02Ejercicios matematicas

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA2
1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:
a)
la mitad de un número más ocho.
x/2+8
b)
el doble de un número, menos su mitad
2x-x/2
c)
aumenta en cuatro el triple de un número
3x+4
d)
la suma de los cuadrados de dos números
x2+y2
disminuye en seis el doble del cuadrado de un número
2x2-6
e)
2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la base y la altura de un
rectángulo:
a)
la base es el doble que la altura.
b=2a
b)
la base excede en cinco unidades a la altura.
a+5=b
c)
La altura es dos quintos de la base.
a=2/5b
d)
El área del rectángulo es de 75 cm2.
a·b=75
e)
La base y la altura difieren en 3 unidades
b-a=3
3. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor de la variable que se indica:
a)
3x + 2y, para x = 1; y = 0
3·1 +2·0= 3 +0 =
3
2
b)
3(x + 2) ,
para x = 1 3( 1+2)2=3 · 9= 27
para x = –2 3(-2+2) 2 =3·0=0
para x = 3/2
3(3/2+2)2 =3(7/2) 2=3· 49/4=147/4
c)
2(x – y)2, para x = 2; y = –3
2(2-(-3))2= 2(2+3) 2=2· 25=50
4. Desarrolla las siguientes igualdades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(a + b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+b2 +2ab
(a – b)2 (a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+b2 +2ab
(1 – a) (1 + a)=1-a2
(3 + b)2=9+6b+b2
(b + 6) (b – 6)= b2-36
(2a – 1)2=42-4ª+1
Comprueba que son identidades cada uno de los apartados anteriores dando diversos
valores y viendo que los resultados coinciden.
5. Expresa como potencias o productos las siguientes sumas:
a) x2 – 1=(x+1)(x-1)
b) x2 + 4 + 4x=(x+2)2
c) 49 – 9x2=(7-x)(7+x)
d) 9x2 – 6x + 1=(3x-1)2
e) x2 – 12x + 36=(x-6)2
f)
x2 – y2=(x-y)(x+y)
6. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x + 28 = 12 x=12-28=-16
b) x – 10 = 12 x=10+12=22
c) x + 2 = 8
x=8-2=6
5-3=x=2
d) 5 – x = 3
e) 9 – x = 0
9=x
f) x + 5 = 81
x=81-5=76
8-1=x=7
g)
8–x=1
7. Resuelve estas ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x=6/3=2
3x = 6
5x = 25 x=25/5=5
9x = 99 x=99/9=11
2x = 64 x=64/2=32
x=5/2
2x = 5
6x = 1
x=1/6
x=3/7
7x = 3
12x = 21 x=21/12=7/4
8. Halla el valor de la incógnita en cada ecuación:
a) 3x – 6 = 0
b) 5s – 4 = 16
c) 7y + 5 = 33
3x=6 x=6/3=2
5s=16+4 5s=20 s=4
7y=33-5=28 y=28/7=4
d) 1 – 2x = 0
1=2x
1/ 2=x
e) 190 – 9z = 100 190-100=9z 90=9z 90/9=z=10
36/3=x
f)
37 – 3x = 1 37-1=3x 36=3x
12=x
9. Encuentra el valor de x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x=12/12=1
5x + 7x = 12 12x=12
9x + 14x = 50 23x=50 x=50/23
5=x
3x – 2 = 4x – 7 7-2=4x-3x
2x – 7 = 3x + 8 -7-8=3x-2x -15=x
11x + 7x + 3x = 7 21x =7 x=7/21=1/3
4x + 12x = 30 + 15x 16x=30+15x 16x-15x=30 x=30
29=17x+5x 29=22x 29/22=x
29 – 17x = 5x
