Límites usando comparación de funciones

Límites usando comparación de funciones
Cálculo de límites usando comparación de funciones
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2008
MathCon Contenido
1. Definiciones
2
2. Algunas propiedades
3
3. Ejemplos
4
1
Definiciones
El siguiente método lo usaremos para obtener límites de funciones de f : R → R en ciertos casos
especiales.
Definición 1
Decimos que dos funciones f, g son equivalentes en un punto x0 , si
lı́m
x→x0
f
=1
g
y se escribe f ∼ g.
Ejemplos de funciones equivalentes en x0 = 0
1. sin (x) ∼ x, si (x → 0)
2. tan (x) ∼ x, si (x → 0)
3. 1 − cos (x) ∼
x2
, si (x → 0)
2
4. ex − 1 ∼x, si (x → 0)
5. ln (1 + x) ∼ x, si (x → 0)
Ejemplo de funciones equivalentes en x0 = ±∞
a) Sea P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 un polinomio de grado n, entonces
P (x) ∼ an xn , si x → ±∞.
2
Algunas propiedades
1. Si f ∼ g y lı́m f (x) = a, entonces lı́m g (x) = a.
x→x0
x→x0
Esto significa que si dos funciones son equivalentes en x0 , entonces los límites de las funciones son el mismo cuando x → x0 .
2. Si f ∼ g y g ∼ h, entonces f ∼ h.
Esto significa que la equivalencia de funciones es transitiva.
f
f1
∼
( x → x0 ).
g
g1
Esto significa que podemos usar la equivalencia de funciones sobre productos y división de
funciones.
3. Si f ∼ f1 y g ∼ g1 cuando x → x0 , entonces f g ∼ f1 g1 y
4. Si g (x) → 0 cuando x → x0 , entonces:
g (x) ∼ sin (g (x)) ∼ tan (g (x)) ∼ ln (1 + g (x)) ∼ eg(x) − 1, en x = x0 .
Por lo tanto para calcular ciertos límites solo se substituye la función equivalente en el límite, de
esta manera es posible calcular de forma rápida algunos límites.
3
Ejemplos
Calcular los siguientes límites
1) lı́m
x→0
sin (x)
.
x
Como la función seno es equivalente a la función x, en el cero, sin (x) ∼ x, entonces:
x
sin (x)
= lı́m = 1.
x→0 x
x→0
x
lı́m
sin αx
x→0 sin βx
Como se cumplen las siguientes equivalencias: sin αx ∼ αx y cos βx ∼ βx,
2) lı́m
entonces lı́m
sin αx
x→0 sin βx
= lı́m
αx
x→0 βx
=
α
.
β
Concretamente:
lı́m
sin 3x
x→0 sin 7x
= lı́m
3x
x→0 7x
=
3
7
sin πx
π
πx
= lı́m
= .
x→0 sin ex
x→0 ex
e
lı́m
2
e2/3x − 1
, como eg(x) − 1 ∼ g (x) , con g (x) = 2/3x, entonces e2/3x − 1 ∼ x
3) lı́m
x→0
x
3
por lo que sustituyendo
e2/3x − 1
2/3x
2
= lı́m
= .
x→0
x→0 x
x
3
lı́m
3. Ejemplos
5
3x3 + x + 5
, como 3x3 + x + 5 ∼ 3x3 y 4x3 − 3 ∼ 4x, cuando x → ∞
x→∞ 4x3 − 3
3x3 + x + 5
3x3
3
entonces, sustituyendo lı́m
=
lı́m
= .
x→∞ 4x3 − 3
x→∞ 4x3
4
4) lı́m
ln 1 + tan x2 + x
5) lı́m
, como ln 1 + tan x2 + x ∼ tan x2 + x ∼ x2 + x,
2
x→0
2x
ln 1 + tan x2 + x
x2 + x
=
lı́m
= ∞.
entonces lı́m
x→0 2x2
x→0
2x2
1 − cos x
x2 /2
1 − cos x
, como 1 − cos x ∼ x2 /2 sustituyendo, lı́m
= lı́m 2 y
2
2
x→0 sin x
x→0 sin x
x→0 sin x
6) lı́m
x2 /2
x2 /2
= lı́m 2 ,
2
x→0 sin x
x→0 x
como sin2 x ∼ x2 . Aplicamos la equivalencia del producto, lı́m
entonces lı́m
x→0
1 − cos x
1
= .
