2. atomos y radiaciones

2. ATOMOS Y RADIACIONES
2.1 Primeras ideas acerca del átomo y sus componentes
El concepto de átomo fue introducido en la química por Dalton en 1802 como hipótesis
para explicar la formación de compuestos a partir de substancias más sencillas. Se supuso
que los átomos de un elemento dado eran idénticos en todas sus propiedades incluido el
peso. Esto terminó dando lugar a la exitosa clasificación de los distintos tipos de átomos
llevada adelante por Mendeleev. Por otra parte, a partir de los experimentos de electrólisis
llevados a cabo por Faraday (1833) se había llegado a la conclusión de que existía una
unidad elemental de carga (“átomo de electricidad”) que recibió el nombre de “electrón”.
Con el tiempo se puso en evidencia que calentado un metal es posible emitir electrones. En
particular, hacia 1890 J.J. Thompson se dedicó a investigar en detalle las propiedades de los
electrones emitidos por un filamento calentado por medio de una corriente eléctrica. En
particular pudo determinar el valor experimental de la relación
e / m = −1.76 × 10 −11 C / kg
(2.1)
y un valor aproximado para su carga. Esta fue posteriormente determinada con mayor
precisión por Millikan (1912) obteniéndose el valor
e = −(1.602 ± 0.005) × 10 −19 C
(2.2)
m = 9.1085 × 10 −31 kg = 511 keV / c 2
(2.3)
de donde resulta
Para Thompson resultaba claro que los electrones emitidos debían estar contenidos en los
átomos. Sin embargo, la carga negativa de estos resultaba tener asociada una masa muy
pequeña comparada con la del átomo. Como normalmente se observaba que estos eran
neutros resultaba evidente que los átomos debían contener una carga positiva de igual
magnitud que la negativa. Thompson sugirió entonces que la carga positiva del átomo
estaba intimamente relacionada con la mayor parte de la masa atómica y que esta ocupaba
casi todo el espacio dentro del átomo. Es decir, que los electrones se comportaban como
pasas de uva dentro de un pan dulce. Una representación esquemática del modelo de átomo
de Thompson se indica en la Fig.2.1
Figura 2.1: Modelo de
átomo de Thompson
1
En este modelo los electrones podían vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio y por
lo tanto emitir radiaciones electromagnéticas o eventualmente ser emitidos ellos mismos
por medio de una colisión suficientemente violenta o agitación térmica.
En el desarrollo de los modelos que fueron surgiendo con posterioridad al modelo
de Thompson jugaron un rol esencial el descubrimiento ocurrido durante los últimos años
del s.XIX de distintos tipos de radiaciones: los rayos X, α, β y γ. En lo que sigue
describiremos brevemente los respectivos descubrimentos y las principales propiedades de
los mismos.
2.2 Los rayos X y su descubrimiento
En verdad en la última década del s.XIX eran numerosos los investigadores que estudiaban
las descargas eléctricas en gases a baja presión. Uno de ellos, William Roentgen observó un
cierto día de noviembre de 1895 que al hacer funcionar un tubo de rayos catódicos
recubierto de papel oscuro se producía una fluorescencia en una pantalla de cianuro de
bario y platino situada a una cierta distancia de tubo. La fuente de los rayos que producían
esta fluorescencia fue localizada en las paredes del tubo. En posteriores experiencias se
encontró que la interposición de varios espesores de diferentes substancias disminuían la
intensidad de la fluorescencia pero no la eliminaban completamente. Esto demostró que los
rayos X (así fueron denominados) tenían gran poder de penetración por lo que no podían se
electrones. También se encontró que podían ennegrecer una placa fotográfica e ionizar un
gas, que se propagaban en línea recta y que no eran desviados por campos eléctricos y/o
magnéticos. Roentgen intentó sin éxito reflejarlos y refractarlos. Sin embargo mas tarde fue
posible obtener con ellos figuras de difracción. Esto, junto con otros experimentos de
polarización de rayos X, permitió establecer que estaban constituidos por ondas
transversales análogas a la de la luz.
2.2.1 Producción y detección de rayos X.
En los experimentos de Roentgen los rayos X se producían al chocar los electrones
con las paredes del tubo. Con el tiempo se fueron realizando modificaciones para mejorar la
eficiencia de los tubos. Actualmente estos tienen el aspecto que se indica en la Fig.2.2
Figura 2.2: Esquema de una lámpara de rayos X.