–3x + 2 = x – 10
10+2=x+3x 12=4x 12/4=x=3
10. Resuelve:
2x-2=0 2x=2 x=1
2(x – 1) = 0
5-5x=0 5=5x 5/5=x=1
5(1 – x) = 0
7(x – 2) = 42 7x-14=42 7x=42+14=56 7x=56 x=56/7=8
9(2x – 3) = 9 18x-27=9 18x=9+27=36 x=36/18=2
9+3x=2x+10 3x-2x=10-9 x=1
3(3 + x) = 2x + 10
f) (x – 1)9 = 6x + 18
9x-9=6x+18 9x-6x=18+9 3x=27 x=27/3=9
g) x + 7 = 2(x – 3)
x+7=2x-6 7+6=2x-x 13=x
h)
12 + 2(x – 3) = 3
12+2x-6=3 2x=3+6-12 2x=-3 x=-3/2
a)
b)
c)
d)
e)
11. Resuelve las ecuaciones:
a) 2 (x + 3) – 6 (5 + x) = 4x + 8
2x+6-30-6x=4x+8
-4x-24=4x+8
-24-8=4x+4x
-32=8x
-32/8=-4=x
b) 5 (2 – x) + 3 (x + 6) = 10 – 4 (6 + 2x)
10-5x+3x+18=10-24-8x
28-2x=-14-8x
8x-2x=-14-28 6x=-42
c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2 (x + 6) – 7x
-2x+3=2x+12-7x
7x-2x-2x=12-3
3x=9
x=3
d) 4x – 2 + 6 (x – 4) = 6 + 2x
4x-2+6x-24=6+2x
10x-26=6+2x
10x-2x=6+26 8x=32 x=4
12. Resuelve las ecuaciones:
a)
(− 3)+ x = 4 − 3 + x = −8 x = −8 + 3 = −5 = x
−2
x=-42/6=-7
x +3
= x + 5 x + 3 = 3·(x + 5 ) x + 3 = 3x +15
b) 3
3 − 15 = 3x − x − 12 = 2x − 12 / 2 = −6 = x
x-1
c) − 5 = 3
x− 1= − 15 x= 1− 15= − 14
2x + 6
= x - 5 2x + 6 = -2( x - 5 ) 2x + 6 = -2x +10
d) − 2
2x + 2x = 10 - 6 4x = 4 x = 1
13. Resuelve las ecuaciones:
2
35
x
+ =
MCM 4,3 ,12 = 12
4
3
12
x
2
35
a) 12 4 + 3 = 12
3x 8= 35 3x= 35− 8= 27
x= 27/3= 9
3x 4 2x 12
+ = 7 5 2 35
⎛ 3x 4 2x 12 ⎞
b) 70⎜ + = - ⎟ 30 x + 56 = 70 x − 24
⎝ 7 5 2 35 ⎠
56 + 24 = 70 x − 30 x 80 = 40 x 2 = x
c) x + 3 - x - 3 = x - 5 - 1
10
8
4
MCM( 8,10,4 ) = 40
x+3 x - 3 x - 5
=
- 1)
10
8
4
5(x + 3 ) − 4(x − 3 ) = 10(x − 5 ) − 40
40(
5x + 15 − 4x + 12 = 10 x − 50 − 40
x + 27 = 10 x − 90
27 + 90 = 10 x − x 117 = 9x 117 / 9 = 13 = x
95 - 10x 10x - 55
=
2
2
20 x − ( 95 − 10 x) = ( 10 x − 55 )
d) 10x -
20 x − 95 + 10 x = 10 x − 55
20 x = 95 − 55 = 40 x = 40 / 20 = 2
e)
5x - 3
10 + 5x 5
= 5x 4
5
2
MCM( 4,5,2 ) = 20
− 5( 5x − 3 ) = 100 x − 4( 10 + 5x ) − 50
− 25 x + 15 = 100 x − 40 − 20 x − 50
− 25 x + 15 = 80 x − 90
90 + 15 = 80 x + 25 x 105 = 105 x
x =1
5x + 40
⎛ 3x 5x ⎞
5x - ⎜ + ⎟ = 6x +
f)
5⎠
5
⎝ 3
5x + 40
5x + 40
3x = 6x +
5x - 2 x = 6x +
5
5
5x + 40
5x + 40
3x − 6x =
− 3x =
5
5
− 15 x = 5x + 40 − 40 = 5x + 15 x − 40 = 20 x
x = −2
g)
5x + 2 ⎛ 3x - 1 ⎞ 3x + 20 ⎛ x + 4
⎞
-⎜x-⎜
+ 5⎟
⎟=
3
2 ⎠
2
⎝
⎝ 6
⎠
5x + 2
3x − 1 3x + 20 x + 4
- x+
=
−5
3
2
2
6
2( 5x + 2 ) − 6x + 3( 3x − 1 ) = 3( 3x + 20 ) − (x + 4 ) − 30
10 x + 4 − 6x + 9x − 3 = 9x + 60 − x − 4 − 30
13 x + 1 = 8x + 26
5x = 25 x = 5
13x − 8x = 26 − 1
h)
20
x5
⎛
⎞
3
3x + 2⎜ 4x - ⎟ = 9x + 5 6⎠
2
⎝
x 20
x 10
10
5
= 9x + 5 − +
3x + 8x −
3x + 8x − = 9 x + 5 − +
6
2 6
3
2 3
18 x + 48 x − 10 = 54 x + 30 − 3 x + 20
56 x − 10 = 51x + 50
5 x = 60
x=
60
= 12
5
56 x − 51x = 50 + 10
14. ¿Qué número sumado con 15 da 28?
