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MÉTODOS NUMÉRICOS
EJERCICIOS SOBRE SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN
NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
1. Un medicamento administrado a un paciente produce una concentración en el torrente sanguíneo
dada por c(t ) = Ate
−
t
3
mg / ml , t horas después de que le fueron inyectadas A unidades del
medicamento. La concentración máxima segura de medicamento es de 1mg / ml . Donde sea
necesario, utilice un método numérico apropiado para responder las siguientes preguntas:
a) Qué cantidad de medicamento debe ser inyectada para alcanzar la concentración máxima segura
y cuándo ocurrirá este máximo?
b) Una dosis adicional de este fármaco le será administrada al paciente después de que la
concentración decaiga a 0.25mg / ml . Determine, con un error máximo de un minuto, cuándo
debe ser proporcionada la segunda inyección.
c) Suponiendo que la concentración de las inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de la
dosis inyectada originalmente se administra en la segunda inyección, ¿cuándo se presenta el
momento para la tercera inyección?
2. Usar un procedimiento iterativo para calcular una aproximación de la menor raíz positiva de la
ecuación 2senπ x − x = 0 . Calcular tres iteraciones.
3. Considerar la ecuación tan x =
x
, x ≠ −2 .
x+2
Usar el método de Bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuación, con los resultados
de la tercera iteración. Dar una cota para el error que se comete.
2 π
1

x  + x 2 − 1 = 0 , tomando x0 = .
2
2 
4. Aplicar el método de Newton-Raphson a la ecuación Sen 
Calcular dos iteraciones para establecer un valor aproximado de la raíz positiva.
5. Para la función f (x ) = e + x − 2 , obtener aproximaciones a todos sus ceros, usando el método
de Bisección, con la cuarta iteración. Tabular sus cálculos.
−x
2
6. El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo sumergido en un
líquido es igual al peso del fluido desplazado.
Al plantear esta condición de equilibrio para una esfera de radio 1 cm y densidad γ = 0.75 gm/cm 3 ,
se consigue la ecuación h − 3h + 3 = 0 , donde h es la altura de la parte de la esfera que está
sumergida.
Se pide aplicar el método de Newton-Raphson-Horner para estimar un valor aproximado de h,
3
2
usando dos iteraciones. Tomar h0 = 1 (valor inicial).
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MÉTODOS NUMÉRICOS
(1 − p )n − y
= a para 0 < p < 1 y n > y > 0 . Resolver esta ecuación
para los valores n = 100 , y = 35 y a = 0.147 .
7. Considerar la ecuación p
y
8. Considerar la ecuación
ex − 3x = 0
(1)
a) Estudiar gráficamente la ecuación (1). ¿Cuántas raíces tiene la ecuación dada en
b) Justificar que se puede aplicar Bisección a f ( x ) = e − 3 x en
x
a la raíz en
[ 0, 1 ] , con tres iteraciones.
[ 0, 1 ] .
[ 0, 4 ]?
Hallar una aproximación
Dar la cota de error.
1
, calcular diez iteraciones por el método de Newton-Raphson, aplicado a f.
4
d) Considerar la sucesión { xn } n generada por las iteraciones del método de Newton-Raphson.
c) Tomando x0 =
Demostrar que si xn 
→ L , entonces L es una raíz de f (x ) = 0 .
n →∞
1 x
e y g 2 ( x ) = ln 3 + ln x , ¿tienen alguna relación con el cálculo de
3
las raíces de la ecuación (1)?
f) Calcular xn = g1 (x n−1 ) , n = 1,...,10 ; xn = g 2 (x n−1 ) , n = 1,...,10 , para cada una de las
siguientes aproximaciones iniciales: x0 = 0.25 , x0 = 0.40 , x0 = 0.50 , x0 = 1.0 y x0 = 2.0 .
e) Las funciones g1 (x ) =
Estudiar los resultados.
x − tan x = 0 . Aplicar el método de Newton-Raphson parra calcular dos
π
iteraciones que busquen aproximar la menor raíz positiva de la ecuación. Tomar x0 = . Usar
6
9. Considerar la ecuación
aritmética aproximada truncando en la cuarta cifra decimal.
localización de la raíz buscada.