2
La diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo suele ser de unos 30 a 50 KV lo que se
logra con un transformador elevador y un sistema de rectificado.
Para medir la intensidad de los rayos X han sido utilizados los distintos efectos que
ellos producen, como p.ej. el ennegrecimiento de una placa fotográfica, la ionización
producida en un gas o vapor, etc. Justamente en este efecto se basa la cámara de ionización
indicada en la Fig.2.3.
Figura 2.3: Esquema de un detector de rayos X.
Como ya fue mencionado, mas o menos rápidamente empezó a surgir evidencia de
que los rayos X eran una forma de radiación electromagnética con longitud de onda λ ~
10-10 m. En 1912 von Laue sugirió que debería ser posible obtener figuras de difracción al
hacer pasar un has de rayos X a travez de una red cristalina cuya separación entre átomos
fuera del orden de λ. Efectivamente este efecto fue observado. Un ejemplo típico de lo
obtenido se puede ver en la Fig.2.4.
Figura 2.4: Imagen típica
obtenida por difracción
de rayos X
Este tipo de figura de difracción fue interpretado en forma sencilla por Bragg quien supuso
que las manchas de difracción eran producidas por rayos X dispersados desde distintas
series de planos paralelos interiores al cristal. El análisis realizado por Bragg es el
siguiente. Consideremos el esquema de la Fig.2.5. En ella vemos los rayos I y II que
3
forman parte de haz incidente de rayos X y que son reflejados con angulo θ respecto de los
planos del cristal.
Figura 2.5: “Reflexión” de rayos X en los planos atómicos.
Para que ambos rayos estén en fase debe cumplirse que
BC + CD = nλ
(2.4)
n λ = 2d sin θ
(2.5)
de donde
Esta ecuación se conoce como ec. de Bragg. El caso n = 1 corresponde al espectro de
primer orden. Por lo tanto si se toma un monocristal cuyo d ha sido determinado por otros
métodos y se mide el ángulo θ para el cual se produce el máximo de la figura de difracción
es posible determinar la longitud de onda del rayo X incidente. Para determinar d en forma
independiente se puede utilizar la densidad ρ y el peso molecular M a través de la
expresión
d =3
M
f ρ NA
(2.6)
donde N A es el número de Avogadro y el f número de moléculas por átomos. Basándose
en las ideas de Bragg fue posible diseñar
un espectrómetro de rayos X. Este
aparato, cuyo esquema se representa en
la Fig.2.6, permitió estudiar el espectro
de rayos X emitidos por distintos tipos de
anticátodos.
Figura 2.6: Esquema de un
espectrómetro de rayos X
de monocristal
4
Como se puede ver en la Fig.2.6 un espectrómetro esta formado por la fuente de rayos X
que se desea analizar, un sistemas de endijas S1 y S2 que permite colimar el haz, un cristal
C donde se produce la difracción y un detector P que permite determinar la intensidad de
rayos X para cada ángulo θ .
2.2.2 Espectros típicos de rayos X
Como se mencionó en la sección anterior conociendo el d de un cristal es posible analizar
las longitudes de onda contenidas en un haz de rayos X. La Fig.2.7 muestra un espectro
típico obtenido para el Mo con una tensión de trabajo de 35 KV.
Figura 2.7: Espectro de
rayos X correspondiente al
Mo con una tensión de
trabajo de 35 Kv
Como se observa el espectro resulta estar compuesto de
a) Un espectro continuo.
b) Un espectro de picos nítidos superpuesto al continuo.
Rápidamente resultó evidente que estas dos componentes esencialmente distintas del
espectro producido por un mismo anticátodo debían tener orígenes diferentes.
