Caracterización de Equilibrios en Estrategias Mixtas

Notas y Ejercicios sobre Estrategias mixtas
En estas notas enunciamos y demostramos un teorema que describe (o caracteriza) la forma exacta de
los equilibrios en estrategias mixtas. Las notas también contienen una serie de ejercicios que utilizan esta
caracterización para encontrar los equilibrios en estrategias mixtas de ciertos juegos.
Para un conjunto …nito X = (x1 ; :::; xn ) de…nimos X como el conjunto de distribuciones de probabilidad
sobre X: Formalmente
(
)
i=n
X
n
X = p 2 R+ :
pi = 1 :
h
I
I; fSi ; ui g1
i=1
i
Para un juego en forma normal N =
en el cual los espacios de estrategias Si son …nitos para
h
i
I
todo i; el juego N = I; f Si ; ui g1 se llama su extensión mixta.
i
h
I
Teorema 0: Sea N = I; f Si ; ui g1 un juego en forma normal, y sea Si+ ( ) Si el conjunto de estrategias
que el jugador i juega con probabilidad estrictamente positiva en el per…l de estrategias = ( 1 ; :::; I ) : El
per…l de estrategias es un equilibrio de Nash en N si y sólo si para todo i
(i) ui (si ;
(ii) ui (si ;
= ui (s0i ;
ui (s0i ;
i)
i)
para todo si ; s0i 2 Si+ ( )
+
0
i ) para todo si 2 Si ( ) ; si 2 Si :
i)
Prueba: Supongamos primero que no es un equilibrio de Nash. Demostraremos que se viola entonces (i)
o (ii). Si no es un equilibrio, quiere decir que existe un jugador i; y una estrategia 0i para ese jugador,
tal que ui ( 0i ; i ) > ui ( i ; i ) : Como ui ( 0i ; i ) = 0i (s1 ) ui (s1 ; i ) + ::: + 0i (sn ) ui (sn ; i ) tiene que
haber alguna estrategia s0i tal que ui (s0i ; i ) > ui ( i ; i ) = ui (si ; i ) para toda si 2 Si+ ( ) ; lo cual
viola la condición (ii).
Supongamos ahora que se violan (i) o (ii). Demostraremos que entonces no puede ser un equilibrio de
Nash. Si se viola una de las dos condiciones (cualquiera de las dos), existen si 2 Si+ ( ) y s0i 2 Si tales que
ui (s0i ; i ) > ui (si ; i ) : Construiremos ahora una estrategia 0i para el jugador i; que le da una utilidad
estrictamente mayor que i cuando los oponentes juegan
no es un
i ; y con eso quedará demostrado que
equilibrio de Nash. La estrategia 0i que nos de…nimos, es una en la cual el jugador i juega s0i cada vez que
le tocaría jugar si : Formalmente,
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>
si s 2
= fsi ; s0i g
i (s)
<
0
0
:
si s = s0i
i (si ) + i (si )
i (s) =
>
:
0
si s = si
Tenemos entonces que
ui ( 0i ;
i)
=
X
s2
= fsi ;s0i g
=
X
0
i
(s) ui (s;
i)
+
0
i
0
i
(s) ui (s;
i)
+0+
i
(s) ui (s;
i)
+
i
(s) ui (s;
i)
+(
i
(s) ui (s;
i)
+
s2
= fsi ;s0i g
=
X
s2
=f
si ;s0i
=
X
s2
=f
si ;s0i
>
X
s2
=f
si ;s0i
0
i
(si ) ui (si ;
0
i
g
(si ) +
i
0
i
+
(s0i ) ui (s0i ;
(s0i ) ui (s0i ;
i
i)
g
1
(si ) ui (si ;
i)
i)
i)
(s0i )) ui (s0i ;
g
i
(s0i ) ui (s0i ;
i)
+
i
i)
(s0i ) ui (s0i ;
i)
= ui ( )
como queríamos demostrar.
Ejercicio 1: En el juego de matching pennies de la …gura, encontrar todos los equilibrios.