Hacer una gráfica aproximada de
10. Combinar los métodos de Bisección y Newton-Raphson para hallar una aproximación de la menor
raíz positiva de 2 x − 3 x − 4 = 0 .
3
11. Considere la función h(x ) = e
x−1
−x.
a) Probar que h tiene un único cero, determínelo y dé su multiplicidad.
b) Usar el método de Newton-Raphson para aproximar el cero de h con tres iteraciones. Dar la
velocidad de convergencia del método escogido.
12. Considerar la ecuación x − 6 x + 10 = 0 .
2
Al aplicar el procedimiento de Newton-Raphson, ¿qué resultados se consiguen? ¿Tendría el
polinomio raíces reales?
2
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MÉTODOS NUMÉRICOS
13. Considerar la sucesión
x n+1 =
a 
1
 x n +  , n = 0,1,2 ,... , donde a > 0 .
xn 
2
a) Pruebe que si la sucesión converge lo hace a
a . (Nota: Para a > 0 y x0 > 0 , la sucesión
siempre converge a
a ).
b) Calcular el orden de convergencia de la sucesión asumiendo que es convergente.
14. Probar que la función f ( x ) = e − x − 1 tiene un cero de multiplicidad dos en x = 0 .
x
1 2
x tiene uno y sólo un cero, que es x = 0 , dar su
2
multiplicidad. Calcular f en valores cercanos a cero. Analizar estos resultados. Si la raíz α = 0 , de
15. Demostrar que la función f (x ) = e − 1 − x −
x
la ecuación dada, fuera desconocida, cuál método numérico utilizaría para calcularla?
16. Considerar la ecuación
2 x3 = 3 x + 4
(2)
a) Demostrar que la función f ( x ) = 2 x − 3 x − 4 tiene un único cero real α en (1, 2 ) .
b) ¿Se puede usar Bisección para hallar una aproximación a α ?
c) Convertir el problema de calcular la raíz α de la ecuación (2) en un problema de Punto Fijo en el
3
intervalo [ 1, 2 ] . Ensayar por lo menos cuatro funciones de iteración en [ 1, 2 ] .
d) Demostrar que la función g ( x ) = 3
3x + 4
es una función de iteración para el problema. Para
2
esta función g, demuestre que:
7
≤ g (x ) ≤ 3 5 < 2 para todo x ∈ [ 1, 2 ] .
2
1
1
≤ g ' ( x) ≤
para todo x ∈ [ 1, 2 ]
3 98
200
i. 1 < 3
ii.
3
iii. La función g satisface las hipótesis del teorema de punto fijo en
tres iteraciones del método de Punto Fijo.
[ 1, 2 ] .
Concluir. Calcular
17. Considerar la ecuación e − 3 x = 0 . Estudiar la posibilidad de calcular la menor raíz positiva por el
x
método de Punto Fijo, con las funciones de iteración g1 (x ) =
Si es del caso, para g 2 estudiar el intervalo
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[ 0.4 ,
0.8 ].
1 x
e ó g 2 (x ) = ln 3 + ln x en [ 0, 1 ] .
3
3
MÉTODOS NUMÉRICOS
18. Considerar la ecuación
x 3 − 4x 2 + 5 = 0
(3)
a) Mostrar que g (x ) =
1 3
x + 5 es una función de iteración posible para el problema (3), en el
2
intervalo cerrado [1,2] .
b) Para la función g, en el intervalo [1,2] , examinar cuáles hipótesis del teorema fundamental de
punto fijo satisface. Justificar sus afirmaciones. Sacar conclusiones.
c) Decidir si la sucesión x n+1 = g (x n ) , n = 0,1,2,... converge o no; si lo hace, a qué valor
converge? ¿Depende la convergencia de
Justificar sus afirmaciones.
d) Tomar x0 =
{ xn }n
del valor inicial x0 escogido en [1,2]?.
3
, y calcular x1 y x2 a partir de la fórmula en c).