El espectro contínuo resulta de la radiación emitida por los electrones al
desacelerarse mediante “choques” en el campo eléctrico de Coulomb del blanco. Este
efecto se puede explicar mediante el uso de la teoría clásica del electromagnetismo y recibe
el nombre de “bremsstrahlung” (radiación de frenado). Una característica que llamo la
atención, sin embargo, fue la existencia de una longitud de onda λmin en el espectro. Duane
y Hunt realizaron una serie de experimentos para determinar λmin en función del voltaje V
aplicado al tubo. Encontraron que dicha longitud de onda mínima resultaba inversamente
proporcional a V. Es decir que la frecuencia máxima ν max esta dada por,
ν max =
c
λmin
5
=
e
V
h
(2.7)
Medidas cuidadosas demostraron que h coincidía con la constante de Planck que ya había
sido determinada en forma independiente a partir de la radiación de cuerpo negro. Por lo
tanto hν max = e V , lo que implica que la frecuencia máxima esta asociada con la energía
cinética máxima que el electrón puede adquirir en el campo eléctrico generado por la
diferencia de potencial V. Esto corresponde, evidentemente, al caso en que el electrón
pierde toda su energía en un solo choque.
El espectro discreto resultó mas difícil de interpretar en su momento. Moseley
(1913) realizó una investigación sistemática de los mismos. Por ejemplo, para la plata en
contro dos series de picos: una de longitud de onda corta conocido como serie K (“Kurse”)
y otro de longitud de onda relativamente larga conocida como L (“Lange”). Estas series se
indican en la Fig.2.8
Figura 2.8: Posiciones relativas de las rayas espectrales de las series K y L de los rayos X de la plata
Otros investigadores encontraron luego otras dos series de rayos con longitudes de onda
todavía mayores para elementos con número atómico Z > 66 que fueron clasificadas como
series M y N.
Moseley encontró que el carácter de una serie dada era practicamente el mismo para
todos los elementos estudiados y que la frecuencia de una raya particular de una serie
variaba de una manera muy regular de un elemento a otro a lo largo de la tabla periódica.
Graficando ν de la raya Kα (la mas intensa de la serie K) en función del número atómico
del elemento que emite dicha raya Moseley obtuvo las rectas que se indican en la Fig.2.9
Figure 2.9: Diagrama de
Moseley donde se grafica la
raiz
cuadrada
de
la
frecuencia en un función del
numero atómico para una
raya de la serie K
6
La recta obtenida puede ser ajustada mediante la ecuación
ν = C (Z − a)2
(2.8)
donde C y a son constantes. Para la linea Kα Moseley encontró
C=
3
Rc
4
a ≈1
(2.9)
Aquí, c es la velocidad de la luz, R c = 3.289 ×1015 s −1 donde R es la constante de Ryberg
que era ya conocida del estudio de los espectros ópticos. La constante a recibe el nombre
de “constante de apantallamiento”. Analizando lo que ocurre con la linea K β se encuentra
una expresión similar pero con la constante 3/4 reemplazada por 8/9. La gente notó
rapidamente que ambos casos pueden engoblarse en la expresión
ν K = R c ( Z − 1) 2 (
1
1
− 2 )
2
1
n
(2.10)
con n = 1,2 . Esta expresión resulta tener una fuerte semejanza con la fórmula empírica de
Balmer (1885) para el espectro óptico del hidrógeno (ver Fig.2.10)
νH =R c (
1
1
− 2 )
2
2
n
Figura 2.10: Posiciones relativas de las rayas espectrales
de la serie de Balmer del espectro visible del hidrógeno.
7
.... (2.11)
2.3 Los rayos α, β y γ : su descubrimiento y propiedades.
Un año después del descubrimiento de los rayos X, H. Becquerel estaba investigando la
posible relación entre la fosforescencia que presentaban algunas sales después de ser
irradiadas con luz ordinaria y la fluorescencia del vidrio en un tubo de rayos X cuando
descubrió en forma casual que ciertas sales de uranio eran capaz de emitir radiaciones
capaces de ennegrecer una placa fotográfica a pesar de estar envueltas en papel oscuro.
Posteriores investigaciones mostraron que esta radiación estaba asociada al uranio.
Rápidamente se descubrió que el torio también poseía esta propiedad. Dos años mas tarde,
en 1898, se observó que ciertos minerales que contenían uranio y torio emitían una
radiación aún mayor que el uranio y torio separadamente. Esto llevó a Marie y Pierre Curie
a aislar dos nuevos elementos: el polonio y el radio, que resultaron ser mas de un millón de
veces mas radiactivos que el uranio. Muy poco después, Rutherford investigó el poder de
penetración de las radiaciones de uranio, comprobando la existencia de dos tipos de
radiación: una muy blanda, fácilmente absorbida por la materia, que Rutherford denominó
rayos α y otra más penetrante que llamó rayos β. Sabemos ahora que la radiación que
impresionaba la placa fotográfica en la experiencia de Becquerel era de este último tipo. Un
par de años mas tarde, P. Villard descubrió la existencia de un tercer tipo de radiación,
mucho más penetrante que la β y que se denominó radiación γ.