2
2
sin x
esin(x) − 1
, como esin(x) − 1 ∼ sin (x) y tan (x) ∼ x, sustituyendo,
x→0 tan (x)
sin (x)
esin(x) − 1
= lı́m
= 1.
lı́m
x→0
x→0 tan (x)
x
7) lı́m
1 − cos (tan (x))
x2
,
como
1
−
cos
(x)
∼
y tan (x) ∼x, sustituyendo
x→0
x2
2
2
2
(tan (x))
x
1
= lı́m 2 = .
lı́m
x→0
x→0 2x
2x2
2
8) lı́m
3. Ejemplos
9) lı́m
x→0
6
sin (3x)
3
sin (3x)
3x
, como sin (3x) ∼ 3x sustituyendo lı́m
= lı́m
= .
x→0
x→0
2x
2x
2x
2
ln 1 + tan e3x − 1
, como ln 1 + tan e3x − 1 ∼ tan e3x − 1 ∼ e3x −
10) lı́m
x→0
x
ln 1 + tan e3x − 1
3x
= lı́m
= 3.
1 ∼ 3x, sustituyendo lı́m
x→0 x
x→0
x
tan x2
11) lı́m
, como tan x2 ∼ x2 , y 1 − cos (x) ∼ x2 /2, sustituyendo
x→0 1 − cos (x)
tan x2
x2
= lı́m 2 = 2.
lı́m
x→0 x /2
x→0 1 − cos (x)
e(1−cos x) − 1
x→0
x2
12) lı́m
como e(1−cos x) − 1 ∼ (1 − cos x) ∼ x2 /2, sustituyendo
e(1−cos x) − 1
1 − cos x
x2 /2
1
=
lı́m
=
lı́m
= .
x→0
x→0
x→0 x2
x2
x2
2
lı́m
sin2 x
sin2 x
sin x sin x
sin x tan x
, como 2
=
=
y sin x ∼ tan x ∼ x
2
x→0 2x cos x
2x cos x
2x2 cos x
2x2
13) lı́m
sin2 x
1
sin x sin x
sin x tan x
x2
= lı́m 2
= lı́m
= lı́m 2 = .
2
2
x→0 2x cos x
x→0 2x cos x
x→0
x→0 2x
2x
2
lı́m
3. Ejemplos
14) lı́m
x→0
7
sin x − sin x cos x
, como sin x − sin x cos x = sin x (1 − cos x) y sin x ∼ x,
8x3
(1 − cos x) ∼ x2 /2, entonces lı́m
xx2 /2
1
=
x→0 8x3
16
x→0
sin x (1 − cos x)
sin x − sin x cos x
= lı́m
=
x→0
8x3
8x3
lı́m
ln (cos x)
, como ln cos2 x = 2 ln (cos x) tenemos que ln (cos x) =
2
x→0 tan (x )
1
ln cos2 x y como sin2 x + cos2 x = 1, tenemos que ln (cos x) =
2
1
ln 1 − sin2 x y ln 1 − sin2 x ∼ − sin2 x ∼ −x2 y por otro lado tan x2 ∼ x2
2
1 ln 1 − sin2 x
1
−x2
ln (cos x)
=
lı́m
=
lı́m
=
con x → 0, entonces lı́m
x→0
x→0 2
x→0 tan (x2 )
tan (x2 )
2
x2
1
− .
2
15) lı́m