Jugador 1
Jugador 2
Cara
Número
1
-1
-1
1
Cara
Número
Ejercicio 2: En el juego de Meeting in New York de la …gura, encontrar todos los equilibrios para a; b > 0:
Jugador 1
Jugador 2
Empire States Grand Central
Empire States
a,a
0,0
Grand Central
0,0
b,b
Ejercicio 3. En el siguiente juego, encuentre todos los equilibrios, tanto en estrategias puras, como en
estrategias mixtas. (Pista: utilice la caracterización de los equilibrios en estrategias mixtas para demostrar
que el Jugador 2 nunca usará una de sus acciones en un equilibrio en estrategias mixtas).
I
A 4,5
B 1,1
M
0,1
8,7
D
9,0
9,0
Ejercicio 4. La batalla de los sexos. Juan e Inés pre…eren pasar una velada juntos, antes que separados. A
Juan le gusta el fútbol y a Inés le gusta la música clásica. Quedaron en encontrarse, pero no recuerdan si en
el Estadio o en el Solís. La matriz de pagos para este juego es
Estadio
Estadio
2,1
Solís
0,0
Juan
Inés
Solís
0,0
1,2
Encuentre todos los equilibrios de este juego.
Ejercicio 5. La batalla de los sexos, con boxeo. Juan (jugador I) e Inés (jugadora II) pre…eren pasar una
velada juntos, antes que separados. A I le gusta el fútbol y a II le gusta la música clásica. A ninguno le
gusta el boxeo. Quedaron en encontrarse, pero no recuerdan si en el Estadio (opción c), en el Solís (opción
b) o en el Luna Park (opción a). La matriz de pagos para este juego es
II
b
a
I
a
b
c
0,0
3,0
5,0
0,3
2,3
1,1
2
c
0,5
1,1
3,2
Encuentre todos los equilibrios de este juego. Para ello, demuestre, usando la caracterización de los equilibrios, que ninguno de los dos jugadores jugará la estrategia a en un equilibrio. La estrategia a se llama
“dominada” pues para cualquier cosa que haga el otro jugador, la estrategia b me da una utilidad mayor
que la a. Una vez eliminada la estrategia a, encuentre los equilibrios del siguiente juego.
b
c
I
II
b
c
2,3 1,1
1,1 3,2
Ejercicio 6. En el siguiente juego, encontrar todos los equilibrios en estrategias mixtas (el jugador I elige
…las y el II columnas).
I
A 1,0
B 0,3
M
1,2
0,2
D
0,3
1,0
Para hacerlo, siga los siguientes pasos.
Parte A Sea p la probabilidad con que I juega A. Gra…que con p en las abcisas la utilidad de II de jugar I,
M, o D. Utilice la caracterización de las estrategias mixtas para mostrar que II nunca jugará las tres acciones
con probabilidad positiva. En particular, ¿hay algún p que haga que las utilidades de II de sus tres acciones
sean iguales?
Parte B Muestre que no hay equilibrios en estrategias puras. Muestre también que no hay ningún equilibrio
en el cual II juega sólamente I y M. Muestre que no hay ningún equilibrio en el cual II juega sólo I y D:
Parte C. Encuentre el equilibrio en el cual II juega M y D.
Ejercicio 7. En el siguiente juego, encontrar todos los equilibrios en estrategias mixtas (el jugador I elige
…las y el II columnas).
I
M
D
A
0;2
1;1
2;0
B
2;0
1;1
0;2
Para hacerlo, siga los siguientes pasos.
Parte A Sea p la probabilidad con que I juega A. Demuestre que no hay ningún equilibrio en el cual p > 21 :
Parte B Demuestre que no hay ningún equilibrio en el cual p < 12 :
Parte C Sean (qI ; qM ) las probabilidades con que II juega I y M respectivamente. Demuestre que no hay
ningún equilibrio en el cual qI 6= 1 qI qM (es decir, en cualquier equilibrio II debe jugar I y D con la
misma probabilidad).