La existencia de tres tipos de radiación queda claramente evidenciada por la
siguiente experiencia. Se coloca una pequeña cantidad de alguna sal radiactiva en el fondo
de una larga y estrecha hendidura practicada en un bloque de plomo como se indica en la
Fig.2.11.
Figura 2.11: Dispositivo para
estudiar el comportamiento de
los radiaciones α β y γ en
presencia
de
un
campo
magnético entrante al plano de
la figura.
Del material radiactivo R saldrá un haz casi paralelo a través de la rendija S, y los
rayos que inicialmente tengan otra dirección serán absorbidos por el plomo. El bloque de
plomo está situado en una cámara oscura, donde se coloca una placa fotográfica a corta
distancia de él. Para evitar la absorción de los rayos, se hace vacío en la cámara y a
continuación se aplica un fuerte campo magnético B normal al plano de la figura. Como es
sabido la trayectoria de una partícula de carga q , masa m y velocidad v en dicho campo es
un circulo de radio r dado por
r=
v
B (q / m)
8
(2.12)
Por lo tanto si el campo está dirigido hacia dentro del plano de la figura, las partículas
cargadas positivamente serán desviados hacia la izquierda de la figura mientras que las de
carga negativa hacia la derecha. Finalmente, las partículas sin carga eléctrica no sufrirán
desviación alguna. Efectivamente lo que se observa es la existencia de tres líneas separadas
en la placa fotográfica P. Conociendo la distancia entre el punto S de la Fig.2.11 y la placa
P y la separación entre las líneas es posible determinar la relación entre v y q / m . Para
determinar estas magnitudes en forma independiente Rutherford y colaboradores
propusieron utilizar el aparato que se indica en la Fig.2.12.
Figura 2.12: Diagrama del aparato utilizado por Rutherford y Robinson para la
determinación de q/m en las partículas α
Los rayos procedentes de los materiales radiactivos contenidos en el tubo de vidrio S de
paredes delgadas, pasan primero entre dos placas de vidrio plateadas A y B, luego pasan
por una rendija estrecha S1 e inciden después sobre la placa fotográfica P. Cuando no se
aplica diferencia de potencial, por la rendija S1 pasa un haz estrecho de partículas que sin
desviarse inciden sobre la placa P. En cambio, si se mantiene una diferencia de potencial V
entre las placas A y B, las partículas cargadas atraviesan el campo eléctrico siguiendo
trayectorias parabólicas. De esta manera, únicamente pasan por la rendija S1 aquellas
partículas que entran al campo eléctrico siguiendo una dirección que forme un ángulo
pequeño con el plano de las placas. Después de emerger de la rendija, siguen en línea recta,
tangentes a dicha parábola hasta incidir sobre la placa P. La desviación de una partícula
cargada respecto a su trayectoria original resulta proporcional a q / mv 2 . Por lo tanto,
midiendo sobre la placa fotográfica el desplazamiento de la traza respecto de la de la
partícula no desviada se puede determinar dicho cociente. Con esta información mas la
obtenida mediante el experimento con el campo magnético es posible determinar las
cantidades q / m y v en forma separada. Utilizando este tipo de métodos ya Becquerel
había podido determinar que el valor de q / m para los rayos β de baja velocidad tenían un
valor semejante al que se conocía para los electrones. Determinaciones más precisas
confirmaron luego esta identificación entre rayos β y electrones. Para el caso de las
partículas α, Rutherford y Geiger pudieron además determinar el valor de carga utilizando
un detector similar al de la Fig.2.3. De esta manera encontraron que la carga de la misma
era (en módulo) igual a dos veces la carga del electrón y que la masa era cuatro veces la
masa del hidrógeno. Esto los llevó a identificar a la partículas α con átomos doblemente
ionizados de helio. Esto fue posteriormente confirmado por Rutherford y Royds (1909)
9
utilizando métodos espectroscópicos. Las velocidades típicas, así como las energías
cinéticas asociadas, de las partículas α de algunos elementos determinadas por los métodos
antes descriptos se indican en la Tabla 2.1.
