento neutro 0: n+0 = 0+n = n
∀ n ∈ N.
‰
DEMOSTRACIÓN:
1) Procediendo por inducción sobre n, si m es un número natural arbitrario
• Para n = 1, m + 1 = s(m) ∈ N por definición.
Luego la propiedad es cierta para n = 1.
•
Supuesto cierto para un n cualquiera, será m+n = n+m, entonces por la
definición de suma
m + s (n) = s (m+n) = m+n+1= por hipótesis = n+m+1 = s(m+n) =
= m + s(n)
Luego m + n = n + m.
2) Procediendo por inducción sobre p, sea m y n dos números naturales
arbitrarios
•
Para p = 1, (m+n)+1 = s(m+n) = m+s(n) = m+(n+1) es cierta.
•
Supuesto, que se cumple para un cierto p, es decir:
(m+n)+p = m+(n+p).
Se cumple:
(m+n)+s(p) = s((m+n)+p) = “por hipótesis“ =
= s(m+(n+p)) = m+s(n+p)
= m+n+s(p).
Y por la arbitrariedad de m, n ∈ N se cumple la propiedad.
3) Procediendo por inducción sobre n
•
Para n = 1, 1+0 = 0 +1 = s(0) = 1
•
Supuesto cierto para n, es decir n + 0 = 0 + n = n, entonces se cumple:
s(n)+0 = n+1+0 = n+0+1= n+1 = 0+n+1 = 0+s(n)= s(n).
Luego la propiedad para cualquier n.
C. q. d.