CALCULO DIFERENCIAL 3.1. REGLA DE LA PARAMETRICAS. CADENA Y ECUACIONES Regla de la cadena La regla para calcular la derivada de la composición de dos funciones establece que la derivada de su composición es el producto de las derivadas. Este enunciado es conocido como la regla de la cadena. Ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de la recta y = 5 x − 2 de manera que su coordenada x en el tiempo t es x = 3 t . Calcular dy dt como función de t, y = 5 x − 2 = 5( 3 t ) − 2 = 15 t − 2 Por lo tanto, dy d = ( 15 t − 2 ) = 15 dt dt Nótese que: dy =5 dx dx =3 dt y dy dy dx = 3× 5 = dt dx dt En otras palabras la regla de la cadena define que si dos funciones son continuas, la derivada de la composición de las dos funciones será el producto de sus derivadas. Regla de la Cadena Regla No.3.10 Suponiendo que h = g ° f es la composición de las funciones diferenciables y = g ( x) y x = f ( x ) . Entonces, h es una función diferenciable de t cuya derivada en cada valor de t es: h(t ) = g ' ( f (t )) × f ' (t ) La particularidad de esta formula es que establece la forma como se debe evaluar la derivada, existen otras formulas para evaluar la derivada de la composición, 3.- Derivadas Algebraicas CALCULO DIFERENCIAL dy dy dx = dt dx dt Otra es, dy dy = dt t dx f (t ) dx dt t Demostración de la Regla de la Cadena Si x = f (t ) es diferenciable en t 0 entonces un incremento ∆t produce otro incremento ∆x tal que: ∆x = f ' (t 0 )∆t + ε 1 ∆t = [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t y, si y = g ( x ) es diferenciable en x = f (t 0 ) entonces un incremento ∆x produce otro incremento ∆y tal que: ∆y = g ' ( x0 )∆x + ε 2 ∆x = [g ' ( x0 ) + ε 2 ]∆x Estas dos ecuaciones relacionan los incrementos ∆x y ∆y con sus aproximaciones de la recta tangente, en estas ecuaciones ε 1 → 0 . cuando ∆t → 0 , y ε 2 → 0 cuando ∆x → 0 . Combinando estas dos ecuaciones se tiene: ∆y = [g ' (x0 ) + ε 2 ]∆x = [g ' (x0 ) + ε 2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t Dividiendo todo por ∆t ∆y = [g ' ( x 0 ) + ε 2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ] ∆t ∆y = g ' ( x 0 ) f ' (t 0 ) + ε 2 f ' (t 0 ) + ε 1 g ' ( x 0 ) + ε 1ε 2 ∆t Cuando ∆t → 0 , también lo hacen ∆x, ε 1 , y ε 2 , y resulta: ∆y = g ' ( x0 ) f ' (t 0 ) = g ' ( f (t 0 )) f ' (t 0 ) ∆t → 0 ∆t Lim Ejemplo: Hallar dy dt en t = −1 , si: g ( x ) = y = x 3 + 5 x − 4 , y f ( t ) = x = t 2 + t 3.- Derivadas Algebraicas CALCULO DIFERENCIAL Según la expresión : dy dy = dt t =1 dx dy dy = dt t dx x = f ( −1) f (t ) dx , se tiene: dt t dx = ( 3 x 2 + 5 ) ( 2t + 1) t =−1 = ( 5 )( −1) = −5 x =0 dt t =−1 Ejercicios : 1 f ( x) = 3 y = ( 2x +1 ) 5 y = ( x2 + 1 ) 7 1 y= t− t 9 s (t ) = x2 + 1 4 3 5 (x 3 3 − x +1 ) x2 + 2 2 t3 +1 t3 −1 4 2 y = ( x3 − 1 ) 4 y = ( 2x − 5 6 y = ( x3 + 4 x 8 y= (t 100 ) 4 ) ( 8x 2 −5 ) −3 7 1 2 10 f ( z ) = − 2t − 5 ) 5 4 1 2z −1 Ecuaciones Paramétricas En lugar de escribir una curva expresando la coordenada y de un punto P( x, y ) de la curva en función de x, frecuentemente es más conveniente expresar ambas coordenadas en función de una tercera variable. x = f (t ) y = g (t ) Esta ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones Paramétricas y la variable t es conocida como el parámetro. dy dy dx = dt dx dt Expresión que también puede expresarse como: dy dy dt = dt dx dt Lo anterior implica resolver la derivada de cada una de las funciones con relación al parámetro. 3.- Derivadas Algebraicas CALCULO DIFERENCIAL d ( g (t )) dt d (h(t )) dt y Ejemplo: Dada la siguiente función definida por las ecuaciones paramétricas x = t − t 2 y y = t − t 3 , determinar su derivada. dx = 1 − 2t dt dy = 1 − 3t 2 dt Derivando a x Derivando a y dy (1 − 3t 2 ) dy = dt = dx dx (1 − 2t ) dt Por definición. Derivadas segundas en forma Paramétrica: Si se tiene que: x = f (t ) y = g (t ) = g (h(t )) Definen a y como una función de x dos veces diferenciable, entonces es posible calcular: dy dt dy = y' = dx dx dt lo que permite definir la segunda derivada como: d 2 y dy´ dy´ dt = = dx dx dt dx 2 Esta ecuación permite expresar la segunda derivada de y con respecto a x d2y dx 2 como: dy 1. Expresar y´= 2. Diferenciar 3. Dividir el resultado por dx dx dy dx en función de t. respecto a t. dt Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, la segunda derivada será: 3.- Derivadas Algebraicas CALCULO DIFERENCIAL (1 − 3t ) y′ = 2 1. Expresar (1 − 2t ) 2. Derivar y′ con respecto a t: (1 − 2t )( −6t ) − (1 − 3t 2 ) ( −2) 2 − 6t + 6t 2 dy′ d 1 − 3t 2 = = = 2 2 dt dt 1 − 2t (1 − 2t ) (1 − 2t ) 3. Dividir el resultado por dx dy′ d2y dt = = dx 2 dx dt dt 2 − 6 t + 6t 2 ( 1− 2 t ) ( 1− 2 t ) 2 = 2 − 6 t + 6 t2 ( 1− 2 t ) 3 Ejercicios Propuestos 1. Hallar dz 2. Hallar , si z = w2 − w−1 y w = 3 x dx si y = 2 v3 + 2 v −3 y v = ( 3 x + 2 ) dy dx 3. Hallar dr 4. Hallar da dy 5. Hallar 6. Hallar dy 7. Hallar dy dt , si r = ( s + 1) db 1 2 y s = 16 t 2 − 20 t , si a = 7 r 3 − 2 , y r = 1 − 1 dt , si 2 x − 3 y = 9 , y 2 x + t dt , si y = dt , si y = x 4 , y x = x+2 , y x = 2 3 t 3 b =1 , t 0 t x2 , y x = 2 t +1 , si y = 2 dt x +1 d2y 9. Hallar , si x = t − t 2 , y y = t − t 3 dx 2 dy 8. Hallar 3.- Derivadas Algebraicas 2 3