Elemento
Z
A
Polonio (Po)
Radio (Ra)
84
88
218
226
Uranio (U)
92
238
v
[ × 10 7 m/s]
1.699
1.517
1.488
1.423
Energía
[MeV]
5.998
4.76
4.59
4.18
Tabla 2.1
En cuanto a los rayos γ no pasó mucho tiempo hasta que se los identificara como radiación
electromagnética. En verdad ya en 1914 Rutherford y Andrade fueron capaces de
determinar las longitudes de onda correspondientes utilizando un espectrómetro de Bragg
similar al descripto en la Fig.8. Encontraron que éstas eran del orden de las décimas de A,
lo que corresponde a energías algo por debajo de MeV. Como consecuencia estos rayos son
mucho mas penetrantes que los rayos X.
2.4 Dispersión de partículas α y el átomo de Rutherford
La posibilidad de disponer de un haz de partículas relativamente pesadas y de carga
positiva, como lo eran las partículas α, llevó a Rutherford a tratar de investigar si el modelo
de átomo de Thompson era correcto. Su idea fue tratar de bombardear átomos con un haz
de partículas α y ver como éstas eran dispersadas. Le pidió entonces a su estudiante E.
Marsden que preparara una fuente intensa de rayos α y que midiera de que manera estos
rayos se dispersaban al pasar a través
de una delgada hoja de oro. Utilizando
un simple razonamiento cinemático
llegó a la conclusión de que de ser
correcto el modelo de Thomson (ver
Fig.2.13.a) las partículas α debían ser
dispersadas en menos de un grado
respecto de la trayectoria inicial. El
resultado
del
experimento
fue
totalmente inesperado: algunas de las
partículas α eran dispersadas hacia
atrás en dirección de la fuente (ver
Fig.2.13.b). Rutherford llegó a la
conclusión de que esto sólo era posible
si prácticamente toda la masa del
átomo estaba concentrada en un
volumen muy pequeño. Esto dio lugar
a que propusiera un nuevo modelo
Figura 2.13: Dispersión de partículas α por a) el
átomo de Thompson; b) el átomo de Rutherford.
10
atómico en el cual toda la carga positiva, así como prácticamente toda la masa del átomo,
está concentrada en el centro del mismo, estando esta rodeada por una nube de electrones.
Este modelo le permitió calcular la distribución angular de las partículas α dispersadas y de
esta manera contrastar sus resultados teóricos con los experimentales. Básicamente el
problema consiste en resolver el problema de dispersión elástica en un potencial de
Coulomb esquematizado en la Fig.2.14.
Figura 2.14: Orbita hiperbólica
de la partícula α en el
experimento de Rutherford
En dicha figura v es la velocidad inicial de la partícula α y b el correspondiente parámetro
de impacto. Esta última magnitud se define como la distancia mínima al punto 0 en el caso
en que potencial de interacción se anule. Dado un valor de v es posible encontrar una
relación entre el parámetro de impacto y el ángulo θ con que sale dispersada la partícula.
Utilizando la conservación de la energía y del momento angular, junto con la ecuación de
movimiento de una partícula en el campo de fuerzas de Coulomb dado por
e2
2Z r
F (r ) =
4π ε 0 r 2 r
(2.13)
se encuentra que dicha relación es
b=
2Z
θ
cot
2
4π ε 0 µ v
2
e2
(2.14)
Aquí, µ representa la masa reducida µ= m M/(m+M) donde m es la masa de la partícula α y
M la masa nuclear. El factor 2 en el numerador toma en cuenta la carga de la partícula α.
En las experiencias reales el número de partículas que se hace incidir sobre la delgada placa
metálica es muy grande. Por consiguiente, lo que se debe calcular es cuántas son
dispersadas un ángulo θ, o lo que es equivalente, cuál es la probabilidad de que una
partícula α sea dispersada un ángulo θ dada una cierta intensidad incidente I. Esta última
magnitud queda definida por el número de partículas incidentes por unidad de área y unidad
de tiempo. La cantidad usualmente utilizada para indicar dicha probabilidad recibe el
nombre de sección eficaz diferencial de dispersión (differential scattering cross section)
dσ/dΩ, donde Ω indica el ángulo sólido, y esta dada por
dσ (Ω) Particulas dispersada s en dΩ alrededor de Ω por unidad de tiempo
=
dΩ
I
(2.15)
11
Esta cantidad tiene unidades de superficie por estereoradian. Para los casos de interés se
suele utilizar el milibarn por estereoradian (mb/st), donde 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2.
