Ejercicios Resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS.
DISTRIBUCIONES MUESTRALES.
Ejemplo 1:
Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de
forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar
de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de
esta población, determine:
a.
la media y la desviación estándar de la distribución muestral del promedio
muestral.
Respuesta:
Población: N=1000 estudiantes
Se mide la variable X= estaturas de estudiantes en centímetros
X ~ N(174,5; 6,9) es decir
µ = 174,5 cms
σ = 6,9 cms
Muestra: n=25.
La distribución muestral de la media muestral es:
x ~ N(174,5; 6,9 / 25 )
Por lo tanto la media del promedio muestral
y la desviación estándar de
b.
x es σ x =
6,9
25
x es µ x = 174,5 cms
= 1,38 cms
el número de las medias muestrales que caen entre 172,5 y 175,8
centímetros.
Respuesta:
P(172,5 < x < 175,8) = P(x < 175,8) − P(x < 172,5)
P (172,5 < x < 175,8) = P (Z <
175,8 − 174,5
172,5 − 174,5
) − P (Z <
)
1,38
1,38
P(172,5 < x < 175,8) = P(Z < 0,94) − P (Z < −1,45)
P (172,5 < x < 175,8) = P(Z < 0,94) − P (Z > 1,45)
P(172,5 < x < 175,8) = P (Z < 0,94) − {1 − P(Z < 1,45)}
P(172,5 < x < 175,8) = 0,8264 − {1 − 0,9265}
P(172,5 < x < 175,8) = 0,8264 − 0,0735
P (172,5 < x < 175,8) = 0,7529
El 75,29% de las medias muestrales se encontrarán entre 172,5 y 175,8 cms.
Por lo tanto si se extraen 200 muestras 0,7529x200=150,58.
Aproximadamente 151 medias caerían entre 172,5 y 175,8 cms.
Ejemplo 2:
Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen dificultad para
memorizar. Experiencias anteriores han consistido en exponer 5 palabras ante
los estudiantes durante 10 segundos al comienzo de la clase y luego preguntar
por ellos al final de la clase, obteniéndose la siguiente distribución de
probabilidad:
Cantidad de palabras que recuerdan
0
1
2
3
4
5
P(X=x)
0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05
En una muestra aleatoria de 64 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que en
promedio recuerden por lo menos 3 palabras?
Respuesta:
Muestra aleatoria n=64.
La distribución de la media muestral es: x ~ N(µ
= µ = 2,75, σ
σ
σ
)
n
64
En primer lugar, debemos encontrar el promedio o valor esperado de palabras
es:
µ X = 0 ∗ 0,05 + 1 ∗ 0,15 + 2 ∗ 0,20 + 3 ∗ 0,25 + 4 ∗ 0,30 + 5 ∗ 0,05
µ X = 0 + 0,15 + 0,40 + 0,75 + 1,20 + 0,25
µ X = 2,75 palabras.
x
x
=
=
Necesitamos encontrar sigma, la desviación estándar del número de palabras:
σ 2X = 02 ∗ 0,05 + 12 ∗ 0,15 + 22 ∗ 0,20 + 32 ∗ 0,25 + 42 ∗ 0,30 + 52 ∗ 0,05 − 2,752
σ 2X = 0 + 0,15 + 4 ∗ 0,20 + 9 ∗ 0,25 + 16 ∗ 0,30 + 25 ∗ 0,05 − 7,5625
σ 2X = 0,15 + 0,80 + 2,25 + 4,8 + 1,25 – 7,5625
σ 2X = 1,6875
σ X = 1,299 palabras.
La distribución de la media muestral es: x ~ N(2,75, σ
σ
x = n =
1,299
64
= 0,1624)
P(media muestral > 3) =
3 − 2,75
) = P(Z > 1,54) = 1 − P(Z < 1,54) = 1 − 0,9406 = 0,0594
P(Z >
0,1624
Es decir, la probabilidad de que en promedio al menos recuerden 3 palabras es de
0,0594.