I. Base y Dimensión* Definición: Un conjunto de vectores {v1, v2, v3

I. Base y Dimensión*
Definición: Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, …, vn} forma una base para V si :
 {v1, v2, v3, …, vn} son linealmente independientes ( L.I.)
 {v1, v2, v3, …, vn} genera a V (todo vector de u V es una combinación
lineal de {v1, v2, v3, …, vn},
u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + … + cn vn
Ejemplo en V= ℝ2
u = (-2, 10) , v1 = (1,0), v2 = (0,1) pues
u = -2 v1+ 10 v2
Reconocemos que v1 = i, v2 = j forman una BASE para ℝ2. Por lo tanto la
dimensión de ℝ2 es 2.
¿Qué entendemos por dimensión de un espacio vectorial V?
Definición: El número de vectores en la base de V, se llama dimensión de V: dim
V.
Por ejemplo, para la base {v1, v2, v3, …, vn}, dim V = n. (Los espacios de
Funciones continuas :C[0,1], son de dimensión infinita.)
Ejemplos (para discusión):
1)
2)
3)
4)
5)
Sean e1 =i= (1, 0) y e2 =j = (0, 1) vectores en ℝ2. Entonces forman una base
para ℝ2, y dim ℝ2 = 2.
Existe un teorema que señala que cualquier conjunto de n vectores
linealmente independientes en ℝn genera a ℝn. Por tanto, todo conjunto de n
vectores linealmente independientes en Rn forma una base en ℝn. En ℝn se
define: e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0), …,
en = (0, 0, 0, …, 0, 1). A esta base se le llama la base “estándar”,
“canónica”, o “usual” de ℝn.
Los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 5) generan a ℝ3 y son linealmentes
independientes, entonces forman una base para ℝ3.
Sean (0, 1) y (1, 1) elementos de ℝ2. Estos vectores son linealmente
independientes y generan a ℝ2. Por tanto, forman una base en ℝ2.
Los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) no forman una base en ℝ3, porque 2
vectores generan un plano, pero No generan a ℝ3
a) Podemos encontrar a vectores en ℝ3 que no se pueden expresar
como combinación lineal de estos dos.
b) Ejemplo: w = (0, 0, 1) elemento de ℝ3 no puede expresarse como
combinación lineal de estos dos:
(0, 0, 1) = c1(1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0)
*Creado por la Prof. Nilsa Toro y revisado por Prof. Carmen Caiseda
6)
7)
= (c1, 0, 0) + (0, c2, 0)
= (c1, b, 0). Implica que 1 = 0 y eso no es cierto.
c) Este ejemplo equivale a resolver el sistema lineal en la matriz
aumentada:
0 = c1 + 0
0 = 0 + c2
1=0+0
10 0
[0 1| 0]
00 1
d) Requiere 3 vectores L.I. para generar ℝ3 ser una base.
Los polinomios 1, x, x2, x3 son linealmente independientes en P3. Estos
polinomios también generan el espacio vectorial P3. Por tanto, {1, x, x2, x3}
es una base para P3. En general, {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base
para Pn. A esta base se le conoce como la base usual de Pn.
1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 


0 0   0 0  1 0   0 1 


El conjunto de matrices
generan a M22. Si
1 0 
0 1 
 0 0
 0 0  0 0
  c2 
  c3 
  c4 
  

