ITERACCIÓN DEL PUNTO FIJO (Pag. 73) 1. Introducción y método

ITERACCIÓN DEL PUNTO FIJO (Pag. 73)
1. Introducción y método.
Para hallar raíces de una ecuación f(x) = 0 , en ciertas casos puede expresarse la
ecuación en la forma:
g(x) = x
A una solución de esta ecuación se la llama punto fijo de la función g(x).
Entonces hallar las raíces de la ecuación f(x) = 0 , equivale a hallar los puntos fijos
de g(x).
Por eso es importante conocer cuando una función tiene punto fijo (o más de uno) y
cómo calcularlo.
Teorema 1.
{1} Si g € C[a,b] y g(x) € [a, b] para todo x € [a, b], entonces g tiene un punto fijo en
[a,b]. Este punto fijo no tiene por qué ser único.
{2} Pero si además, g’(x) existe en (a, b) y |g’(x)| ≤ k <1 para todo x € (a, b),
Entonces g tiene un único punto fijo en [a, b].
Ejemplo 1:
x2 1
Sea g ( x) 
en el intervalo [-1, +1]. Esta función es continua y diferenciable
3
en este intervalo, y toma valores iguales en sus extremos, g(-1)=g(1)=0, por el teorema
del valor extremo existe un mínimo absoluto en [a,b], que se encuentra concretamente
en x=0, g(0)=-1/3. Por otra parte, el máximo absoluto de g se encuentra en los
extremos. Por tanto, la función g(x) cumple la condición{1} → hay algún punto fijo.
Además existe derivada de g(x) en (-1, +1):
2
2
g ( x)  x   1
3
3
O sea, que g(x) cumple también la propiedad {2}, lo que significa que hay un único
punto fijo en el intervalo [-1, +1].
Para este caso concreto puede halarse el “punto fijo”, sin más que resolver la
ecuación:
p2 1
p  g ( p)  p 
3
3  13
La solución exacta es p 
.
2
Ejemplo 2:
Sea la función g(x) = 3-x y el intervalo [0, 1].
Su derivada es negativa en este intervalo:
g’(x) = -3-x ln 3 < 0 en [0, 1] → g(x) es decreciente en [0, 1]
g(1) ≤ g(x) ≤ g(0) en [0, 1] → 1/3 ≤ g(x) ≤ 1 en [0, 1] .
Esto nos asegura la existencia de algún punto fijo de g(x) en [0, 1].
Y puesto que g’(0) = -ln 3 = -1.098612289, que no en menor que 1, no es posible
utilizar el teorema de la unicidad del punto fijo. Sin embargo, la unicidad del punto fijo
la deducimos de que la función es decreciente (la gráfica de g(x) sólo puede cortar a la
diagonal una vez).
2. El método del punto fijo gráficamente.
Se trata de llegar al punto de intersección de las gráficas y = x con y =g(x). Es decir,
la raíz de:
x = g(x)
Partimos de un punto x= p0, al sustituir en g(x) llegamos al punto A0 (p0, g(p0)).
Ahora vamos horizontalmente hasta el punto B0 (lo que equivale a p1 = g(p0)).
Y así repetimos nuevamente el proceso:
x = p1 sustituimos en g(x) llegamos a A1 (p1, g(p1)) → B1 , etc.
La línea poligonal (en escalera) A0 , B0 , A1 , B1 , A2 , B1 , …. Que equivale a las
abscisas p0 , p1 , p2 , …. Nos aproximan sucesivamente al punto fijo, esto es a la raíz p.
El mismo método geométrico en otros casos puede dar origen a una aproximación al
punto fijo en forma espiral.

Se tiene la aproximación en “escalera” al punto fijo si la curva es creciente, o sea
g’(x)>0, mientras que se tiene la aproximación en espiral si es decreciente, o sea
g’(x)<0.

Puede darse el caso de que la curva y = g(x) “se incline” en la vecindad de la raíz
p, es decir, │g’(x)│>1, entonces el proceso de iteración puede ser divergente.
ALGORITMO Y EJEMPLOS.
Para aproximarnos al punto fijo de una función g(x), escogemos una aproximación
inicial p0 , y a continuación generamos la sucesión de puntos: p1, p2, p3, …
De tal modo que pi = g(pi-1) i = 1, 2, 3 …N

Algoritmo
Para hallar la solución de g(p) = p, dada una aproximación inicial p0 :
Entrada: aproximación inicial p0, tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N
Salida: solución aproximada p ó mensaje de fracaso.
Paso 1: tomar i = 1.
Paso 2: mientras que i ≤ N seguir pasos 3-6;
Paso 3: tomar p = g(p0) ; % Calcular pi (i = 1 , …, N)
Paso 4: si │p – p0│<TOL entonces SALIDA → p
Paso 5: tomar i = i + 1;
Paso 6: tomar p0 = p ; % redefinir p0 .
Paso 7: SALIDA (‘El método fracasó después de N iteraciones; END