Desarrollos deducidos de otros

Desarrollos deducidos de otros
Sean f, g ∈ F(I, R) dos funciones definidas en un entorno del origen, tales que admiten desarrollos limitados de Taylor, de orden n en el origen. Sean p y q sus polinomios.
Entonces (J. Burgos, pag. 241):
1. La función αf + βg, α, β ∈ R admite desarrollo limitado de orden n en el origen,
siendo su polinomio αp + βq .
2. La función f · g admite desarrollo limitado de orden n en el origen. Su polinomio
se obtiene multiplicando p · q y eliminando los términos de grado superior a n.
3. Si g(0) 6= 0, la función f /g
admite desarrollo limitado de orden n en el origen.
Su polinomio se obtiene dividiendo p/q
grado n inclusive.
según las potencias crecientes hasta el
4. Si f (0) = 0, la función compuesta g ◦ f admite desarrollo limitado de orden n
en el origen. Su polinomio se obtiene eliminando los términos de grado superior a
n en q ◦ p (q ◦ p se calcula sustituyendo la variable de q por p).
5. Si F es primitiva de f , entonces F admite desarrollo limitado de orden n + 1 en
el origen, siendo su polinomio P la primitiva de p. La constante de integración se
determina por medio de la condición P (0) = F (0).
Ejemplos. Sean f (x) = sen x y g(x) = cos x, cuyos polinomios son
3
5
2
4
p5 (x) = x − x + x , q4 (x) = 1 − x + x .
3!
5!
2!
4!
1. Polinomio de Taylor de grado 5 de h(x) = sen 2x = 2 sen x cos x.
3
5
2
4
x
x
x
x
4 x5 − 1 x7 +
2p(x) · q(x) = 2 x −
+
1−
+
= 2x − 43 x3 + 15
45
3!
5!
2!
4!
4 3
4 5
1 9
1440 x =⇒ r5 (x) = 2x − 3 x + 15 x .
2. Polinomio de Taylor de grado 5 de h(x) = tan x = sen x/ cos x.
x3 x5
3
+
p(x)
3!
5! = x + x3 + 2 x5 + 19 x7 + . . . =⇒ r5 (x) = x + x + 2 x5 .
=
3 15
360
q(x)
x2 x4
3
15
1−
+
2!
4!
x−
3. Polinomio de Taylor de grado 5 de h(x) = sen y|y=2x . Sustituyendo la variable de
p por 2x, obtenemos el mismo resultado del caso 1 (el polinomio de la función
y = 2x coincide con la función).
r5 (x) = 2x −
4
4
(2x)3 (2x)5
+
= 2x − x3 + x5 .
3!
5!
3
15
4. Polinomio de Taylor de grado 5 de f (x) = sen x.
Z
Z x2 x4
x3 x5
sen x = cos x dx =⇒ p(x) =
+
dx = x −
+
+ k.
1−
2!
4!
3!
5!
x3 x5
Como p(0) = sen(0) =⇒ k = 0. Entonces p5 (x) = x −
+
.
3!
5!