Clasificación y Operaciones entre funciones.

CALCULO
CAPITULO
N O.
1
1.6.- CLASIFICACION Y OPERACIONES DE FUNCIONES
OBJETIVO.- Conocer y manejar las operaciones definidas entre funciones así
como conocer la clasificación de éstas y sus características.
1.6.1.- Operaciones entre Funciones.
Aparte de las operaciones algebraicas ya conocidas, como la suma y la multiplicación, que
también se pueden realizar entre funciones, para estas tenemos una operación que es privativa de
ellas y que es conocida como Composición de Funciones cuyo resultado es otra función que, por
como se le da origen, se le llama Función Compuesta o Función Composición, que definiremos
en el siguiente artículo.
1.6.1.1.- Definición de Composición de Funciones.
La Composición de Funciones, es una operación definida entre dos funciones y que da como
resultado otra función, por lo que se dice que es una Operación Binaria, que es cerrada por
naturaleza, y se define en los siguientes términos:
Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas en los reales, es decir.
f: R → R
g: R → R
La composición de f con g, indicada como:
f°g
se define como la función que se obtiene al valuar la función f con la función g, es decir:
f[g(x)]
Esto significa sustituir en la variable independiente “ x ” de función f(x) la función g(x).
Ejemplo:
Dadas las funciones:
2
f ( x) := x − 6x + 10
g ( x) := 4e
M. C.
J.
AGUSTÍN
y
− 2x
FLORES
AVILA
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CALCULO
CAPITULO
N O.
1
Obtenga las siguientes Composiciones:
f°g
g° f
Como ya indicamos, en el primer caso la composición se obtiene valuando –metiendo- la función
g(x) en la función f(x), por lo tanto:
(
h ( x) := 4e
− 2x
)2 − 6(4e− 2x) + 10
En la que al hacer operaciones nos queda dada por:
h ( x) := 16e
− 4x
− 24e
− 2x
+ 10
En el segundo caso la composición se obtiene valuando la función f(x) en la función g(x), por lo
tanto:
h ( x) := 4e
(
2
)
− 2 x − 6x+ 10
En la que al hacer operaciones nos queda dada por:
h ( x) := 4e
( − 2x2+12x−20)
Ejemplo No. 2.Encuentre las dos composiciones entre f y g dadas por:
2
f ( x) := 3x − 2x + 1
y
g ( x) :=
8
x− 2
Como ya señalamos se lee: “ f valuado en g ”.
f ⋅ g := 3 
2
 − 2 8  + 1