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Parte D Demuestre que p =
1
2
y (qI ; qM ) = (a; 1
2a) para todo a 2 0; 21 es un equilibrio.
Ejercicio 8. Los pagos en el siguiente juego
Ladrón
Robar
No Robar
Alarma
v - a, - p v - a, 0
Dueño
No Alarma 0
, v
v
,0
representan una situación en la cual un auto vale $v: El dueño puede elegir ponerle alarma con un costo
de $a < v; en cuyo caso, el auto estará seguro, y si el ladrón intenta robar el auto, irá seguro a prisión,
recibiendo una pena de p: Si el ladrón no intenta robar, recibe 0 de pena, mientras que si intenta robar y no
hay alarma, se queda con el valor del vehículo, y el dueño con nada.
Parte A. Encuentre el único equilibrio en estrategias mixtas.
Parte B. Llame a la probabilidad con la que el ladrón intenta robar la “tasa de criminalidad”. ¿Tiene algún
efecto sobre la tasa de criminalidad un aumento en p; la pena que podría recibir el ladrón? Explique porqué.
Ejercicio 9. Sean I = f1; 2g y Si = fa; b; cg para i = 1; 2. Las utilidades son ui (c; c) = 4; ui (b; b) = 2 y
ui (a; a) = 1 y para s =
6 s0 ; ui (s; s0 ) = 0 para i = 1; 2:
Parte A. Dibuje la matriz de pagos de este juego.
Parte B. Encuentre todos los equilibrios de este juego.
Ejercicio 10. Poner una estrategia 0i que sea mejor que i (de la demostración de mixtas) que le asigne
prob positiva a las mismas que i ; más una, y pedir que construyan una i que sea mejor que ambas
Ejercicio 11. Bienes públicos. El problema del free rider. Considere un juego en el cual si una
persona “aporta”, recibe 10 de utilidad, sin importar lo que hagan los demás. Si la persona no aporta, pero
alguien más lo hace, entonces la persona recibe 15; pero si nadie más aporta, recibe 85.
Parte A. Calcule 3 equilibrios de este juego cuando hay sólo dos jugadores.
Parte B. Calcule el único equilibrio simétrico (todos juegan la misma estrategia) cuando hay n jugadores.
Parte C. Calcule la probabilidad de que al menos una persona aporte como función de n: Calcule el límite
cuando n tiende a in…nito de esta expresión.
Ejercicio 1 Kitty Genovese; caso real. Una mujer está siendo golpeada, apuñalada y violada en el
estacionamiento al aire libre de un edi…cio. Ella grita y todas las luces en los n apartamentos se prenden, y
los vecinos se ven unos a otros mirando. Los pagos (en niveles de utilidad) para cada uno de los n vecinos
son los mismos: si yo llamo mi pago es 0; si no llamo y alguien llama, mi pago es 1; si no llamo y nadie
llama, mi pago es 2:
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Parte A. Cada individuo i tiene que elegir una probabilidad pi de llamar a la policía. Si todos los demás
vecinos están eligiendo llamar con la misma probabilidad p; calcule la utilidad del individuo 1 de llamar
seguro, y la utilidad de no llamar seguro. Encuentre el p que hace que sean iguales. Para este p hay un
equilibrio de Nash: si todos los demás llaman con esa probabilidad, a mi me da lo mismo elegir cualquier
q 2 [0:1] y llamar con esa probabilidad q; por lo tanto, llamar con probabilidad p es una mejor respuesta.
Parte B. Calcule la probabilidad de que al menos una persona llame, como función de n: Muestre que es
decreciente en n:
Ejercicio 2 Hay dos individuos i = 1; 2 que deben elegir con qué probabilidad jugar la acción A en el
siguiente juego
A
B
A 1; 3 1; 0
B 0; 1 2; 2
Encuentre los tres equilibrios de este juego. ¿Cuáles serían los equilibrios si el pago para el individuo 2 del
per…l de estragegias (B; B) fuera 1?
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