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ASIGNATURA FISICA II
AÑO 2012
GUIA NRO. 7
TEORIA CINETICA DE LOS GASES
Bibliografía Obligatoria (mínima)
Capítulo 21 Física de Serway – Tomo I
PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA
Las “preguntas sobre la teoría” pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de
expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía.
Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los
“problemas” y contestar las “cuestiones”.
1-Describa el modelo molecular mediante el cual se puede explicar la presión que un
gas ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene.
2-Deduzca la expresión matemática de la presión en función de la energía cinética
molecular.
3-Exprese conceptual y matemáticamente la interpretación molecular de la temperatura.
4-¿Qué significa el concepto de velocidad media cuadrática de las moléculas de un gas?
5-Deduzca las capacidades caloríficas molares de gases ideales monoatómicos,
diatómicos y poliatómicos.
6-Demuestre que P . V γ = constante, para un proceso adiabático de un gas ideal
(γ = Cp / Cv).
7-Enuncie el teorema de equipartición de la energía.
8-Deduzca la expresión del trabajo en una expansión o compresión adiabática.
PROBLEMAS
Resolver los “problemas” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman
parte de la Guía a situaciones concretas.
1- Determine las velocidades cuadráticas medias para el nitrógeno (N2), el vapor de
agua (H2O) y el oxígeno (O2) a:
a) 20 ºC
b) 100 ºC
2- Dos moles de gas oxígeno están confinados en un recipiente de 5 litros a una presión
de 8 atm. Determine la energía cinética media de una molécula de oxígeno en estas
condiciones. (Masa de la molécula de oxígeno 5,31 . 10 –26 Kg)
3- a) Determine la temperatura para la cual la velocidad cuadrática media de un átomo
de helio es igual a 500 m/s.
a) ¿Cuál es la velocidad cuadrática media del helio sobre la superficie del sol, donde la
temperatura es de 5800 k?
4- En un período de 1 segundo 5 x 1023 moléculas de nitrógeno golpean una pared con
un área de 8 cm2. Si las moléculas se mueven con una rapidez de 300 m/s y chocan a un
ángulo de 45 º respecto de la normal de la pared, encuentre la presión ejercida sobre la
pared. (La masa de una molécula de N2 es 4,65 x 10-26 Kg).
5- ¿Cuál es la temperatura a la cual la velocidad cuadrática media de las moléculas de
nitrógeno es igual a la velocidad cuadrática media del helio a 20 ºC?
6- Un mol de gas hidrógeno se calienta a presión constante de 300 K a 420 K. Calcule:
a) el calor transferido al gas.
b) El aumento en la energía interna del gas
c) El trabajo realizado por el gas
7- ¿Cuánta energía interna está contenida en 1 m3 de aire a 0 º c?
8- Demuestre la ecuación Ti . Vi (γ - 1) = Tf . Vf (γ - 1) para un proceso adiabático,
9- Dos moles de un gas ideal ( γ = 1,40) se expanden cuasiestáticamente y
adiabáticamente desde una presión de 5 atm y un volúmen de 12 litros a un volúmen
final de 30 litros.
a) ¿Cuál es la presión final del gas?
b) ¿Cuáles son las temperaturas inicial y final?
10- Un mol de un gas ideal monoatómico (γ = 1,67) inicialmente a 300 K y a 1 atm se
comprime cuasiestática y adiabáticamente a un cuarto de su volumen inicial. Encuentre
la presión y temperatura final.
11- El aire en un globo expande su volumen al subir. Si su temperatura inicial era de
300 K y no se pierde calor en la expansión ¿cuál es su temperatura cuando su volumen
se duplica?
12- Tres moles de gas Argón inicialmente a una temperatura de 20 ºC ocupan un
volúmen de 10 litros. El gas experimenta una expansión lenta a presión constante hasta
un volúmen de 25 litros, entonces el gas se expande en forma adiabática hasta que
regresa a su temperatura inicial.
a) Muestre el proceso en un diagrama PV.
b) ¿Qué cantidad de calor se le suministró al gas durante todo el proceso?
c) ¿Cuál fue el cambio total en la energía interna del gas?
d) ¿Cuál fue el volúmen final del gas?
e) ¿Cuál fue la cantidad total de trabajo realizado durante todo el proceso?
13- Los valores de Cp y Cv para gases diatómicos y poliatómicos aumentan con el
incremento de la masa molecular. De una explicación cualitativa.