X+15=28
x=28-15=13
15. ¿Qué número multiplicado por 3 y sumando luego 7 da 19?
3x+7=19
3x=19-7 3x=12
x=12/3=4
16. La suma de dos números impares consecutivos es 32. ¿Cuáles son dichos números?
x+x+2=32
2x=32-2
2x=30 x=15 17
17. Tres números pares consecutivos suman 150. ¿De qué números se trata?
X+x+2+x+4=150
3x+6=150
3x=144 x=144/3=48 50 52
18. Halla tres números consecutivos que sumen 663. ¿Existirán tres números pares consecutivos
que sumen 663?
X+x+1+x+2=663 3x+3=663
3x=660 x=660/3= 220 221 222
19. Halla dos números impares consecutivos sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 24.
X
X+2
x2+4+4x-x2=24
4x+4=24 4x=20 x=5 7
(x+2)2-x2=24
20. Si al doble de un número le sumamos 5 obtenemos su triple. ¿De qué número hablamos?
X
2x+5=3x 5=3x-2x 5=x
21. Encuentra dos números naturales que sumen 48 y que al dividir uno entre otro se obtenga 3 de
cociente y 4 de resto.
X ,48-x
48-x
4
x
3
48-x=3x+4
44=4x
11=x
48-11=37
22. Juan tiene 28 años menos que su padre. Dentro de 15 años, la edad del padre será el doble de
la de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Pasado
Juan
Padre
(x+28+15)=2(x+15)
x+43=2x+30
Presente
x
X+28
43-30=2x-x
Futuro
X+15
X+28+15
13=x
Juan tiene 13 años
Su padre tiene 41 años
23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre el doble de la
edad del hijo?
X:= años que tienen que pasar
Pasado
Hijo
Padre
Presente
8
30
Futuro
8+x
30+x
(30+x)=2(x+8) 30+x=2x+16 30-16=2x-x 14=x
dentro de 14 años el padre tendrá el doble que el hijo.
24. Un profesor tiene 42 años y su alumno 12. ¿Cuántos años faltan para que la edad del profesor
sea el triple que la del alumno?
Pasado
Presente
12
42
Alumno
Profesor
42+x=3(12+x)
42+x=36+3x
Han de pasar 3 años
42-36=3x-x
6=2x
Futuro
12+x
42+x
3=x
25. La edad de una madre es el triple de la de su hijo y, dentro de 16 años, sólo será el doble.
¿Cuántos años tiene cada uno?
Pasado
Presente
Futuro
Hijo
X
X+16
Madre
3x
3x+16
3x+16=2(x+16)
3x+16=2x+32
Hijo 16 años
Madre 3·16=48 años
3x-2x=32-16
x=16
26. Un padre tiene 48 años y su hijo 25. Averigua cuántos años han de transcurrir para que la edad
del padre sea doble que la del hijo.
X:=años que han de trascurrir
Pasado
Hijo
Padre
48+x=2(25+x)
48+x=50+2x
Presente
25
48
-2=x
Ninguno fue hace dos años
Futuro
25+x
48+x
27. Juan le preguntó a María cuántos años tenía, y ésta le respondió: “El doble de los años que tenía
hace quince años más los que tengo ahora, es el triple de los que tenía hace diez años”. ¿Cuántos
años tiene María?
Pasado hace 15
x-15
María
Pasado hace 10
x-10
Presente
X
2·( x-15)+x=3·(x-10)
2x-30+x=3x-30
3x=3x
x=x
28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8
años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija?
Pasado
Hija
Madre
Presente
x
3x
3x-30
3x-30=x+8
2x=38
Futuro
X+8
x=19 madre 57
29. La base de un rectángulo es 3 cm mayor que la altura. Si aumentamos en 2 cm tanto la base
como la altura del rectángulo, su área aumenta en 26 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del
rectángulo inicial?
a
a+2
a+3
a+5
(a+5)(a+2)-(a+3)·a=26
a2+5·a+2·a+10-a2-3·a=26
4 a=16
a=4
El rectangulo original tine 4x7 cm.
30. Si aumentamos en 3 cm el lado de un cuadrado obtenemos otro cuadrado con 51 cm2 más de
área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado?
a
a+3
a
a+3
(a+3)(a+3)-a·a=51
6 a=51-9 6·a=42
a2+ 3 a+3 a+9-a2=51
a=7
31. Los dos catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 2 cm. Si disminuimos 2 cm en cada
uno de los lados obtenemos otro triángulo con 12 cm2 menos de área. ¿Cuál es el área del
triángulo original?
