TRABAJO PRACTICO Nº 1 - MEDICIONES E INCERTEZAS

Física I – Turno 14
F. Perez Quintián – A. Alcaraz – L. Ciocci – M. Pereyra
Trabajo Práctico Nº 1.
Mediciones e incertezas
TRABAJO PRACTICO Nº 1 - MEDICIONES E INCERTEZAS
Objetivos:
Determinar el volumen y la densidad de un cilindro realizando mediciones directas e indirectas.
Comparación de resultados.
Introducción teórica
En toda medición intervienen:
1) La magnitud física que se quiere medir
2) El instrumento con el que se mide
3) El método de medición
4) El experimentador
La experiencia nos demuestra que cuando se repite una medición se pueden obtener distintos valores aunque no
exista ninguna equivocación por parte del experimentador. La variación en los resultados de cada medición pone de
manifiesto la incerteza en la determinación del resultado de la medición. Las incertezas pueden deberse tanto al
instrumento o a los procesos de medición como al experimentador. También pueden aparecer fluctuaciones cuando la
magnitud a medir no es exactamente estable o no está perfectamente determinada. Suponiendo que la magnitud a
medir está perfectamente determinada y no varía durante el proceso de medición, las incertezas se deberán en general
tanto al instrumento de medición como al experimentador.
Lo que se desea en toda medición es establecer las cotas de las incertezas de la magnitud X. Es decir establecer un
intervalo X0 - ∆X ≤ X ≤ X0 + ∆X (Fig. 1) donde podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud X.
Xo - ∆X
Xo
Xo + ∆X
Fig.1 Intervalo asociado a la medición.
El valor X0 es el valor representativo de nuestra medición y ∆X es la incerteza o error absoluto. La manera habitual
de presentar el resultado de la medición de la magnitud X es:
X = X0 ± ∆X
Mediciones Directas
Las mediciones directas son aquellas que se hacen leyendo el resultado de una medición en un instrumento. En
otras palabras, no media relación funcional entre la magnitud medida y los datos numéricos obtenidos del instrumento
de medición.
Frente a una medición directa hay que considerar que la misma dependerá de la magnitud a medir, de las
condiciones experimentales, del tipo de experimento, del tiempo del que dispone el experimentador para determinar el
valor de la magnitud, de la posibilidad o no de repetir el experimento bajo las mismas condiciones, etc. Algunas veces
sólo es posible medir una vez o pocas veces, otras se pueden medir muchas.
Uno de los aspectos a tener en cuenta es que los instrumentos utilizados son fuente de incertezas:
Si suponemos inicialmente un instrumento ideal midiendo un objeto ideal, sólo habrá indeterminaciones
debido a la coincidencia del cero y la resolución del instrumento. Este conjunto constituye lo que se
denomina error o indeterminación de lectura εL
b)
Si suponemos ahora un instrumento real midiendo un objeto ideal, además se debe agregar el error de clase
εC, en general especificada por el fabricante y fijada por la calidad de sus elementos constitutitos (estabilidad
térmica, estabilidad mecánica, ajuste , rozamiento, ..)
Aplicando un criterio de mayoración, para ponernos del lado de la seguridad tendremos que la incerteza debida al
instrumento es:
εI = εL + εC
a)
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Mediciones e incertezas
Un instrumento bien construido es aquél que εL es del mismo orden que el εC: puesto que no tendría sentido
colocar una escala grosera en un instrumento de buena calidad constructiva (εL >> εC), ni minimizando los errores de
lectura en un instrumento de calidad mediocre (εL << εC)
c) Si suponemos un instrumento real midiendo un objeto real, se deben considerar las fluctuaciones debidas a la
propia naturaleza del objeto a medir, las influencias del medio ambiente y las interacciones del observador con
el instrumento. Llamaremos εF a la indeterminación debida a estas fluctuaciones. Si εI es del orden de εF , no se
podrán apreciar estas variaciones. Sólo se pondrán en evidencia cuando εI << εF
Consideremos una magnitud de la cual se hacen n mediciones directas, llamaremos X1, X2 ,....., Xn a los n valores
obtenidos. Estos valores serán distintos entre sí, pudiendo coincidir algunos de ellos.
Evidentemente no resultará satisfactorio dar como resultado de la medición una tabla de n valores. Es necesario
caracterizar la serie de mediciones mediante unos pocos parámetros que tengan un significado preciso relacionado con
la magnitud medida y/o el proceso de medición utilizado.
Cuando se determinen diversos valores para una misma magnitud se pueden adoptar los siguientes criterios de
selección para establecer el valor más representativo de la medición:
• El valor promedio:
n
X = ∑ X /n
0
i
i
∆X se toma de manera tal que en intervalo asociado a la medición caigan todas las medidas realizadas
• El valor medio:
X0 = (XM + Xm)/2
∆X = XM - Xm/2
(XM valor máximo y Xm valor mínimo de las mediciones)
• El valor más repetido, si se reitera en más del 50%, 75 % de las mediciones (según criterio), para ∆X se toma
la incerteza del instrumento
También existen las incertezas sistemáticas que son incertezas que no fluctúan de una medición a otra. También en
este caso las incertezas sistemáticas se pueden deber tanto al experimentador como al instrumento de medición. Son
difíciles de detectar y por lo tanto de corregir, ya que no se manifiesta mediante una variación del valor de la medición
al repetir la misma.