x
−
2


 x− 2
g ⋅ f :=
8
(3x
2
8
)
− 2x + 1 − 2
8
2
3x − 2x − 1
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
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CALCULO
CAPITULO
N O.
1
1.6.1.2.-Condición de Existencia.
No obstante que como operación bien definida siempre es posible realizar una composición,
independientemente de las funciones f y g involucradas, el resultado de tal operación esta
limitado a la existencia de la función resultante a partir de las condiciones que le hemos impuesto
a las funciones como tales. Es decir, debe estar bien definida la relación establecida entre los
conjuntos dominio y contradominio para que la función composición pueda existir.
Ejercicios:
Obtengas todos los pares de composiciones con las siguientes funciones y dé el dominio de la
función resultante.
f(x) = 6xSen(4x-2)
g(x) = 4x3-2x2 +5x-1
h(x) = 6Ln(3x-9)
De un ejemplo en el que una composición NO se pueda realizar. Esto significa que la función
resultante NO existe en R.
1.6.1.3.- Inversa de una función:
La Inversión de una Función es otra operación definida para las funciones pero en este caso se
aplica solamente sobre una función. En este sentido se dice que es una operación Unaria –
definida sobre un solo elemento- y se define en los siguientes y términos:
Sea f(x) una función definida en R, la que, al establecer una relación de correspondencia entre
DOS conjuntos, se acostumbra indicar como:
y = f(x)
La función inversa de esta función, indicada como:
f(x)-1
Se obtiene DESPEJANDO la variable independiente “ x ” y obteniendo otra función dada por:
x = f(y)
en la que se invierten los papeles de las variables. La variable independiente “ x ” original pasa a
ser ahora la variable dependiente en la función inversa. Sin embargo, para efectos de notación se
acostumbra expresar la función invertida en función de la “ x “ original.
Ejemplo:Obtenga la función inversa de:
f(x) = x2 – 4x + 4
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
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N O.
1
Como ya indicamos, para obtener la función inversa simplemente despejamos “ x “ de esta
función lo que nos da:
f ( x)
−1
:= x + 2
1.6.1.4.-Condición de Existencia.
No obstante que como operación bien definida siempre es posible realizar la inversión de una
función -independiente de cual sea tal función- el resultado de la operación esta limitado a la
existencia de la función resultante a partir de las condiciones que le hemos impuesto a las
funciones. Es decir, debe estar bien definida la relación establecida entre los conjuntos dominio y
contradominio para que la función pueda existir. En particular, la inversión solamente es posible
en las funciones biyectivas que son aquellas que establecen una correspondencia biunívoca como
veremos en el siguiente artículo.
Ejercicios:
Obtenga la función inversa de las siguientes funciones: Establezca su dominio de definición y
cuando la inversión no exista explique porqué.
f(x) = 6xSen(4x-2)
g(x) = 4x3-2x2 +5x-1
h(x) = 6Ln(3x-9)
1.6.2.- Clasificación de Funciones.
Según la correspondencia que establecen entre los elementos del conjunto dominio con los
elementos del conjunto contradominio, las funciones aceptan la siguiente clasificación:
1. Función Inyectiva.- Es aquella en la que la correspondencia entre dominio y contradominio es
Biunívoca o Uno a Uno. Es decir, a cada elemento del dominio le corresponde Uno y solo Un
elemento del contradominio pero en el contradominio sobran elementos. El Mapa de
asociación de elementos se muestra enseguida.
A
M. C.
B
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
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N O.
1
Por ejemplo la función exponencial definida en todos los reales positivos:
f(x) = ex
f:R→R
Algunas funciones radicales y ciertas funciones cuadráticas o los polinomios pares con todas
sus raíces repetidas en las que se adecuen de manera correcta los conjuntos dominio y
contradominio.
2. Función Sobreinyectiva.- Es aquella en la que a al menos un elemento del dominio le
corresponde mas de un elemento del contradominio, bajo la regla de correspondencia
establecida por la función, y en el contradominio NO sobran elementos. El mapa de
correspondencia se muestra enseguida.
A
B
Por ejemplo los polinomios de grado impar como:
f(x) = x3 + 5x -9
h(x) = x5 – 7x3 +8
y en general los polinomios de grado impar que no tengan todas sus raíces repetidas
3. Función Biyectiva.- Es aquella en la que la correspondencia entre dominio y contradominio
es Biunívoca o Uno a Uno. Es decir, a cada elemento del dominio le corresponde Uno y solo
Un elemento del contradominio pero en el contradominio NO sobran elementos. En este
sentido se dice que si entre dos conjuntos dados es posible definir una función Biyectiva,
entonces, estos conjuntos tienen la misma cardinalidad. El Mapa de asociación de elementos
se muestra enseguida.
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
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CALCULO
CAPITULO
A
N O.
1
B
Por ejemplo los monomios de grado impar como:
f(x) = x3 + 5
h(x) = x5 - 7
y, en general, las funciones lineales o los polinomios impares con todas sus raíces repetidas.
4. Funciones que no caen en ninguna de ellas.- Son funciones con correspondencia
Sobreinyectiva pero en las que sobran elementos en el contradominio.
A
B
Que a un elemento de B le toquen mas de uno de A y
sobran en B
Ejemplo de este tipo de funciones son los polinomios pares definidos en todos lo reales como
por ejemplo:
f(x) = 4x2 – 6x + 2
f: R → R
En seguida mostramos un conjunto de gráficas que corresponden a otras tantos ejemplos de
funciones:
1. Inyectiva si se define de R+ a R
2. Biyectiva si se define de R a R.
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
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CALCULO
CAPITULO
N O.
1
f ( x) := 4x + 2
50
f ( x)
10
0
10
x
3.- Sobreinyectiva de R a R+
4.- No clasificada si se define de R a R
2
f ( x) := 4x
50
f ( x)
10
0
10
x
5.- Biyectiva si se define de R a R
6.- Inyectiva si se define de R+ a R
f ( x) := 4x + 2
50
f ( x)
10
0
10
50
x
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
83
CALCULO
CAPITULO
N O.
1
7. - Ninguna de ellas si se define de R a R.
2
f ( x) := 4x + 2
f ( x)
10
0
10
x
EJERCICIOS:
•
Clasifique las siguientes funciones considerando su dominio mas amplio.
Posteriormente redefina dominio y/o contradominio y modifique en al menos dos
formas su clasificación.
f ( x)
10
0
2
f ( x) := x
10
x
f ( x)
10
0
3
f ( x) := 3x
10
x
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
84
CALCULO
CAPITULO
3
N O.
1
2
f ( x) := 6x + 8x − x − 4
10
f ( x)
0
10
x
•
Clasifique las siguientes funciones considerando su dominio mas amplio.
Posteriormente redefina dominio y/o contradominio y modifique en al menos dos
formas su clasificación.
f(x) = 7Sen(x2)
f(x) = Tan(x)
f(x) = 3x2 – 5x +3
f(x) = 4x4 – 6x2 + 1
f(x) = 2xe-x
f(x) = Ln(7x-4)
f(x) = 6x3 – 9
f(x) = 4x4 – 16
f(x) = 4x4 + 16
f(x) = 6x2Cos(x2)
M. C.
J.
AGUSTÍN
FLORES
AVILA
85