Usualmente, tal como es el caso en la dispersión por fuerzas de Coulomb, la dispersión
ocurre de manera simétrica alrededor del haz incidente. En ese caso el diferencial de ángulo
sólido esta dado por
dΩ = 2π sin θ dθ
(2.16)
Como el número de partículas dispersadas entre θ y θ+dθ es igual al que incide con
parámetro de impacto entre b y b+db se obtiene
Particulas dispersada s en dΩ alrededor de Ω por unidad de tiempo = 2π I b db
(2.17)
de donde
dσ (θ )
b db
=
dΩ
sin θ dθ
(2.18)
Reemplazando por la relación entre b y θ, Eq.(2.14), obtenida anteriormente se obtiene la
llamada ley de dispersión de Rutherford
dσ (θ ) 1 e 2 2 Z 2
θ
= (
) cosec 4
2
4 4π ε 0 µ v
2
dΩ
(2.19)
Esta ecuación dice que si la teoría del átomo de Rutherford es correcta, el número relativo
de partículas que inciden sobre una pantalla para cada ángulo θ debe ser proporcional al
inverso de sin4 θ/2, al inverso del cuadrado de la energía inicial de la partícula E=1/2 µ v2 y
al cuadrado de la carga nuclear. Estas predicciones fueron ampliamente confirmadas por
una serie de experimentos realizados en el laboratorio de Rutherford, Geiger y Marsden.
Cabe destacar que la deducción de la fórmula de Rutherford aquí presentada, que sigue por
otra parte lo hecho originalmente por Rutherford, se basa exclusivamente en conceptos de
mecánica clásica. Sin embargo, cálculos hechos utilizando mecánica cuántica llegan al
mismo resultado.
En los cálculos anteriores se ha supuesto que el núcleo es infinitamente pequeño.
Sin embargo, si este tiene un tamaño finito la partícula α chocará con el núcleo si la
distancia de máxima aproximación es menor que el radio nuclear R. Si esto sucede, ésta es
dispersada por el campo de fuerzas nucleares pero ya no en la dirección esperada por las
expresiones anteriores. Como consecuencia la sección eficaz, en general, cae por debajo del
valor predicho por Rutherford. No es difícil demostrar que la distancia de máxima
aproximación esta dada por
d (θ ) =
2Z
θ
(1 + cosec )
2
4π ε 0 µ v
2
e2
(2.20)
Como vemos, d decrece a medida que la energía de la partícula incidente crece o que el
ángulo de dispersión aumenta. Utilizando las fuentes naturales de rayos α disponibles
12
resultó que para los átomos pesados originalmente utilizados por Rutherford la distancia d
era mayor que R aun para ángulos de dispersión cercanos a 1800. Por lo tanto para poder
observar desviaciones respecto de sus predicciones Rutherford estudió la dispersión sobre
átomos mas livianos, cuya menor carga nuclear permite que las partículas α se acerquen
mucho mas. De esta manera pudo finalmente encontrar los apartamientos buscados y
determinar el orden de magnitud del radio nuclear R que resultó ser unos 10 fm para la
plata. Volveremos sobre este punto en mucho mayor detalle más adelante. Hoy día es
posible mediante el uso de aceleradores, que se describirán más adelante, producir
partículas α de energía mucho mayor que las que resultan del decaimiento de sustancias
radioactivas. De esta manera es posible observar el apartamiento respecto de la dispersión
coulombiana aún para núcleos pesados. Esto resulta evidente en la Fig.2.15 donde aparece
la sección eficaz relativa en función de la energía incidente para un blanco de plomo y un
ángulo de dispersión de 600. Se puede observar que el apartamiento comienza a una
energía de 27.5 MeV lo que implica una distancia de máxima aproximación de unos 24 fm.
Figura 2.15:Variación de la sección
eficaz diferencial (en unidades
arbitrarias) a un ángulo de 600 en
función de la energía para la
dispersión de partículas α sobre un
blanco de Pb.
2.6 Dificultades con el átomo de Rutherford. Átomo de BohrSommerfeld
El modelo de Rutherford no tiene mucho que decir acerca de los electrones ya que no
juegan un rol importante en los experimentos de dispersión antes descriptos.
