Áreas de rectángulos y paralelogramos

LECCIÓN
Áreas de rectángulos y
paralelogramos
CONDENSADA
8.1
En esta lección
●
●
●
Revisarás la fórmula del área de un rectángulo
Usarás la fórmula del área de un rectángulo para encontrar las áreas de otras
formas
Descubrirás la fórmula del área de un paralelogramo
El área de una figura plana es el número del
unidades cuadradas que pueden acomodarse
de manera que llenen la figura completamente.
Es probable que ya conozcas varias fórmulas
del área. Las investigaciones en este capítulo
te ayudarán a comprender y recordar las
fórmulas.
Área 15 unidades cuadradas
Área 11 unidades cuadradas
En las páginas 422 y 423 de tu libro, se analiza la fórmula para el área de un
rectángulo. Lee ese texto atentamente. Asegúrate de que comprendes los
significados de base y altura y que la fórmula del área tiene sentido para
ti, y después completa la conjetura del área de un rectángulo de tu libro. En el
Ejemplo A de tu libro, se muestra cómo la fórmula del área para los rectángulos
puede ayudarte a encontrar las áreas de otras formas. He aquí otro ejemplo.
EJEMPLO A
Solución
Encuentra el área de este cuadrado.
Rodea el cuadrado “inclinado” con un cuadrado de
7 por 7, con lados horizontales y verticales. Después
resta el área de los cuatro triángulos rectángulos que
se forman del área del cuadrado que rodea el
cuadrado inclinado.
Cada uno de los cuatro triángulos es la mitad de un
rectángulo de 2 por 5, de manera que cada uno tiene
un área de 12 2 5, ó 5 unidades cuadradas. Por lo tanto,
el área del cuadrado original es (7 7) (4 5) 29 unidades cuadradas.
(continúa)
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CHAPTER 8
105
Lección 8.1 • Áreas de rectángulos y paralelogramos (continuación)
Al igual que con un rectángulo, cualquier lado de un paralelogramo puede
llamarse base. Una altitud de un paralelogramo es cualquier segmento desde un
lado del paralelogramo, perpendicular a ese lado, hasta una recta al lado opuesto.
La altura de un paralelogramo es la longitud de la altitud. Estudia los diagramas
de altitudes de la página 424 de tu libro.
Altitud
Base
Investigación: Fórmula del área para paralelogramos
Sigue los Pasos 1 y 2 de la investigación de tu libro. En el Paso 2, cada nueva forma
que hagas tendrá la misma área que el paralelogramo original, porque simplemente
habrás reordenado las partes, sin añadir o eliminar ninguna pieza.
b
Forma un rectángulo con las dos partes.
Observa que la base y la altura del rectángulo son iguales que la base y
la altura del paralelogramo original. Como las áreas del rectángulo y del
paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es bh. Esto puede
resumirse en una conjetura.
h
Conjetura del área de un paralelogramo El área de un paralelogramo se
expresa por la fórmula A bh, donde A es el área, b es la longitud de la base
y h es la altura del paralelogramo.
s s
C-75
Si las dimensiones de una figura se miden en pulgadas, pies o yardas, el área se
mide en pulg2 (pulgadas cuadradas), pies2 (pies cuadrados) o yardas2 (yardas
cuadradas). Si las dimensiones se miden en centímetros o metros, el área se mide
en cm2 (centímetros cuadrados) o m2 (metros cuadrados). Lee el Ejemplo B de tu
libro y después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO B
Solución
Un paralelogramo tiene una altura de 5.6 pies y un área de 70 pies2. Encuentra la
longitud de la base.
A bh
70 b(5.6)
70
b
5.6
12.5 b
Escribe la fórmula.
Sustituye los valores conocidos.
Resuelve para la longitud de la base.
Divide.
La longitud de la base es 12.5 pies.
106
CHAPTER 8
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LECCIÓN
Áreas de triángulos,
trapecios y papalotes
CONDENSADA
8.2
En esta lección
●
Descubrirás las fórmulas del área para triángulos, trapecios y papalotes
Puedes usar las fórmulas del área que ya conoces para derivar nuevas fórmulas
de área. En la primera investigación te concentrarás en triángulos.
Investigación 1: Fórmula del área para triángulos
Sigue el Paso 1 en tu libro para crear y rotular un par de triángulos congruentes.