2
19. Considerar la ecuación x + x − 18 = 0 .
3
a) Demostrar analíticamente que la ecuación dada tiene una única raíz real.
b) Comprobar que la función g ( x ) = 3 18 − x es una función de iteración de punto fijo para la
ecuación propuesta.
c) Determinar un intervalo cerrado [ a , b ] donde la función g satisfaga todas las hipótesis del
Teorema Fundamental de Punto Fijo y verificar analíticamente sus afirmaciones.
(Ayuda: Para a y b sirven números enteros).
d) Para un x0 escogido en el interior del intervalo determinado, analizar si la sucesión de iteración
de punto fijo converge o no. Justificar sus conclusiones.
20. Se dispone de una lámina rectangular 10 cm x 16 cm, para construir una caja rectangular sin tapa,
cortando un cuadrado de igual tamaño en cada una de las esquinas. Estimar un posible valor para el
lado del cuadrado de tal forma que el volumen de la caja sea de 100 cm 3 .
21. Las gráficas de las funciones f1 (x ) = e
con α ∈ [0,1] .
x
y f 2 (x ) = 100x
2
se cortan en algún punto con abscisa α ,
x
1 2
a) Mostrar que g (x ) =
e es una función de iteración de punto fijo para el cálculo de α .
10
b) Verificar que la función g satisface las hipótesis del teorema de Punto Fijo (existencia y
unicidad).
c) Dejar claramente indicadas las operaciones correspondientes a las dos siguientes iteraciones del
método de Punto Fijo aplicado a la función g, tomando x0 = 0 .
d) La escogencia de la aproximación inicial x0 en el intervalo [0,1] influye en la convergencia o
divergencia del proceso iterativo de punto fijo? Justificar su respuesta.
4
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MÉTODOS NUMÉRICOS
22. Encontrar valores aproximados de las coordenadas del punto situado en el primer cuadrante donde
se cortan las gráficas de las ecuaciones x + y = 4 y y = e .
2
2
x
Para ello, usar la técnica de Punto Fijo, tomando como función de iteración a g (x ) =
(
)
1
ln 4 − x 2 en
2
el intervalo [0,1] . Verificar que g es una función de iteración de punto fijo posible para resolver el
problema planteado y que, además, cumple las hipótesis del teorema de punto fijo en dicho intervalo.
Concluya sobre la convergencia de la sucesión {xn }n generada por el método de Punto Fijo, y decir
hacia dónde converge. Calcular dos iteraciones, tomando x0 =
1
.
2
23. Hallar una aproximación de la menor raíz positiva de la ecuación x − 2 x =0 . Usar dos iteraciones
con la técnica de punto fijo. Dar explícitamente un intervalo en el cual la función de iteración g
escogida, satisface las hipótesis del teorema de punto fijo (probarlas!).
x
24. Usar el método de punto fijo para determinar una aproximación de la raíz positiva de
x − 1 − tan −1 (x ) = 0 , después de tres iteraciones. Verificar que su función de iteración cumple todas
las condiciones del teorema de punto Fijo, en el intervalo elegido por usted.
25. Considerar la ecuación polinómica x + 4 x − 10 = 0 .
3
2
Usar la técnica de punto fijo para determinar una aproximación de su raíz positiva. Determinar un
intervalo apropiado y una función de iteración que satisfagan todas las hipótesis del teorema de
punto Fijo. Calcular cinco iteraciones.
26. Considerar la función g ( x ) =
1
a
 x +  , con x > 0 .
2
x
a) Si la función g tiene un punto fijo, ¿cuál sería?
b) Construir un intervalo donde la función g satisfaga las hipótesis del teorema de punto fijo.
c) Para distintos valores de a, calcular varias iteraciones en el método de Punto Fijo.
27. Usar el método de Punto Fijo para calcular una aproximación de la raíz positiva más pequeña de la
ecuación e
−x
− cos x = 0 .
28. Demostrar que la ecuación 2 sen π x + x = 0 tiene una única raíz en [ 1 2 , 3 2 ], y utilice el método
de Punto Fijo para aproximar dicha raíz con una precisión de por lo menos sus tres primeras cifras
decimales exactas.
29. El polinomio λ + 2 λ − 18 = 0 es el polinomio característico de una matriz A.
3
ρ ( A) > 1 , siendo ρ( A) = Máx { ë / ë valor propi o de la matriz A }.
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Demostrar que
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