Siempre hay que tener en cuenta que el resultado de una medición en una experiencia no es sólo un número con
incerteza, sino que debe ir acompañado del método e instrumento de medición. Así, al repetirse la medición con otro
experimentador, con otro método o con otros instrumentos se podrán comparar los resultados y determinar mediante
algún criterio acordado si las mediciones son equivalentes o no y cuál es la más confiable.
En esta práctica se deberá especificar y justificar cada uno de los pasos seguidos en la determinación de las
incertezas y discutir los resultados obtenidos.
Mediciones indirectas
Supongamos que una magnitud f se obtiene a partir de otras dos magnitudes X e Y que pueden medirse en forma
directa. Es decir, que tengo una relación matemática que me da f en función de X e Y.
f = F(X,Y)
Vimos cómo determinar el valor más representativo y el error del valor más representativo cuando hacemos una
medición directa. Nos preguntamos ahora: ¿cuál es el valor más representativo de f y su incerteza?
Aquí tenemos que distinguir entre dos situaciones:
1) Las magnitudes y mediciones de la magnitud X son independientes de la magnitud y mediciones de Y.
2) Las magnitudes o mediciones de X e Y están relacionados (este caso no se analizará en esta práctica)
Considerando el caso de magnitudes independientes y que efectuamos de cada una de ellas n mediciones,
tendremos el siguiente cuadro de valores:
X1, X2, X3, , Xn
Y1, Y2, Y3, , Yn
De estas mediciones directas se obtienen como se indicó en la sección anterior sus correspondientes valores
representativos e incertezas: X = X0 ± ∆X; Y = Y0 ± ∆Y
Se puede calcular f0 el valor más representativo de f a partir de X0 e Y0 los valores representativos de X e Y,es
decir:
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f0 = F(X0,Y0)
La incerteza ∆f de f0 se calcula por medio de:
 ∂ F ( X ,Y ) 
∂ F ( X ,Y ) 
∆f = 
∆X + 
∆Y


 ∂ X
 X 0 ,Y0
 ∂Y
 X 0 ,Y0
Pasos a seguir en el Laboratorio:
Se calculará el volumen y la densidad de un cilindro macizo de bronce :
1 Con calibre (medición indirecta)
2 Con regla (medición indirecta)
3 Con probeta graduada (medición directa del volumen)
1 Cálculo del volumen y la densidad de un cilindro con calibre
1.1 Medición del volumen
Calibre marca:
Precisión del instrumento:
d
h
Fig.2 Esquema del objeto a medir.
a) Medir varias veces la altura h y el diámetro d, determinando en cada caso la incerteza de la medida.
h ± ∆h
d ± ∆d
b) Determinar el valor representativo de h y d con sus respectivos errores.
h0 ± ∆h0 =
d0 ± ∆d0 =
c) Determinar el valor representativo del volumen del cilindro V0 con su error.
El valor representativo del volumen del cilindro V0, depende de los valores representativos de d0, h0 y la
constante irracional π.
V0 = πd 02 h 0 /4
Utilizando criterios de propagación de errores se obtiene:
εV = επ + 2εd + εh
El término 2εd + εh está determinado por el método de experimentación. El término επ es posible
minimizarlo hasta hacerlo despreciable frente al anterior. Esto se logra incrementando la cantidad de dígitos
en la aproximación del número irracional π. El criterio para despreciar επ es:
10επ < 2εd + εh
Una vez determinado el valor representativo de la constante irracional π, expresar
V0 ± ∆V0 =
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1.2 Medición de la masa con balanza electrónica:
M0 ± ∆M0 =
1.3 Cálculo de la densidad del cilindro:
Determinar el valor representativo de la densidad con su error
δ0 = M0/V0 =
δ0 ± ∆δ0 =
2 Cálculo del volumen y la densidad de un cilindro con regla
Aproximación de la regla:
Seguir los pasos establecidos en 1 y mediante una regla determinar:
V0´ ± ∆V0´ =
M0 ´ ± ∆M0´ =
δ0 ´± ∆δ0´ =
3 Cálculo del volumen y la densidad de un cilindro con probeta graduada:
a) Medición del volumen
Se llena una probeta graduada hasta un cierto nivel X1; luego se introduce el cilindro y se lee el nuevo nivel
alcanzado X2. El volumen queda determinado por la diferencia de esas dos lecturas (volumen del líquido
desplazado).
X1 = X01 ± ∆X1 =
X2 = X02 ± ∆X2 =
V0´´= X02 - X01 =
Determinar
V0´´± ∆V0´´ =
b) Medición de la masa con balanza electrónica:
M0 ´´ ± ∆M0´´ =
c) Cálculo de la densidad del cilindro:
δ0 ´´ = M0´´/V0´´
δ0 ´´ ± ∆δ0´´ =
Recomendaciones para el informe:
Lea PAUTAS PARA LA ELABORACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMES DE LABORATORIO
Para realizar el análisis de los resultados obtenidos conviene graficarlos de manera que sea posible compararlos.
Coloque en un apéndice el cálculo utilizado para determinar las incertezas de las magnitudes determinadas
mediante mediciones indirectas.
En un manual de ingeniería busque la densidad del latón y del bronce indicando las indeterminaciones obtenidas
de los valores de la tabla y compárelas con la medida obtenida en la práctica.
¿Puede establecer el tipo de material que está construido el cilindro de la práctica?
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