Ya conoces la fórmula del área de rectángulos y paralelogramos. Acomoda los dos
triángulos congruentes de manera que formen una de estas figuras. Escribe una
expresión para el área de toda la figura. Después escribe una expresión para el
área de uno de los triángulos.
Resume tus descubrimientos completando la conjetura siguiente.
Conjetura del área de un triángulo El área de un triángulo se expresa por
la fórmula __________________, donde A es el área, b es la longitud de la
base y h es la altura del triángulo.
C-76
A continuación, considerarás el área de un trapecio.
Investigación 2: Fórmula del área de un trapecio
Sigue los Pasos 1 y 2 de tu libro para crear y rotular dos trapecios congruentes.
Puedes acomodar los trapecios de manera que formen un paralelogramo.
b2
h
b1
s s
b1
h
b2
¿Cuál es la longitud de la base del paralelogramo? ¿Cuál es la altura? Usa tus
respuestas para escribir una expresión para el área del paralelogramo. Después usa
la expresión del área del paralelogramo para escribir una expresión para el área de
un trapecio.
Resume tus descubrimientos completando la siguiente conjetura.
Conjetura del área de un trapecio El área de un trapecio se expresa por la
fórmula __________________, donde A es el área, b1 y b2 son las longitudes
de las dos bases y h es la altura del trapecio.
C-77
(continúa)
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CHAPTER 8
107
Lección 8.2 • Áreas de triángulos, trapecios y papalotes (continuación)
Finalmente considerarás el área de un papalote.
Investigación 3: Fórmula del área de un papalote
Dibuja un papalote. Dibuja sus diagonales. Sea d1 la longitud de la diagonal que
conecta los ángulos del vértice y sea d2 la longitud de la otra diagonal.
d2
d1
Recuerda que la diagonal que conecta los ángulos del vértice de un papalote lo
divide en dos triángulos congruentes. Considera la diagonal rotulada d1 como la
base de uno de los triángulos. Después, como la diagonal que conecta los ángulos
del vértice de un papalote es la mediatriz de la otra diagonal, la altura del
triángulo es 12d 2.
_1 d
2 2
d1
d1
_1 d
2 2
Escribe una expresión para el área de uno de los triángulos. Después usa la
expresión del área del triángulo para escribir una expresión para el área del
papalote.
Resume tus descubrimientos completando la siguiente conjetura.
Conjetura del área de un papalote El área de un papalote se expresa por
la fórmula __________________, donde A es el área, y d1 y d 2 son las
longitudes de las diagonales.
108
CHAPTER 8
C-78
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.3
Problemas de área
En esta lección
●
Usarás una diversidad de estrategias para aproximar las áreas de figuras con
formas irregulares
●
Usarás las fórmulas del área de las dos lecciones anteriores para hallar las
áreas de figuras más complejas
Ya has descubierto fórmulas para las áreas de rectángulos, paralelogramos,
triángulos, trapecios y papalotes. En esta lección usarás estas fórmulas, junto
con otros métodos, para encontrar las áreas aproximadas de figuras con formas
irregulares.
Investigación: Solución de problemas con fórmulas del área
En la siguiente página, encontrarás ocho figuras geométricas. Para cada figura,
encuentra una forma de calcular el área aproximada. Después anota el área y
escribe una o dos oraciones explicando cómo la encontraste. Puede ser útil trazar
la figura en otro papel.
A continuación se muestran algunas sugerencias de métodos para encontrar el
área de cada figura. Lee estas sugerencias solamente si no puedes avanzar. Existen
muchas maneras de encontrar cada área. Los métodos que uses pueden ser muy
diferentes de los aquí descritos.
Figura A
Divide la figura en dos rectángulos.
Figura B Esta figura es un papalote. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2
para encontrar el área.
Figura C Esta figura es un paralelogramo. Usa lo que aprendiste en la
Lección 8.1 para hallar el área.
Figura D
Divide la figura en triángulos.
Figura E Esta figura es un trapecio. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2
para encontrar el área.
Encuentra el área de los dos cuadrados. Recorta las otras dos partes y
reacomódalas para crear una forma reconocible.
Figura F
Figura G Divide este dodecágono en 12 triángulos isósceles idénticos, con los
ángulos del vértice en el “centro” del polígono.
Figura H Traza la figura en un papel cuadriculado. Estima el número de
cuadrados que caben dentro de la figura. O bien, dibuja el rectángulo más
grande que quepa dentro de la forma. Recorta las partes restantes y acomódalas
para crear formas reconocibles.