14- Considere dos moles de un gas diatómico ideal. Encuentre la capacidad calorífica
total a volumen y presión constante si:
a) las moléculas giran pero no vibran
b) las moléculas giran y vibran
15- Un recipiente que contiene oxígeno se encuentra a 400 K. Encuentre:
a) la velocidad cuadrática media
b) la velocidad media
c) la velocidad más probable de las moléculas del gas.
16- Un cilindro que contiene n moles de un gas ideal sigue un proceso cuasiestático y
adiabático. A partir de la expresión W = P . dV y usando P . V γ = constante,
demuestre que el trabajo realizado está dado por:
W = (Pi . Vi – Pf . Vf) /( γ - 1)
CUESTIONES
Contestar las “cuestiones” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman
parte de la Guía a situaciones concretas.
1- Aún cuando la rapidez media de las moléculas de un gas en equilibrio térmico a cierta
temperatura es mayor que cero, la velocidad media es cero. Explique.
2- Un recipiente se encuentra lleno con gas de helio y otro con gas argón. Si ambos
recipientes están a la misma temperatura ¿cuáles moléculas tienen la velocidad media
cuadrática mayor?
3- Si un globo lleno con helio se coloca en un congelador, su volumen ¿permanecerá
igual, aumentará o disminuirá?
4- ¿Por qué un gas diatómico (Cl2) tiene mayor contenido de energía por mol que un gas
monoatómico (Xe) a la misma temperatura?
5- Un gas ideal se encuentra contenido en una vasija a una temperatura de 300 K. Si se
incrementa la temperatura a 900 K.
b) ¿en qué factor cambia la velocidad cuadrática media de cada molécula?
c) En qué factor cambia la presión en la vasija?
6-¿Por qué son distintos Cv y Cp de un gas?
7-¿Es consistente que la Energía Interna de un gas ideal sea función solamente de la
Temperatura siendo que ésta es a su vez función de la energía cinética de las moléculas?
APLICACIONES TECNOLOGICAS
Compresores
OBJETIVOS ESPECIFICOS DE LA UNIDAD TEMATICA N° 8 (GUIA NRO. 7)
Al finalizar esta unidad el alumno podrá:
Demostrar la relación existente entre la energía cinética de las moléculas de un gas y la
presión y temperatura del mismo.
Deducir las capacidades caloríficas molares de los gases.
Discutir el teorema de equipartición y realizar aplicaciones.
Enunciar y demostrar el concepto de velocidad media cuadrática.
Justificar la expresión matemática que rige los procesos adiabáticos de un gas ideal.
Aplicar estos conocimientos a la resolución de problemas y cuestiones teóricas similares
a los de la Guía.
APÉNDICE MATEMÁTICO –GUIA NRO 7– FÍSICA II
Ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial
ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable
independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar
expresadas en forma explícita:
o en su forma implícita:
Ecuaciones de variables separables
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la
siguiente forma:
se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada
miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de
ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
Ecuaciones homogéneas
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el
grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se
procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué
cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede
optar por uno de los dos cambios análogos, que son:
o bien
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta
deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha
establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la
forma:
introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:
Ecuaciones lineales de primer orden
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:
Y la solución de la misma viene dada por:
En el caso particular
y
, la solución es:
Ecuación diferencial de Bernoulli
Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene
dada por:
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es
una relación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,...
y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas
parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras
ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la
propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de
fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también
como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron en su estudio los D'alambert,
Fourier, matemáticos de la época napoleónica.
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función
siguiente forma:
es una función lineal de
tiene la
y sus derivadas si:
y
Si es una función lineal de y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos
comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de
Laplace.
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:
donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son
completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación
diferencial es:
donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la
EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
que tiene la siguiente solución
Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran
que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con
constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales
generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones
adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en
el caso sencillo anterior, la función
línea
.
puede determinarse si se especifica sobre la
Notación y ejemplos
En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales
empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:
Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en
para las derivadas
coordenadas cartesianas se escribe como
espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para
escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
(notación matemática)
(notación física)
Solución general y solución completa
Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente
de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En
muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas
soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de
separación de variables.
Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas
constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la
ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema
mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una
integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el
punto de vista físico.
Existencia y unicidad
Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones
diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de
Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos
de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de
Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función
incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que
parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de
primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser
analíticas) pero que no tienen solución.1 Incluso si la solución de una EDP existe y es
única, ésta puede tener propiedades indeseables.
Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy
dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:
con condiciones iniciales
Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente
en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:
Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier
valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal
propuesto o mal definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos
del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las
aplicaciones físicas.