Juegos repetidos un número finito de veces

Juegos Repetidos
Tema 1: Juegos repetidos un número finito de
veces
Universidad Carlos III de Madrid
1
Juegos repetidos un número finito
de veces
§  Un juego repetido un número finito de veces es
un juego dinámico en el que un juego
simultáneo (juego de etapa) se juega un número
finito de veces y los resultados de cada etapa
son observados antes de la siguiente.
§  Ejemplo: Jugar el dilema del prisionero varias
veces. El juego de etapa es el juego simultáneo
del dilema del prisionero.
2
Resultados
§  El juego repetido tiene un único ENPS si el
juego de etapa (el juego simultáneo) tiene un
único EN.
–  En el ENPS se juegan las estrategias de EN en cada
etapa.
§  Si el juego de etapa tiene 2 o más EN, pueden
existir ENPS en los que en alguna etapa NO se
juegan estrategias que sean EN sino que se
juega algo que es mejor para los dos jugadores.
3
Un juego repetido dos veces
§  Pensemos en un juego repetido dos veces
Ø Dos jugadores juegan el mismo juego simultáneo dos
veces, en t=1 y en t=2
Ø El resultado de la primera vez que se juega (de t=1) es
observado antes de jugarlo una segunda vez
Ø El pago del juego repetido es la suma de los pagos en
cada jugada (t=1, t=2)
Ø  ¿Cual es el ENPS?
Jugador 2
Jug. 1
L1
R1
L2
1 , 1
0 , 5
R2
5 , 0
4 , 4
4
Forma extensiva
1
R1
L1
2
2
L2
1
1
L1
L2
1+1
1+1
L1
R1
2
2
R2 L2
1+5
1+0
L2
R2
1+0
1+5
2
R2 L2
1+4
1+4
5+1
0+1
2
5+5 5+0
0+0 0+5
1
1
L1
R1
R2 L2
R2
2
R2 L2
5+4
0+4
0+1
5+1
L1
R1
2
R2 L2
0+5 0+0
5+0 5+5
2
R1
2
R2 L2
R2 L2
R2
0+4 4+1
5+4 4+1
4+5 4+0
4+0 4+5
4+4
4+4
5
Conjuntos de Información y Estrategias
Cada Jugador: 5 CI
Ej de estrategia: L1 R1 R1 L1 L1
1.1
L1
R1
R2
L2
2.1
L2
1.2
1.3
L1
L1
R1
L2
1+1
1+1
R2 L2
1+5
1+0
1+0
1+5
1+4
1+4
L1
R1
2. 3
R2 L2
5+1
0+1
R2 L2
5+5 5+0
0+0 0+5
1.5
1.4
R1
2. 2
R2
R1
2.4
R2 L2
5+4
0+4
L1
0+1
5+1
R2 L2
0+5 0+0
5+0 5+5
2.5
R2 L2
R2 L2
0+4 4+1
5+4 4+1
4+5 4+0
4+0 4+5
4+4
4+4
6
Subjuegos: 4 + Juego Completo
1
R1
L1
2
2
L2
L2
R2
1
1
L1
R1
2
2
R2 L2
6
1
1
6
Subjuego1
2
R2
L2
5
5
6
1
L1
R2 L2
5
5
9
9
Subjuego 2
1
6
L1
R1
2
2
R2 L2
10
0
1
1
R1
2
2
L2
L1
R2
R2 L2
5
5
0
10
Subjuego 3
R1
2
2
R2 L2
4
9
5
5
R2 L2
9
4
4
9
Subjuego 4
8
8
7
Otra forma de representarlo
1
R1
L1
2
2
L2
1
(1, 1)
L1
2
L2
R2 L2
1
(5, 0)
L1
R1
2
L2
R2
1
2
2
R2 L2
R2 L2
R1
2
2
R2 L2
R2 L2
1
(4, 4)
L1
(0, 5)
L1
R1
R2
R1
2
2
R2 L2
R2 L2
R2
1
1
5
0
0
5
4
4
1
1
5
0
Los pagos totales serán (1, 1)
+ pagos en ese subjuego
0
5
4
4
1
1
5
0
0
5
4
4
1
1
5
0
0
5
4
4
8
Calculamos el EN del Subjuego 1
El resultado es independiente de que se tomen los pagos
sólo de esa etapa o los pagos totales
Pagos t=2
Jug. 1
Jugador 2
L1
R1
L2
1 , 1
0 , 5
Pagos t=1 +
t=2
Jug. 1
R2
5 , 0
4 , 4
Jugador 2
L1
R1
L2
2 , 2
1 , 6
R2
6 , 1
5 , 5
9
EN de subjuegos
§  En cada uno de los cuatro subjuegos hay
un único EN que es
EN = {L1,
L 2}
§  Sustituimos, por inducción hay atrás, el
subjuego por sus pagos en el EN y
resolvemos el juego completo
10
Sustituimos el subjuego por su
pago en EN
1
R1
L1
2
2
L2
1
(2, 2)
L1
2
L2
1
1
R2 L2
5
0
0
5
1
(6, 1)
L1
R1
2
L2
R2
2
4
4
1
1
R2 L2
5
0
0
5
R2 L2
4
4
1
1
L1
R1
2
2
R2 L2
5
0
0
5
1
(5, 5)
(1, 6)
L1
R1
2
R2 L2
1
R2
R1
2
2
R2 L2
4
4
1
1
R2 L2
5
0
0
5
R2
4
4
11
Calculamos EN del juego completo
con “pagos sustituidos”
L1
L2
2 , 2
R2
6 , 1
R1
1 ,
5 ,
6
5
El pago de EN (1, 1) de la segunda etapa ha
sido añadido a los pagos en t=1
12
ENPS
§  ENPS:
(L1 L1L1L1L1, L2 L2L2L2L2)
§  El jugador 1 juega L1 en t= 1, y juega L1
en t=2 para todo resultado posible en t=1.