(continúa)
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CHAPTER 8
109
Lección 8.3 • Problemas de área (continuación)
E
G
B
A
H
C
D
110
CHAPTER 8
F
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.4
Áreas de polígonos regulares
En esta lección
●
Descubrirás la fórmula del área para polígonos regulares
Puedes dividir un polígono regular en triángulos isósceles congruentes,
dibujando unos segmentos desde el centro del polígono a cada vértice.
El centro del polígono es en realidad el centro del círculo circunscrito,
entonces cada uno de estos segmentos congruentes se llaman radio
del polígono regular.
En la investigación dividirás polígonos regulares en triángulos. Después
escribirás una fórmula para el área de cualquier polígono regular.
Investigación: Fórmula del área para polígonos regulares
La apotema de un polígono regular es un segmento perpendicular que va del
centro del círculo circunscrito del polígono a un lado del polígono. La apotema es
también la longitud del segmento. Sigue los pasos en tu libro para encontrar la
fórmula del área de un polígono regular de n lados, con lados de longitud s y
apotema a. Tus descubrimientos pueden resumirse en esta conjetura.
Conjetura del área de un polígono regular El área de un polígono
regular se expresa por la fórmula A 12asn o A 12aP, donde A es el área,
P es el perímetro, a es la apotema, s es la longitud de cada lado y n es el
número de lados.
C-79
Los ejemplos siguientes te muestran cómo aplicar tus nuevas fórmulas.
EJEMPLO A
Solución
Un nonágono regular tiene un área de 302.4 cm2 y una apotema de 9.6 cm.
Encuentra la longitud de cada lado.
Como estás tratando de encontrar la longitud del lado, s, tal vez sea más fácil usar
la fórmula A 12asn. También podrías usar A 12aP, resolver para P, y después
dividir el resultado entre 9 (el número de lados).
1
Escribe la fórmula.
A 2asn
1
302.4 2(9.6)(s)(9) Sustituye los valores conocidos.
302.4 43.2s
302.4
s
43.2
7s
Multiplica.
Resuelve para s.
Divide.
Cada lado tiene aproximadamente 7 cm de largo.
(continúa)
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CHAPTER 8
111
Lección 8.4 • Áreas de polígonos regulares (continuación)
EJEMPLO B
Encuentra el área sombreada del pentágono regular PENTA. La apotema mide
aproximadamente 2.0 cm. El segmento PE mide aproximadamente 2.9 cm.
E
N
P
T
A
Solución
Primero, encuentra el área de todo el pentágono.
1
A 2asn
Escribe la fórmula.
1
A 2(2.0)(2.9)(5)
Sustituye los valores conocidos.
A 14.5
Multiplica.
El área del pentágono es aproximadamente 14.5 cm2. La parte sombreada
constituye
3
5
del pentágono. (Si divides el pentágono en cinco triángulos isósceles,
tres estarán sombreados.) Así pues, el área sombreada es de aproximadamente
3
5
112
CHAPTER 8
14.5 cm2, ó 8.7 cm2.
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.5
Áreas de círculos
En esta lección
●
Descubrirás la fórmula para el área de un círculo
Un rectángulo tiene lados rectos, mientras que un círculo es completamente
curvo. Por eso, tal vez te sorprenda aprender que puedes usar la fórmula del área
de un rectángulo para ayudarte a encontrar la fórmula del área de un círculo. En
la siguiente investigación verás cómo.
Investigación: Fórmula del área de un círculo
Sigue los Pasos 1–3 de tu libro para crear una figura como la siguiente.
La figura se parece a un paralelogramo con dos lados desiguales. Si cortas el
círculo en más cuñas, podrías acomodar estas cuñas más delgadas para que se
parezca más a un rectángulo. No perderías ni ganarías área en este cambio, de
manera que el área de este nuevo “rectángulo” sería la misma que el área del
círculo original. Si pudieras cortar infinitas cuñas, en realidad tendrías un
rectángulo de lados lisos.
Los dos lados más largos del rectángulo estarían constituidos por la
circunferencia, C, del círculo. (Cada lado sería la mitad de la circunferencia.)
Considera uno de estos lados como la base. Recuerda la fórmula de la
circunferencia de un círculo que aprendiste en el Capítulo 6. Ahora usa esta
fórmula para escribir la longitud de la base del rectángulo en términos de r, el
radio del círculo original.
