MATERIAS
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PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA,
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PRINCIPIO DE INDUCCION COMPLETA
Sea T Ð8 Ñ una proposición abierta. Diremos que T Ð8Ñ es verdadera a 8 − ssi:
a)
b)
T Ð " Ñ es verdadera.
Si T Ð 5 Ñ ´ Z Ê T Ð 5 " Ñ ´ Z ß entonces
T Ð8Ñ ´ Z
a8 −
Ejercicio resuelto:
1)
Pruebe usando inducción sobre 8 que T Ð 8 Ñ À -9= Ð 81 Ñ œ Ð "Ñ 8
Solución:
a)
Para 8 œ "
¾ T Ð"Ñ ´ Z
-9= 1 œ Ð "Ñ " œ "
b)
Sea válida para 8 œ 5ß es decir
-9= Ð 5 1 Ñ œ Ð "Ñ 5
Este supuesto se conoce como Hipótesis de Inducción.
c)
Por demostrar que T Ð 5 " Ñ ´ Z es decir, -9= Ð Ð5 "Ñ1 Ñ œ Ð "Ñ5"
-9= Ð Ð5 "Ñ1 Ñ œ -9= Ð 5 1 1Ñ œ -9= Ð 5 1Ñ -9= Ð1Ñ =/8Ð5 1Ñ =/8 1
œ Ð "Ñ5 † Ð "Ñ ! œ Ð " Ñ5"
¾ -9= Ð Ð5 "Ñ1 Ñ œ Ð " Ñ5"
¾ T Ð5 "Ñ ´ Z
2)
Demuestre que si 8 es cualquier número natural, entonces
X Ð8Ñ œ
"
$
† Ð 8$ #8 Ñ es un número entero.
a)
Pra 8 œ "
b)
c)
Sea válida para 8 œ 5ß es decir X Ð 5 Ñ œ
Por demostrar que X Ð 5 " Ñ ´ Z
X Ð"Ñ œ
¾ X Ð"Ñ ´ Z
"
$
$
$
† Ð "$ # † " Ñ œ
"
$
œ" −™
† Ð 5 $ #5 Ñ es un número entero
X Ð 5 " Ñ œ "$ † Ð Ð5 "Ñ$ #Ð5 "Ñ Ñ
œ "$ † Ð 5 $ $5 # $5 " #5 # Ñ
œ "$ † Ð 5 $ #5 Ñ "$ † Ð $5 # $5 $ Ñ
œ "$ † Ð 5 $ #5 Ñ Ð 5 # 5 " Ñ
como 5 − Ê Ð 5 # 5 " Ñ −
¾
3)
"
$
† Ð 5 $ #5 Ñ Ð 5 # 5 " Ñ − ™ ;Þ/Þ.Þ
Pruebe usando inducción sobre 8 que
T Ð 8 Ñ ³ "# ## $# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ8# œ
Sol:
+Ñ
,Ñ
T Ð" Ñ ³ "# œ "†#†$
' œ"
¾
T Ð"Ñ ´ Z
Hipótesis de Inducción
T Ð 5 Ñ ³ "# ## $# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ5 # œ
-Ñ
8†Ð 8" цР#8" Ñ
'
Por demostrar que T Ð 5 " Ñ ´ Z ß es decir
5†Ð 5" цР#5" Ñ
'
T Ð5 "Ñ œ
Ð 5" цР5# цÐ#5$ Ñ
'
T Ð 5 " Ñ ³ "# ## $# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ5 # Ð 5 " Ñ # œ
œ
œ
œ
œ
5†Ð 5" цР#5" Ñ
Ð 5 " Ñ#
'
Ð 5" Ñ
† Ð 5 Ð#5 "Ñ 'Ð 5 "ÑÑ
'
Ð 5" Ñ
Ð 5" Ñ
† Ð #5 # 5 '5 'ÑÑ œ ' † Ð #5 # (5
'
Ð 5" Ñ
Ð 5" цР5# цÐ#5$ Ñ
† Ð5 #Ñ † Ð#5 $ Ñ œ
'
'
'ÑÑ
;Þ/Þ.Þ
Ejercicios propuestos:
Demuestre usando induccion que:
"Þ
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À ##8" *8# $8 # ß 8 − son
divisibles por 54.
#Þ
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À $%8# &#8" ß 8 − son divisibles por
54.
$Þ
B8 C8 ß es divisible por Ð B C Ñ
%Þ
" † # # † $ $ † % ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 8 † Ð 8 " Ñ œ
&Þ
El producto de tres números consecutivos es divisible por 6.
'Þ
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À $#8% ##8 ß 8 − son
divisibles por 5.
(Þ
Todos los números de la forma T Ð8Ñ À &#8 ( ß 8 − son divisibles por ).
)Þ
" % ( ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÐ $8 # Ñ œ
*Þ
8
& * "$ ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ %8#"" œ #8"
ß8 −
"!Þ $8 #8 "ß 8 −
8 Ð $8" Ñ
ß
#
8−
8†Ð 8" цР8# Ñ
$
0