c1 
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0









 vemos que
tenemos que:
c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Por tanto, estas matrices son linealmente
independientes. Así que este conjunto de matrices forman la base usual
para M22.
Teorema 1: Si {v1, v2, v3, …, vn} es una base de V y si v  V, entonces existe un
conjunto único de escalares c1, c2, c3, c4, …, cn tal que:
v = c1v1 + c2v2 + c3v3 + … + cnvn.
Esto equivale a decir que Ac = v tiene una solución única, donde las columnas de
A son {v1, v2, v3, …, vn}.
Teorema 2: Si {u1, u2, u3, …, um} y {v1, v2, v3, …, vn} forman bases para el espacio
vectorial V, entonces m = n, esto es, cualquiera dos bases en un espacio vectorial
V tienen el mismo número de vectores.
Ejemplo Sea V = ℝ2. Nota que los conjunto de vectores S1 = {(1, 0), (0, 1)} y S2
={(0, 1), (1, 1)} forman una base para ℝ2 y tienen el mismo número de vectores
cada conjunto.
Definición: La dimensión de un espacio vectorial V es el número de vectores en
la base de V. Si este número es finito, entonces V es un espacio vectorial de
dimensión finita. De otra manera, V se llama el espacio vectorial de dimensión
infinita. El espacio trivial: V = {0}, es de dimensión cero.
Notación: Representamos la dimensión de V por dim V.
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Nota: Si tenemos k vectores en ℝn y k < n, entonces los vectores no generan
a ℝn. Por el contrario, si k > n, entonces los k vectores son linealmente
dependientes.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Como los n vectores linealmente independientes en ℝn generan a ℝn y
forman una base en ℝn, entonces dim ℝn = n.
a) dim ℝ2= 2 pues {(1, 0), (0, 1)} forman base en ℝ2.
b) dim ℝ3 = 3 pues {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forman base en ℝ3.
c) dim ℝ = 1, pues 1 es una base.
Nota: dim{0} = 0, pues {0} no tiene base, 0 no es linealmente
independiente: pues c10 = 0, para todo c1≠0.
El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, …, xn} constituye una base para Pn.
Por tanto, dim Pn = n + 1.
En Mmn, sea Aij una matriz m x n con 1 en la posición ij y cero en las demás
posiciones. Entonces, Aij para i = 1, 2, 3, .., m y j = 1, 2, 3, …, n forman una
base para Mmn. Y dim Mmn = mn.
Ejemplo: dimM22 = 2(2) = 4, pues el siguiente conjunto de matrices
1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 


0 0   0 0  1 0   0 1 


constituyen la base canónica de M22:
.
Teorema 3: Sea S un subconjunto de vectores del espacio vectorial V de
dimensión n:
i)
ii)
iii)
Si S contiene menos n vectores, entonces no genera a V.
Si S contiene más de n vectores, No es linealmente independiente
(es linealmente dependiente).
Si S contiene exactamente n vectores y es linealmente independiente
o genera a V, entonces es una base para V.
Ejemplos:
1. El conjunto {x, 1 + x, 1 – x} es linealmente dependiente en P1. Pues el
conjunto contiene tres (3) vectores y es un subconjunto del espacio
vectorial de dimensión dos. Es decir, contiene más n vectores por tanto, es
linealmente dependiente - Teorema 3, (ii).
1 1 1   0 0 0 
, 


0
0
0
1
1
1



 no genera a V = M23. El conjunto
2. El conjunto 
contiene dos vectores en el espacio vectorial de dimensión seis. Contiene
menos de n vectores – Teorema 3, (i).
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II. Rango y Nulidad de una matriz
Definición: El rango de una matriz A es definido como la dimensión del espacio
de sus filas (o columnas).
Procedimiento para calcular el rango de una matriz dada A, es el siguiente.
Paso 1. Llevar A a su forma escalonada reducida por filas, B.
Paso 2. El rango de A es igual al número de filas no nulas de B (o
columnas con entrada principal 1)
 1  2 0  c1   b1 

   
Ejemplo: B =  0
0 1  c2    b2 
 0 0 0  c   b 

 3   3 
Rango = columnas con entrada principal ‘1’ = filas no-cero = 2
por lo tanto, rango(B) = 2.
Explicación Adicional (Transformaciones)
Es decir: Ac = b , c ≠ 0, o sea A transforma a c, y se obtiene b.
Al reducir rref(A) = B obtenemos:
c1 = b1 + 2c2  b1 = c1 – 2c2
c3 = b2
0 = b3
Por lo tanto A (transformación lineal) genera un espacio vectorial V = {b| Ac
= b} de dimensión 2: tal que
𝑐1 − 2𝑐2
𝑐1 − 2𝑐2
0
1
0
b =( 𝑐3 ) = ( 0 ) + (𝑐3 ) =(𝑐1 − 2𝑐2 ) (0) + 𝑐3 (1) , entonces lo
0
0
0
0
0
1
0
generan 2 vectores = {(0) , (1)} .
0
0
El rango tiene dimensión 2 (la base tiene 2 vectores) = número de filas que
No son cero.
Definición : La nulidad de una matriz A con dimensión m × n es la dimensión
del espacio nulo de A. Es decir, la dimensión del espacio solución del sistema
de ecuaciones homogéneo Ac = 0. Esto es el número de variables linealmente
independientes (libres) del espacio solución del sistema homogéneo.
Explicación Adicional (Transformaciones)
*Creado por la Prof. Nilsa Toro y revisado por Prof. Carmen Caiseda
 1  2 0  c1   0 