¿Qué relación hay entre la altura del rectángulo y el círculo original?
Recuerda que el área del rectángulo es igual que el área del círculo original. Usa
esta idea y tus descubrimientos para completar esta conjetura.
Conjetura del área de un círculo El área de un círculo se expresa por la
fórmula A _______________, donde A es el área y r es el radio del círculo.
C-80
Los Ejemplos A y B de tu libro muestran cómo usar tu nueva conjetura. Lee estos
ejemplos y después lee los ejemplos siguientes.
(continúa)
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CHAPTER 8
113
Lección 8.5 • Áreas de círculos (continuación)
EJEMPLO A
La circunferencia de un círculo es de 22 pies. ¿Cuál es el área del círculo?
Solución
Usa la fórmula de la circunferencia para encontrar el radio. Después usa la
fórmula del área para encontrar el área.
C 2r
22 2r
11 r
Escribe la fórmula de la circunferencia.
Sustituye los valores conocidos.
Resuelve para r.
A r 2
Escribe una fórmula para el área.
A (11)2
Sustituye los valores conocidos.
A 121
Simplifica.
El área es de 121 pies2, o aproximadamente 380.1 pies2.
EJEMPLO B
En la pizzería de María, una pizza de pepperoni con un diámetro de 10 pulgadas
cuesta $8, y una pizza de pepperoni con un diámetro de 12 pulgadas cuesta $10.
¿Cuál tamaño es una mejor compra?
12 pulg
10 pulg
$8
Solución
$10
Encuentra el área de cada pizza, y después encuentra el precio por pulgada
cuadrada.
Pizza de 10 pulgadas
Pizza de 12 pulgadas
A r 2
A r 2
(5)2
(6)2
25
36
pulg 2.
El área es de 25
Para
encontrar el costo por pulgada
cuadrada, divide el precio entre
el área.
8
0.10
25
El área es de 36 pulg 2. Para
encontrar el costo por pulgada
cuadrada, divide el precio entre
el área.
10
0.09
36
La pizza de 10 pulgadas cuesta
aproximadamente 10¢ por
pulgada cuadrada.
La pizza de 12 pulgadas cuesta
aproximadamente 9¢ por
pulgada cuadrada.
La pizza de 12 pulgadas cuesta menos por pulgada cuadrada, entonces la pizza de
12 pulgadas es una mejor compra.
114
CHAPTER 8
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LECCIÓN
De cualquier forma que
lo rebanes
CONDENSADA
8.6
En esta lección
●
Aprenderás a encontrar el área de un sector, de un segmento y de una
corona de un círculo
En la Lección 8.5, descubriste la fórmula para calcular el área de un círculo.
En esta lección aprenderás cómo encontrar las áreas de tres tipos de secciones
de un círculo.
Un sector de un círculo es la región entre dos radios y un arco del círculo.
Un segmento de un círculo es la región entre una cuerda y un arco del círculo.
Una corona circular (annulus) es la región entre dos círculos concéntricos.
A continuación se ilustran los tres tipos de secciones.
Sector de un círculo
Segmento de un círculo
Corona circular
Las siguientes “ecuaciones ilustradas” te muestran cómo calcular el área de cada
tipo de sección.
a°
b
h
r
r
r
R
a°
r
a
___
360
a
___
360
⭈
r
a°
⭈ r 2 Asector
h
b
a
___
_1
2
360 r 2 bh Asegmento
R
r
R 2 r 2 Acorona circular
Lee los ejemplos de tu libro atentamente. Después lee los siguientes ejemplos.
EJEMPLO A
R 9 cm y r 3 cm. Encuentra el área de la corona circular.
R
r
(continúa)
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CHAPTER 8
115
Lección 8.6 • De cualquier forma que lo rebanes (continuación)
Solución
A R 2 r 2
La fórmula del área para una corona circular.
(9)2 (3)2
Sustituye los valores de R y r.
81 9
Evalúa los exponentes.
72
Resta.
El área de la corona circular es de 72 cm 2, o aproximadamente 226 cm2.
EJEMPLO B
El área sombreada es de 21 cm2. El radio del círculo grande es de 12 cm, y el
radio del círculo pequeño es de 9 cm. Encuentra x, la medida del ángulo central.
x
Solución
Primero, encuentra el área de toda la corona circular.
A R 2 r 2
La fórmula del área para la corona circular.
(12)2 (9)2
Sustituye los valores de R y r.
