Regla de la Cadena y Ecuaciones Parametricas

CALCULO DIFERENCIAL
3.1.
REGLA DE LA
PARAMETRICAS.
CADENA
Y
ECUACIONES
Regla de la cadena
La regla para calcular la derivada de la composición de dos funciones establece que la
derivada de su composición es el producto de las derivadas. Este enunciado es conocido
como la regla de la cadena.
Ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de la recta y = 5 x − 2 de manera que su
coordenada x en el tiempo t es x = 3 t . Calcular
dy
dt
como función de t,
y = 5 x − 2 = 5( 3 t ) − 2 = 15 t − 2
Por lo tanto,
dy d
= ( 15 t − 2 ) = 15
dt dt
Nótese que:
dy
=5
dx
dx
=3
dt
y
dy
dy dx
= 3× 5 =
dt
dx dt
En otras palabras la regla de la cadena define que si dos funciones son continuas, la
derivada de la composición de las dos funciones será el producto de sus derivadas.
Regla de la Cadena
Regla No.3.10
Suponiendo que h = g ° f es la composición de las
funciones diferenciables y = g ( x) y x = f ( x ) .
Entonces, h es una función diferenciable de t cuya
derivada en cada valor de t es:
h(t ) = g ' ( f (t )) × f ' (t )
La particularidad de esta formula es que establece la forma como se debe evaluar la
derivada, existen otras formulas para evaluar la derivada de la composición,
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
dy dy dx
=
dt dx dt
Otra es,
dy
dy
=
dt t dx
f (t )
dx
dt t
Demostración de la Regla de la Cadena
Si x = f (t ) es diferenciable en t 0 entonces un incremento ∆t produce otro incremento
∆x
tal que:
∆x = f ' (t 0 )∆t + ε 1 ∆t = [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t
y, si y = g ( x ) es diferenciable en x = f (t 0 ) entonces un incremento ∆x produce otro
incremento ∆y tal que:
∆y = g ' ( x0 )∆x + ε 2 ∆x = [g ' ( x0 ) + ε 2 ]∆x
Estas dos ecuaciones relacionan los incrementos ∆x
y ∆y con sus aproximaciones de
la recta tangente, en estas ecuaciones ε 1 → 0 . cuando ∆t → 0 , y ε 2 → 0 cuando
∆x → 0 .
Combinando estas dos ecuaciones se tiene:
∆y = [g ' (x0 ) + ε 2 ]∆x = [g ' (x0 ) + ε 2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t
Dividiendo todo por ∆t
∆y
= [g ' ( x 0 ) + ε 2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]
∆t
∆y
= g ' ( x 0 ) f ' (t 0 ) + ε 2 f ' (t 0 ) + ε 1 g ' ( x 0 ) + ε 1ε 2
∆t
Cuando ∆t → 0 , también lo hacen ∆x, ε 1 , y ε 2 , y resulta:
∆y
= g ' ( x0 ) f ' (t 0 ) = g ' ( f (t 0 )) f ' (t 0 )
∆t → 0 ∆t
Lim
Ejemplo:
Hallar
dy
dt
en t = −1 , si: g ( x ) = y = x 3 + 5 x − 4 , y f ( t ) = x = t 2 + t
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
Según la expresión :
dy
dy
=
dt t =1 dx
dy
dy
=
dt t dx
x = f ( −1)
f (t )
dx
, se tiene:
dt t
dx
= ( 3 x 2 + 5 ) ( 2t + 1) t =−1 = ( 5 )( −1) = −5
x =0
dt t =−1
Ejercicios :
1
f ( x) =
3
y = ( 2x +1 )
5
y = ( x2 + 1 )
7
1
y= t−
t
9
s (t ) =
x2 + 1
4
3
5
(x
3
3
− x +1 )
x2 + 2
2
t3 +1
t3 −1
4
2
y = ( x3 − 1 )
4
y = ( 2x − 5
6
y = ( x3 + 4 x
8
y=
(t
100
)
4
)
( 8x
2
−5
)
−3
7
1
2
10 f ( z ) =
− 2t − 5 )
5
4
1
2z −1
Ecuaciones Paramétricas
En lugar de escribir una curva expresando la coordenada y de un punto P( x, y ) de la
curva en función de x, frecuentemente es más conveniente expresar ambas coordenadas
en función de una tercera variable.
x = f (t )
y = g (t )
Esta ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones Paramétricas y la variable t
es conocida como el parámetro.
dy dy dx
=
dt dx dt
Expresión que también puede expresarse como:
dy dy dt
=
dt dx dt
Lo anterior implica resolver la derivada de cada una de las funciones con relación al
parámetro.
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
d
( g (t ))
dt
d
(h(t ))
dt
y
Ejemplo:
Dada la siguiente función definida por las ecuaciones paramétricas x = t − t 2 y y = t − t 3 ,
determinar su derivada.
dx
= 1 − 2t
dt
dy
= 1 − 3t 2
dt
Derivando a x
Derivando a y
dy
(1 − 3t 2 )
dy
= dt =
dx dx
(1 − 2t )
dt
Por definición.
Derivadas segundas en forma Paramétrica:
Si se tiene que:
x = f (t )
y = g (t ) = g (h(t ))
Definen a y como una función de x dos veces diferenciable, entonces es posible calcular:
dy dt
dy
= y' =
dx
dx dt
lo que permite definir la segunda derivada como:
d 2 y dy´ dy´ dt
=
=
dx
dx dt
dx 2
Esta ecuación permite expresar la segunda derivada de y con respecto a x
d2y
dx 2
como:
dy
1.
Expresar y´=
2.
Diferenciar
3.
Dividir el resultado por dx
dx
dy
dx
en función de t.
respecto a t.
dt
Ejemplo:
Continuando con el ejemplo anterior, la segunda derivada será:
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
(1 − 3t )
y′ =
2
1. Expresar
(1 − 2t )
2. Derivar y′ con respecto a t:
(1 − 2t )( −6t ) − (1 − 3t 2 ) ( −2) 2 − 6t + 6t 2
dy′ d 1 − 3t 2
=
=
=
2
2
dt dt 1 − 2t
(1 − 2t )
(1 − 2t )
3. Dividir el resultado por dx
dy′
d2y
dt =
=
dx 2 dx
dt
dt
2 − 6 t + 6t 2
( 1− 2 t )
( 1− 2 t )
2
=
2 − 6 t + 6 t2
( 1− 2 t )
3
Ejercicios Propuestos
1. Hallar dz
2. Hallar
, si z = w2 − w−1 y w = 3 x
dx
si y = 2 v3 + 2 v −3 y v = ( 3 x + 2 )
dy
dx
3. Hallar dr
4. Hallar da
dy
5. Hallar
6. Hallar
dy
7. Hallar
dy
dt
, si r = ( s + 1)
db
1
2
y s = 16 t 2 − 20 t
, si a = 7 r 3 − 2 , y r = 1 − 1
dt
, si 2 x − 3 y = 9 , y 2 x + t
dt
, si y =
dt
, si y = x 4 , y x =
x+2 , y x = 2
3
t
3
b
=1
, t 0
t
x2
, y x = 2 t +1
, si y = 2
dt
x +1
d2y
9. Hallar
, si x = t − t 2 , y y = t − t 3
dx 2
dy
8. Hallar
3.- Derivadas Algebraicas
2
3