Regla de L` Hôpital

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
REGLA DE L’ HÔPITAL
Su aplicación permite resolver algunas indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones
derivables.
Regla de l’ Hôpital
Si f y g son funciones continuas y derivables en un intervalo abierto que contiene a un punto xo
verificando:
a)
lim f (x ) = lim g( x ) = 0
x → xo
x → xo
b) g ′( x ) ≠ 0 en cualquier x ≠ xo del intervalo
f ′( x )
c) Existe lim
x → xo g ′( x )
Entonces, existe lim
x → xo
f (x)
f (x)
f ′( x )
y lim
= lim
.
g( x ) x → xo g( x )
x → xo g ′( x )
Observaciones:
1. La regla de L’Hôpital también se puede aplicar si x → ±∞ .
2. La regla de L’Hôpital además de resolver indeterminaciones del tipo
aplicar para resolver indeterminaciones del tipo
3. Si al calcular
lim
x → xo
0
también se puede
0
±∞
±∞
f ′( x )
nos volvemos a encontrar en las condiciones establecidas por esta
g ′( x )
regla se puede volver aplicar de nuevo, y así sucesivamente las veces que consideremos
oportunas para la consecución del límite buscado.
4. Para resolver el resto de indeterminaciones no se puede aplicar directamente esta regla. En
0
±∞
o
estos casos se han de transformar en una indeterminación del tipo
y después aplicar la
0
±∞
regla de L’Hôpital.
Ejemplo 9: Utilizando la regla de L’Hôpital se pueden calcular fácilmente los siguientes límites:
x2 − 2x + 1 ⎡ 0 ⎤
2x − 2 0
=⎢ ⎥
=
= =0
lim
x →1
ln x
1
⎣ 0 ⎦ (L ' Hôpital ) x →1 1
x
a) lim
b) lim
ex
x →+∞ 3x
2
ex
ex
⎡ +∞ ⎤
⎡ +∞ ⎤
=⎢
=
=⎢
=
= +∞
lim
lim
⎥
⎥
⎣ +∞ ⎦ (L ' Hôpital ) x →+∞ 6 x ⎣ +∞ ⎦ (L ' Hôpital ) x →+∞ 6
NOTA: Las indeterminaciones que aparecen en el cálculo del límite se indican entre corchetes.
Ejemplo 10: Calcular los siguientes límites:
1
ln x ⎡ −∞ ⎤
=⎢
=
lim x = lim ( − x ) = 0
a) lim x ln x = [0.(−∞)] = lim
⎥
x →0
x →0 1
⎣ +∞ ⎦ (L ' Hôpital ) x →0 −1 x →0
x
x2
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
1
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
0
1 ⎞
senx − x ⎡ 0 ⎤
cos x − 1
−senx
⎛1
⎡0⎤
lim
lim
b) lim ⎜ −
=0
= [ +∞ − ∞ ] = lim
=⎢ ⎥
=
=⎢ ⎥
=
=
x →0 ⎝ x
x →0 xsenx
2
senx ⎠⎟
⎣ 0 ⎦ (L ' Hôpital ) x →0 senx + x cos x ⎣ 0 ⎦ (L ' Hôpital ) x →0 cos x + cos x − xsenx
lim
c) lim (1 + x 2 )ln x = ⎡1−∞ ⎤ = e x →0
⎣
⎦
x →0
ln x (1+ x2 −1)
ln x
x →0 1
x2
e
lim
(−∞).0]
= e[
=
⎡ −∞ ⎤
⎢
⎥
= e ⎣ +∞ ⎦
lim
x →0
=
(L ' Hôpital )
e
1
x
−2
x3
lim
= e x →0
x2
−2
= e0 = 1
1⎞
⎛
1
ln⎜ lim (x 2 + 2) x ⎟
⎡ +∞ ⎤
1
ln(x 2 + 2)
1
⎜ x →+∞
⎟
lim ln(x 2 + 2) x
lim
ln(x 2 + 2)
lim
⎢
⎥
2
0⎤
⎡
⎝
⎠
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
x
x
x
x
=e
=e
=e
= e ⎣ +∞ ⎦
=
d) lim ( x + 2) = ⎢(+∞) ⎥ = e
⎣
⎦
(L ' Hôpital )
x →+∞
2x
2
2x
lim
lim x + 2
2
= e x →+∞ 1 = e x →+∞ x + 2
= e0 = 1
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
2