63
Simplifica.
x
El área sombreada, 21 cm 2, es 360 del área de la corona circular. Usa esta
información para escribir y resolver una ecuación.
x
21 360 63
21
360 63 x
120 x
La medida del ángulo central es 120°.
116
CHAPTER 8
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.7
Área superficial
En esta lección
●
Aprenderás cómo encontrar las áreas superficiales de prismas, pirámides,
cilindros y conos
Puedes usar lo que sabes respecto a encontrar las áreas de figuras planas para
encontrar las áreas superficiales de prismas, pirámides, cilindros y conos. El área
superficial de cada uno de estos sólidos es la suma de las áreas de todas las caras
o superficies que rodean el sólido. Las caras incluyen las bases del sólido y sus
caras laterales.
En un prisma, las bases son dos polígonos congruentes y las caras laterales son
rectángulos u otros paralelogramos. En una pirámide, la base puede ser cualquier
polígono y las caras laterales son triángulos.
Cara lateral
Base
Bases
Cara lateral
Lee “Steps for Finding Surface Area” (los pasos para encontrar el área superficial)
en la página 462 de tu libro. El Ejemplo A muestra cómo encontrar el área
superficial de un prisma rectangular. Lee el ejemplo atentamente.
Después lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área superficial de un
cilindro. Observa que, para encontrar el área de la superficie lateral del cilindro,
necesitas imaginar cortar la superficie y aplanarla, de manera que obtengas un
rectángulo. Como el rectángulo rodea exactamente la base circular, la longitud
de la base del rectángulo es la circunferencia de la base circular.
El área superficial de una pirámide es el área de la base, más las áreas de las caras
triangulares. La altura de cada cara triangular se conoce como la altura inclinada
(slant height). Usa l para la altura inclinada y h para la altura de la pirámide.
Altura inclinada
Altura
h
l
(continúa)
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CHAPTER 8
117
Lección 8.7 • Área superficial (continuación)
Investigación 1: Área superficial de una pirámide regular
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles idénticos, y la
base es un polígono regular.
b
b
b
b
l
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Cada cara lateral es un triángulo con una longitud de base b y una altura l. ¿Cuál
es el área de cada cara?
Si la base es un n-ágono, entonces hay n caras laterales. ¿Cuál es el área total de la
superficie lateral de la pirámide?
¿Cuál es el área de la base en términos de a, b y n?
Usa tus expresiones para escribir una fórmula para el área superficial de una
pirámide n-agonal regular en términos del número de lados n, la longitud de la
base b, la altura inclinada l y la apotema a.
Usando el hecho de que el perímetro de la base es nb, escribe otra fórmula para
el área superficial de una pirámide n-agonal regular en términos de la altura
inclinada l, el apotema a y el perímetro de la base, P.
En la siguiente investigación encontrarás el área superficial de un cono con un
radio r y una altura inclinada l.
Investigación 2: Área superficial de un cono
Al incrementarse el número de caras de una pirámide, ésta comienza a verse
como un cono. Puedes concebir la superficie lateral como muchos triángulos
delgados o como un sector de un círculo. Puedes reacomodar los triángulos
para formar un rectángulo.
␲r
l
l
r
l
2r
␲r
Usa los diagramas para ayudarte a escribir una fórmula para el área de la
superficie lateral en términos de r y l.
Usando la expresión para un área de la superficie lateral y una expresión para el
área de la base, escribe una fórmula para el área superficial del cono.
(continúa)
118
CHAPTER 8
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Lección 8.7 • Área superficial (continuación)
El Ejemplo C de tu libro te muestra cómo aplicar la fórmula para el área superficial
de un cono. Lee el Ejemplo C atentamente. Después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Encuentra el área superficial de este sólido. D 10, d 6, h 14.
d
h
D
Solución
El área superficial es el área de la superficie lateral del cilindro externo, más el
área de la superficie lateral del cilindro interno, más el área de las dos bases, que
son coronas circulares.
10
D
Área de la superficie lateral del cilindro externo 2 2 h 2 2 (14) 140 cm 2
6
d
Área de la superficie lateral del cilindro interno 2 2h 2 (14) 84 cm
2
D
d
Área de una base 2 2
6
10
16 cm
2
2
2
2
2
2
2
2
Entonces,
Área superficial total 140 84 2(16 ) 256 cm2 804 cm 2.
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CHAPTER 8
119