   
Ejemplo:  0
0 1  c2    0 
 0 0 0  c   0 

 3   
Nulidad es la dimensión del espacio nulo = 1.
Pues en este ejemplo consiste de vectores: c tal que :
Ac = 0.
En el ejemplo vemos que de rref(A) = B:
c1 = 2c2
c3 = 0,
Por lo tanto, el espacio vectorial {c| Ac = 0} es generado por un vector {c |
c1 = 2c2 , c3 = 0} , o sea (una recta solución) generado por el vector: c =
2𝑐2
2
2
( 𝑐2 ) = 𝑐2 (1) , por lo tanto la Base consiste de {(1)} y tiene dimensión
0
0
0
1.
Teorema 6.12: Si A es una matriz de m × n, entonces rango A + nulidad A = n.
Finalmente la lista final las equivalencias es:
Las afirmaciones siguientes son equivalentes para una matriz A de n × n.
1. A es no singular.
2. x = 0 es la única solución de Ax = 0.
3. A es equivalente por filas a la identidad: In. rref(A) = In
4. El sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada matriz b de n × 1.
5. det(A) ≠ 0.
6. A tiene rango n.
7. A tiene nulidad 0.
8. Las filas de A forman un conjunto linealmente independiente de n vectores en
ℝn.
9. Las columnas de A forman un conjunto linealmente independiente de n vectores
en ℝn.
Ejercicios:
1. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en ℝ2?
a. {(1, 3), (1, -1)}
b. {(1, 2), (2, -3), (3, 2)}
c. {(1, 3), (-2,6)}
*Creado por la Prof. Nilsa Toro y revisado por Prof. Carmen Caiseda
2. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en ℝ3?
a. {(1, 2, 0), (0, 1, -1)}
b. {(3, 2, 2), (-1, 2, 1), (0, 1, 0}
3. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de polinomios forman una base en
P2?
a. {-x2 + x + 2, 2x2 + 2x + 3, 4x2 – 1}
b. {3x2 + 2x + 1, x2 + x + 1, x2 + 1}
4. Halla la dimensión de la base para los siguientes espacios vectoriales:
a. dimR4
b. dim{0}
c. dimP5
d. dimM32
5. Indica el rango y la nulidad de las siguientes matrices:
2 3
a. (
)
4 6
1 3
b. (
)
0 0
2 5
c. (
)
1 3
Contestaciones
1. Ver cada caso:
1 1
) = −4, son linealmente independientes (por
3 −1
equivalencias)
b. NO: 3 vectores en ℝ2 son linealmente dependientes
1 −2
c. SI: det (
)= 12, son linealmente independientes (por
3 6
equivalencias)
2. Ver cada caso:
a. 2 vectores NO son base sino 3
b.
a. SI:
det (
 3  1 0


det 2 2 1   1A23  5
 2 1 0


Son linealmente independientes
3. Requiere 3 vectores linealmente independientes
1 2 4 


a. NO : det 1 2 0   4 A13  1A33  4  4  0
 2 3  1


*Creado por la Prof. Nilsa Toro y revisado por Prof. Carmen Caiseda
 3 1 1


b. SI: det 2 1 0   1A13  1A33  1  1  2
 1 1 1


4. Ver cada uno:
a. 4
b. 0
c. 6
d. 6
5. Nulidad + rango = n
1 3/2
a. rref A = (
), rango = 1, nulidad =2- 1=1
0
0
1 3
b. rref A = (
), rango = 1, nulidad = 2-1 = 1
0 0
c. rref A = Identidad I2 rango = 2, nulidad = 2-2 = 0
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