Difusión de intersticiales en estado inestable, 1D, sin reacción

Difusión de intersticiales en estado inestable, 1D, sin reacción
Medio semi-infinito
Solución analítica por el método de Transformada de Laplace1
Dr. Bernardo Hernández Morales
Descripción: Considera una placa semi-infinita, inicialmente a una concentración CA,0 =
0, como se muestra en la figura. La superficie en x = 0 (pared activa) se expone a un medio
que instantáneamente fija una concentración constante CA,S , mientras que el proceso opera
isotérmicamente. El coeficiente de difusión de A en la placa es constante.
CA,0 = 0
x
Objetivo: Determinar expresiones matemáticas para la distribución espacial de concentración como función del tiempo, CA (x, t), y para la cantidad de materia que ha ingresado
al sistema en un tiempo t.
Características
• Control por transporte de masa: difusión de intersticiales a través de la placa
• Estado no estacionario
• Coordenadas rectangulares, flujo 1D (direccción x)
• Medio semi-infinito
• Sin reacción química homogénea
• Coefieciente de difusión constante
1
Basado en: M. N. Öziçik. Transferencia de Calor. McGraw-Hill. México, 1979.
1
Formulación Matemática
La ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema es:
∂CA (x, t)
∂ 2 CA (x, t)
=
2
∂x
∂t
sujeta a las condiciones de frontera
DA
en 0 ≤ x < ∞, t > 0
(1)
C.F.1:
CA (x, t) = CA,S
en
x = 0, t > 0
(2)
C.F.2:
CA (x, t) = 0
en
x → ∞, t > 0
(3)
CA (x, t) = 0
x ≥ 0, t = 0
y la condición inicial
C.I.:
(4)
Solución analítica
La solución analítica de una ecuación diferencial involucra dos pasos: 1) obtención de
la solución general y 2) obtención de la solución particular. Para este caso se utilizará al
método de transformada de Laplace.
El método de transformada de Laplace consiste en aplicar el operador transformada de
Laplace (L) a la ecuación gobernante (Ec. 1):
∂ 2 CA (x, t)
∂CA (x, t)
(5)
L DA
=L
∂x2
∂t
con lo que se obtiene2 la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal:
s
d2 CA (x, s)
−
CA (x, s) = 0
2
dx
DA
sujeta a las condiciones de frontera
C.F.1a :
CA (x, s) =
1
· CA,S
s
en 0 ≤ x < ∞
en x = 0
(6)
(7)
1
·0=0
en x → ∞
(8)
s
Nótese que al aplicar el operador transformada de Laplace se ha removido la derivada
parcial
con
respecto al tiempo y se ha introducido la función concentración transformada
CA (x, s) . Como consecuencia de esto, ya no es necesario tener una condicióninicial.
La solución general de la Ec. 6 es:
s
s
CA (x, s) = C1 exp −
x + C2 exp +
x
(9)
DA
DA
C.F.2a :
CA (x, s) =
2
L [f(t)] = f (s)
1
L [constante] = ·constante
s
df (t)
L
= sf(s) − f (0)
dt
2
aplicando la C.F.1a en la Ec. 9 :
CA,S
s
s
(0) + C2 exp +
(0) = C1 + C2
= C1 exp −
s
DA
DA
(10)
aplicando la C.F.2a en la Ec. 9 :
∴
s
s
0 = C1 exp −
(∞) + C2 exp +
(∞)
DA
DA
s
∞
0 = 0
+ C2 exp +
DA
C2 = 0
(11)
susbtituyendo C2 en la Ec. 10:
CA,S
(12)
s
Substituyendo C1 y C2 en la solución general (Ec. 9) se obtiene la solución particular:
CA,S
s
exp −
CA (x, s) =
x
(13)
s
DA
C1 =
Para retornar al dominio t, se procede a invertir la solución:
CA,S
s
−1
−1
exp −
L
CA (x, s) = L
x
s
DA
(14)
Las funciones inversas están disponibles en tablas (p. ej. en M. N. Özişik. Heat Conduction. John Wiley and Sons, 1980, pp. 259-262), de donde se obtiene (Caso 42):
x
(15)
CA (x, t) = CA,S erfc √
2 DA t
Nota: El modelo matemático es, desde luego, también aplicable para transporte
de materia en unidades másicas o en unidades atómicas, una vez que se realizan
las equivalencias correspondientes.
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