Evidentemente, al menos una parte de ellos debe esta fuera del núcleo ya que sabemos que
la carga del mismo no está neutralizada. Por otra parte sabemos que los electrones son
atraídos hacia el núcleo por la fuerza de Coulomb por lo que de no actuar sobre ellos alguna
otra fuerza deberían caer sobre él. Una posibilidad es que dicha fuerza se deba a la fuerza
centrífuga correspondiente al movimiento circular de los electrones indicado en la
13
Fig.2.16a. Igualando ambas fuerzas resulta que esto puede ocurrir si el radio de dichas
trayectorias es
e2
Z
(2.21)
4π ε 0 m v 2
donde m es la masa del electrón y v su velocidad. Esto parece explicar el problema de la
estabilidad de las órbitas electrónicas. Sin embargo, rápidamente la gente se dio cuenta del
siguiente inconveniente. Un electrón que se mueve en una órbita circular esta bajo el efecto
de una continua aceleración y por lo tanto, dado que era bien conocido el hecho de que una
carga emite radiación electromagnética al ser acelerada, debe perder energía por radiación.
Debido a esta perdida de energía el electrón debe tender a reducir su velocidad y
consecuentemente la fuerza
centrifuga. Como resultado
de esto comenzará a caer
sobre el núcleo siguiendo la
trayectoria
en
espiral
indicada en la Fig.2.16b.
Esto da lugar a la llamada
“paradoja de la radiación”
ya que el modelo predice
que el átomo debe radiar un
continuo de frecuencias
cada vez mas altas a Figura 2.16: a) Orbita estable del electrón si no se toma en cuenta la
medida de que el radio radiación electromagnética; b) inestabilidad debida a la radiación.
disminuye lo cual esta en
contradicción con los espectros visibles y de rayos X conocidos experimentalmente que
presentan picos discretos y que han sido discutidos en secciones anteriores. Esto llevó a
Bohr (1913) a proponer que, si bien la idea de un átomo formado por un núcleo masivo con
electrones moviéndose alrededor de él era esencialmente correcta, se debían cumplir dos
postulados adicionales. El primero es que de todas las órbitas electrónicas sólo están
permitidas aquellas para las cuales el momento cinético del electrón es un número entero de
= h / 2π , donde h es la constante de Planck ya introducida en este texto. Si el electrón
permanece en dichas órbitas éste no irradia energía. Para las órbitas circulares antes
mencionadas esto implica
r=
mvr = n (2.22)
El segundo postulado establece que cualquiera que sea la energía radiante emitida o
absorbida por el átomo, esta es absorbida o emitida en un número entero de cuantos, cada
uno de ellos de energía hν y que la energía del átomo siempre cambia en estas cantidades.
Es decir,
ε i − ε f = hν
14
(2.23)
donde ε i es la energía inicial del átomo y ε f su energía final. Los radios de las órbitas
permitidas pueden calcularse eliminando v de las Ecs.(2.21) y (2.22). Para el átomo de
hidrógeno (Z =1) eso conduce a
2
rn = 4π ε 0 n 2
(2.24)
me 2
Reemplazando los valores conocidos de las constantes que aparecen en la Ec.(2.24) se
obtiene r1 = 0.529 A , lo cual coincide con las estimaciones conocidas a partir de la teoría
cinética de los gases. En cuanto a las energías de los estados electrónicos permitidos resulta
sencillo obtenerlas a partir de la Ec.(2.24) y la expresión para la energía total de electrón.
Resulta
εn =

−

e2
4π ε 0



2
m
2 n2 2
(2.25)
Por lo que de acuerdo con el segundo postulado de Bohr, Ec.(2.23), la frecuencia irradiada
cuando un electrón pasa del estado ni al estado n f del átomo de hidrógeno resulta
ν

=

e2
4π ε 0



2
m
1
1
( 2 − 2)
3
4π n f ni
(2.26)
Si identificamos esta expresión con la correspondiente a la serie de Balmer, Ec.(2.11),
vemos que para que esto sea correcto la constante de Ryberg debe estar dada por
R

=

e2
4π ε 0



2
m
4π 3 c
(2.27)
Reemplazando los valores de las constantes que aparecen en lado derecho de esta igualdad
se encuentra el valor R c = 3.289 ×1015 1/ s
ya mencionado anteriormente. Vemos por lo
tanto que la serie de Balmer corresponde a
los decaimientos en que el estado final del
átomo de hidrógeno tiene n f =2. La
interpretación esta serie, junto con las otras
series de líneas correspondientes al átomo de
hidrógeno que están sin embargo fuera del
visible (infrarrojo o ultravioleta) se indica en
la Fig.2.17.
