Propiedades de la suma
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PPR RO OPPIIE ED DA AD DE ESS D DE E L LA A SSU UM MA A D DE E N NÚ ÚM ME ER RO OSS N NA AT TU UR RA AL LE ESS.. La suma de números naturales cumple las siguientes propiedades: 1) Conmutativa: m+n = n+m. ∀ m, n ∈ N. 2) Asociativa: (m+n)+p = m+(n+p). ∀ m, n, p ∈ N. 3) Existencia de elemento neutro 0: n+0 = 0+n = n ∀ n ∈ N. DEMOSTRACIÓN: 1) Procediendo por inducción sobre n, si m es un número natural arbitrario • Para n = 1, m + 1 = s(m) ∈ N por definición. Luego la propiedad es cierta para n = 1. • Supuesto cierto para un n cualquiera, será m+n = n+m, entonces por la definición de suma m + s (n) = s (m+n) = m+n+1= por hipótesis = n+m+1 = s(m+n) = = m + s(n) Luego m + n = n + m. 2) Procediendo por inducción sobre p, sea m y n dos números naturales arbitrarios • Para p = 1, (m+n)+1 = s(m+n) = m+s(n) = m+(n+1) es cierta. • Supuesto, que se cumple para un cierto p, es decir: (m+n)+p = m+(n+p). Se cumple: (m+n)+s(p) = s((m+n)+p) = “por hipótesis“ = = s(m+(n+p)) = m+s(n+p) = m+n+s(p). Y por la arbitrariedad de m, n ∈ N se cumple la propiedad. 3) Procediendo por inducción sobre n • Para n = 1, 1+0 = 0 +1 = s(0) = 1 • Supuesto cierto para n, es decir n + 0 = 0 + n = n, entonces se cumple: s(n)+0 = n+1+0 = n+0+1= n+1 = 0+n+1 = 0+s(n)= s(n). Luego la propiedad para cualquier n. C. q. d.
