Juegos repetidos un número infinito de veces

Juegos Repetidos
Tema 2: Juegos repetidos un número
infinito de veces
Universidad Carlos III de Madrid
Sabemos que…
§  Si se juega un juego de etapa con un único EN
un número finito de veces, haciendo inducción
hacia atrás, observamos:
Ø Periodo T: no hay incentivos a cooperar.
•  No hay una pérdida en el futuro de la que
preocuparse.
Ø Periodo T-1: no hay incentivos a cooperar.
•  No hay un “coste de oportunidad” de desviarse en
T-1, porque en T no se cooperará nunca.
§  De ahí se deduce que no se coopera en ningún
período.
La interacción finita
§  Cuando hay un único EN la cooperación
es imposible si la relación entre los
jugadores tiene una duración fija y
conocida.
§  Esto sugiere estudiar otras posibilidades:
Ø La duración es incierta
Ø La duración es desconocida
Ø La duración es por un número infinito de
períodos
Juego repetido un número infinito
de veces
§  Se juega un juego simultáneo o de etapa en los
períodos 1, 2, 3, ..., t-1, t, t+1, ..... En cada período t se
observan los resultados de todas las etapas anteriores,
desde 1 hasta t-1.
§  Cada jugador descuenta sus pagos futuros δ, 0< δ < 1.
§  El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos
futuros: ∑ δ t-1 πt. Si πt es constante, entonces:
π+ δ π + δ
2π
+δ
3π
….= π
1
1-δ
ENPS
§  Consideremos el juego repetido consistente en
jugar un número infinito de veces el siguiente juego
de etapa.
§  ¿Es posible sostener la cooperación? ¿Es posible
jugar (R1, R2) en un ENPS?
Jugador 2
Jugador1
L1
L2
1 , 1
R2
5 , 0
R1
0 ,
4 ,
5
4
1
R1
L1
2
2
L2
1
(1, 1)
L1
2
L2
(5, 0)
L1
R1
2
R2 L2
L2
R2
2
R2 L2
1
1
2
R2 L2
2
R2 L2
(4, 4)
L1
(0, 5)
L1
R1
R2
R1
2
R2 L2
2
R2 L2
HASTA INFINITO
1
R1
2
R2 L2
R2
Subjuegos y Estrategias
§  Hay infinitos subjuegos.
§  Cada subjuego es idéntico al juego completo.
§  Usaremos estrategias resorte o de gatillo:
Ø Cooperar hasta que se produzca una desviación
Ø Tras una desviación, jugar no cooperativamente (el
EN del juego de etapa) para siempre.
Estrategias “de gatillo”
§  Estrategia de gatillo (o resorte) para el Jugador
i: juega Ri en la primera etapa, y en la t, si en
TODAS las anteriores, de 1 a t-1 se jugó (R1, R2);
si en alguna etapa anterior no se jugó (R1, R2)
entonces juega Li.
§  Veamos que estas estrategias generan un
ENPS.
§  Dos pasos:
Ø 1: Comprobar que constituyen un EN del juego
repetido.
Ø 2: Comprobar que constituyen un EN de cada
subjuego.
Pagos descontados
1
1 + δ + δ + δ + ...... =
1− δ
2
3
Define
z
=
xz
=
z − xz
=
1+
x + x 2 + x 3 + x 4 + ...
x + x 2 + x 3 + x 4 + ...
1
1
z =
1− x
Paso 1
t= 1: (R1, R2)
• Supongamos que 1 juega la estrategia de gatillo.
t= 2: (R1, R2)
• Gana algo el 2 si se desvía en t?
t-1: (R1, R2)
t: (R1, L2)
t+1: (L1, L2)
t+2: (L1, L2)
• Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos 4, 4,
4, ... (de t a +∞). Descontando esos pagos
4 + 4δ + 4δ 2 + 4δ 3 + ...... =
4
1− δ
• Si se desvía: 1 jugará L1 de t+1 en adelante. El 2
responderá con L2. La secuencia de pagos será 5, 1,
1, 1 .... Descontando esos pagos
δ
5 + 1δ + 1δ 2 + 1δ 3 + ...... = 5 +
1− δ
Paso 1 (cont.)
4
δ
1
≥5+
⇔ δ≥
1− δ
1− δ
4
Etapa 1: (R1, R2)
Etapa 2: (R1, R2)
t-1: (R1, R2)
t: (R1, L2)
t+1: (L1, L2)
t+2: (L1, L2)
1
4
• Si δ ≥ , el jugador 2 no mejora con la
desviación.
• Por lo tanto la estrategia de gatillo del 2 es
mejor respuesta a la estrategia de gatillo del 1
1
4
si δ ≥ .