§  El jugador 2 juega L2 en t= 1, y L2 en t=2
para cualquier resultado de la primera
etapa
13
Juego repetido de un Juego de etapa con
dos EN
§  Juguemos dos veces el juego de etapa que abajo se
describe en Forma Normal.
§  Notemos que tiene 2 EN y que (M1, M2) no es EN, pero
tiene pagos que Pareto dominan los de los ENs.
§  ¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?
L2
M2
R2
L1
1 ,
1
5 ,
0
0 ,
0
M1
0 ,
5
4 ,
4
0 ,
0
R1
0 ,
0
0 ,
0
3 ,
3
14
Forma Extensiva (informal)
1
L1
2
L2
1
(1, 1)
2
M2
(5, 0)
(1, 1)
R2
(0, 0)
L2
(0, 5)
M2
(5, 0)
R2
(0, 0)
2
M2
(4, 4)
1
R2
R1
2
L2
(0, 5)
M2
(4, 4)
L2
(0, 0) (0, 0)
M1
L1
2
L2
R1
M1
R2
L2
(0, 0) (0, 0)
M2
(0, 0)
R2
1
(3, 3)
2
M2
(0, 0)
R2
(3, 3)
15
¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1
en un ENPS?
§  Sí, si usamos estrategias con “premios” y
“castigos” creíbles.
–  Esto es, si premiamos y castigamos jugando
estrategias que sean EN
§  Premio: Jugar (R1, R2)
–  Pagos: (3, 3)
§  Castigo: Jugar (L1, L2)
–  Pagos de 1
16
Estrategias de ENPS
§  Estrategias de ENPS
Ø  t=1, jugador 1 juega M1, y el 2 juega M2.
Ø  t=2,
Ø 1 juega R1 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega
L1 si se jugó algo distinto.
Ø 2 juega R2 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega
L2 si se jugó algo distinto.
§  ¿Por qué constituyen un ENPS?
–  En cada subjuego de t=2, o se juega ( R1, R2 ), o se
juega ( L1, L2 ), por lo tanto en cada subjuego las
estrategias generan un EN
–  ¿Son EN del juego completo?
17
Forma extensiva
1
L1
2
L2
1
(1, 1)
+ (1, 1)
2
M2
(5, 0)
(1, 1)
(1, 1)
R2
(0, 0)
(1, 1)
L2
(0, 5)
(1, 1)
M2
(5, 0)
R2
(0, 0)
2
M2
(4, 4)
(3, 3)
1
L1
2
L2
R1
M1
R2
(0, 0)
(1, 1)
M1
(0, 5)
M2
(4, 4)
(0, 0)
(1, 1)
R1
2
L2
L2
R2
L2
(0, 0) (0, 0)
M2
(0, 0)
(1, 1)
R2
1
(3, 3)
(1, 1)
2
M2
(0, 0)
R2
(3, 3)
18
EN del juego completo
-Por
inducción hacia atrás, sustituimos los subjuegos por
sus pagos en EN
-El juego en forma Normal que resulta tiene (M1, M2)
como jugada de EN
Jugador 2
L2
M2
R2
L1
2 ,
2
6 ,
1
1 ,
1
Jugador 1 M1
1 ,
6
7 ,
7
1 ,
1
R1
1 ,
1
1 ,
1
4 ,
4
Intuición
§  Miremos el juego de etapa:
Si 1 juega M1 al Jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 5 en
lugar de 4). Para que no se desvíe: 4 + premio > 5 + castigo,
esto es 4+3 > 5+1
Lo mismo aplica al Jugador 2.
Además, para que sea ENPS los premios y castigos deben ser
jugadas que sean EN
L2
M2
R2
L1
1 ,
1
5 ,
0
0 ,
0
M1
0 ,
5
4 ,
4
0 ,
0
R1
0 ,
0
0 ,
0
3 ,
3
20
§  Si los pagos en el desvío fueran mayores
(desviarse es más atractivo) no podríamos
sostener (M1, M2) en t=1 en un ENPS
Si 1 juega M1 al jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 7 en
lugar de 4). Para que no se desvíe, debe ser: 4 + premio >7 +
castigo, pero eso NO se cumple (7<8). El 2 se desvía, y no es
ENPS.
L2
M2
R2
L1
1 ,
1
5 ,
0
0 ,
0
M1
0 ,
7
4 ,
4
0 ,
0
R1
0 ,
0
0 ,
0
3 ,
3
21