Figura 2.17: Saltos cuánticos
que dan origen a las diferentes
series espectrales del hidrógeno
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La teoría original de Bohr, que admitía únicamente órbitas circulares fue
generalizada por Sommerfeld para incluir también órbitas elípticas. Esto llevó a incluir un
número cuántico adicional relacionado con el impulso angular orbital L de manera que
para un dado valor de n no estuviera permitido solamente el valor L = n sino todos los
valores L = l con l = n, n − 1,...,1 . Sin embargo no fue hasta 1925, cuando Pauli introdujo
el llamado “principio de exclusión” y el concepto de espín, que se tuvo una descripción
adecuada del espectro de los átomos más complejos. Por supuesto mientras tanto toda la
teoría atómica fue reinterpretada en el marco de la mecánica cuántica a través de la
ecuación de Schroedinger (1924). El espín S puede entenderse como el impulso angular
intrínseco de cada partícula y para el caso de los electrones toma el valor h/4π. El
“principio de exclusión” de Pauli establece que una vez que el estado electrónico está
completamente especificado a través de sus números cuánticos sólo es posible poner un
electrón en dicho estado, es decir que los electrones se comportan como fermiones. Con
todos estos elementos se pudo finalmente obtener una interpretación adecuada de los
espectros de rayos X. Estos rayos son emitidos debido al reordenamiento de los electrones
atómicos que ocurre cuando un electrón incidente arranca algunos de los electrones que
están en alguno de los estados ocupados del átomo. El diagrama de niveles energéticos de
los rayos X para un elemento pesado, tal como el uranio se indica en la Fig.2.18.
Figura 2.18: Diagrama de niveles energéticos de los rayos X para un
elemento pesado tal como el uranio que muestra las transiciones
que dan lugar a las rayas espectrales (no dibujado a escala)
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Dentro de este esquema la Ec.(2.10) para la raya Kα puede interpretarse como la
radiación que se emite cuando un electrón salta de la órbita de número cuántico n = 2 a la
de n = 1 . La aparición de factor (Z - 1)2 en la Ec.(2.10) en lugar del valor Z2, que uno
esperaría para un átomo de carga nuclear Z, puede explicarse suponiendo que el electrón
que salta de la órbita n = 2 a la n = 1 .está protegido de la carga nuclear por la carga
negativa de un solo electrón. Esta explicación se comprende mejor considerando la manera
en que se producen los rayos X. El elemento del anticátodo está constituido por átomos
neutros, en los que la primera capa, n = 1 , contiene dos electrones. De acuerdo con el
principio de Pauli, en esta capa K no puede haber más. electrones. El único instante en que
un electrón puede saltar de la capa L (n = 2) a la capa K ( n = 1 ) es cuando falta uno de los
electrones de la capa K. La deducción obvia es que, durante el funcionamiento del tubo de
rayos X, un rayo catódico expulsa un electrón. de la capa K de un átomo. Puesto que la
mayoría de las otras capas están completas y no admiten más electrones, este electrón K
tendrá que ir a uno de los niveles exteriores no ocupado o ser lanzado completamente fuera
del átomo, lo cual dependerá de la energía que le comunique el rayo catódico incidente.
Como resultado de este proceso, la capa K tendrá solamente un electrón. Si un electrón de
la capa L saltara de esta capa a la K, ello conduciría. a. la emisión de un cuanto de energía,
cuya frecuencia sería la de la raya K. El electrón que salta de la capa L a la K se mueve
dentro de un campo eléctrico, que es esencialmente el de la carga nuclear positiva y la
carga negativa del electrón que todavía está en la capa K. Este campo eléctrico equivale,
por consiguiente, al de una, carga. positiva de magnitud (Z –1 )e. Se puede demostrar que el
efecto de los electrones externos sobre este campo eléctrico es muy pequeño.
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