• Simétricamente para el 1
• Hay un EN en el que ambos juegan las
1
4
estrategias de gatillo si δ ≥ .
Paso 2
§  Comprobar que las estrategias inducen un EN en cada
subjuego del juego.
§  Hay dos familias de subjuegos:
Ø  Los que comienzan tras una secuencia de (R1, R2).
Ø  Los que comienzan tras una historia en la que en alguna
etapa no se jugó (R1, R2).
§  Para la primera familia, las estrategias inducen un EN
(Recordemos que cada subjuego del juego es idéntico al juego
completo).
§  La segunda familia induce un EN en el que (L1, L2) se juega
para siempre (como es EN del juego estático, su repetición
constituye un EN en esta familia de subjuegos).
Juego infinito como juego con
duración incierta
§  Si solo hay un EN en el juego estático sabemos que
la cooperación no es posible si el número de
períodos es fijo y conocido.
§  Terminación incierta
Ø El juego continúa el período siguiente con probabilidad p:
§  Equivalente a un juego infinito:
Ø Recordemos que si la tasa de descuento es δ, 1 euro
mañana vale δ euros hoy.
Ø Si a esto añadimos la probabilidad p de que haya un
mañana, 1 euro mañana vale δp euros hoy.
Ø El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos
futuros: ∑ (δp) t-1 πt. Si πt es constante, entonces:
π+ δp π + (δp)2π + (δp)3π ….= π/(1- δp).
Aplicación: la colusión
§  Las empresas interactúan un numero infinito de
veces (o con un final sin precisar):
Ø Pueden aprender a coordinar sus estrategias
Ø Pueden amenazar con periodos de castigo
(beneficios bajos) en caso de desvío.
§  Implicaciones:
Ø Si las empresas son suficientemente pacientes, se
sostienen precios cercanos a los de monopolio en
cada período.
Ø Cuanto mayor es el número de empresas, mas difícil
es la colusión.
Duopolio de Cournot repetido un
número infinito de veces
§  Juego de etapa, Jugador 1:
Max
(a-q1-q2-c) q1
q1>0
§  En Cournot (costes simétricos):
qi = (a-c)/3
Π i = (a-c)2/9 Cantidad cooperativa
§  En un monopolio:
Max
(a-Q-c)Q
Q>0
c.p.o.:
QM= (a-c)/2
P= (a+c)/2
§  En el duopolio colusivo:
qi = (a-c)/4 , cada una produce la mitad de QM
Π i = (a-c)2/8 §  Estrategia de gatillo:
Ø Cada jugador produce inicialmente la mitad
de la cantidad de monopolio.
Ø Tras un desvío produce la cantidad de
Cournot para siempre.
Ø Si no hay desvíos continúa con la mitad de la
cantidad de monopolio.
§  Veamos si esta estrategia permite
sostener la cantidad de monopolio en
ENPS
¿Es un EN?
Supongamos que 1 juega la estrategia de gatillo.
Gana algo el 2 si se desvía en t?
• Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos
( a − c) 2
8
. Descontando esos pagos
(a − c)2
8(1− δ )
• Si se desvía: Lo hará jugando la mejor respuesta a QM/2 que es
• Sus beneficios descontados son
(a − c) 2
(a − c) 2 2 (a − c) 2 3
δ (a − c) 2
D
Π +
δ+
δ +
δ + ...... = Π +
9
9
9
9(1 − δ )
D
=
3( a − c)
8
(a − c) 3(a − c) $ 3(a − c) 9(a − c)
'
Π D = %a − c −
−
=
4
8 "# 8
64
&
2
• Sus beneficios descontados si se desvía son
9(a − c) 2 δ (a − c) 2
+
64
9(1 − δ )
• Por lo tanto para que no se desvíe, será necesario δ≥9/17, según se desprende de:
( a − c ) 2 9( a − c ) 2 δ ( a − c ) 2
>
+
8(1 − δ )
64
9(1 − δ )
1
9
δ
>
+
8(1 − δ ) 64 9(1 − δ )
Cantidad de monopolio en un
ENPS
§  Las estrategias que hemos propuesto constituyen un EN
del juego completo si el factor de descuento es
suficientemente grande.
§  Además inducen un EN en cada subjuego del juego:
Ø Los que comienzan tras una secuencia de (qM1, qM2).
Ø Los que comienzan tras una historia en la que en
alguna etapa no se jugó (qM1, qM2).
•  Para la primera familia, las estrategias inducen un EN.
•  La segunda familia induce un EN en el que se juegan las
cantidades de Cournot para siempre (como es EN del juego
estático, es EN).
Resumen
§  La cooperación es factible si el horizonte
temporal es incierto o infinito.
§  Se evitan los desvíos usando castigos
creíbles: jugar el EN del juego estático.