X+2
x
X
x-2
Área del grande=x(x+2)/2
x ( x + 2) ( x − 2) x
−
= 12
2
2
x 2 + 2 x − x 2 + 2 x = 24
Área del pequeño=(x-2)x/2
MCM = 2
4 x = 24
x( x + 2) − x( x − 2) = 12 ( x 2 + 2 x) − ( x 2 − 2 x) = 24
x=6
Luego el triángulo original es de catetos 6 y 8
32. De un cuadrado de cartón reciclado recortamos un rectángulo cuya base tenga 2 cm menos que
el lado del cuadrado y cuya altura sea también 2 cm. ¿Qué medida debe tener el cuadrado de
cartón para que el área de la segunda figura sea la misma que el área de otro cuadrado, que
resulta de restar 2 cm a cada lado del primero?
33. Una circunferencia tiene un radio que mide 8 cm. ¿Cuánto hemos de aumentar el radio para que
la longitud de una nueva circunferencia sea el triple de la longitud de la primera?
L Pequeña=2∏8
2∏(8+x)=3·2∏8
x=32∏/2∏=16
r=8 cm
L grande 2∏(8+x)
16∏+2∏x=48∏
r=8+x cm
2∏x=48∏ -16∏ = 32∏
34. Tengo una habitación cuadrada. Para ampliarla corro el tabique un metro, con lo que obtengo una
habitación rectangular cuya superficie ha aumentado 4 m2. Calcula los lados de la nueva
habitación.
x
X
x+1
Área grande x(x+1)
Área Pequeña x2
X(x+1)-x2=4
x2+x-x2=4
x=4
Luego las dimensiones del nuevo rectñangulo son 5 , 4
35. El área de un rectángulo aumenta en 185 cm2 cuando la base y la altura vienen aumentadas en 5
cm cada una. Halla las dimensiones del rectángulo sabiendo que la primera es el triple de la
segunda.
X
x+5
3x
Área del grande (x+5)(3x+5)
Área del pequeño 3x2
(x+5)(3x+5)- 3x2=185
3x+5
3x2+5x+15x+25-3x2=185
20x=185-25=160
x=160/20=8cm
Luego el rectángulo será 8 y 24 cm respectivamente
36. La longitud de la base de un rectángulo es 4 m mayor que la longitud de su altura. Si la longitud
de la base aumenta en 2 cm y la altura en 3 cm, el área aumenta en 58 cm2. Halla las dimensiones
del rectángulo
X
x+3
X+4
X+6
Área del grande (x+6)(x+3)
Área del pequeño x(x+4)
(x+6)(x+3) - x(x+4)=58
(x2+3x+6x+18)-(x2+4x)=58
(x2+3x+6x+18-x2-4x)=58
5x+18=58
5x=40 x=8
Luego el rectángulo tenía 8 y
12 m.
37. Dos fuentes abiertas simultáneamente llenan un depósito en 3 horas. Una de ellas, en solitario,
lo llenaría en 4 horas. ¿Cuántas horas tardaría la segunda en llenarlo ella sola?
1 1 11 1 1 1
+ =
= − =
4 x 3 x 3 4 12
x=12 horas
38. Dos hombres tardan 5 horas en levantar una pequeña tapia de ladrillo. Uno de ellos, que trabaja
más que el otro, lo haría él solo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el segundo trabajando en
solitario?
39. Un depósito se llena con un grifo en 2 horas y, con otro, en tres horas. Averigua el tiempo que
tarda en llenarse el depósito si se abren los dos grifos a la vez.
40. Un obrero ha empleado 25 días en la realización de un trabajo. Si hubiera dedicado dos horas
más por día hubiera terminado en 20 días. ¿Durante cuántas horas trabajó diariamente?
25x=20(x+2)
25x=20x+40
5x=40 x=8 h.
41. Un depósito se llena con un grifo en 4 horas; con otro tarda en llenarse 6 horas, y se vacía por
un desagüe en 3 horas. Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres.
42. Dos personas, A y B, que distan entre sí 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera pero
en sentido contrario. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) con velocidad de
4 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán?
43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen también del mismo punto. La velocidad
de A es de 30 km/h y la de B es de 37’5
km/h. El ciclista B sale 2 horas más tarde que A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al
punto de cita. ¿Cuánto tiempo ha empleado B y qué distancia ha recorrido?
44. Una persona va de una población a otra en un tranvía que lleva una velocidad de 14 km/h y
regresa andando con una velocidad de 4 km/h. ¿Qué distancia hay entre las dos poblaciones si
tarda seis horas en ir y volver?
45. A las 10h 45 m sale un avión de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad de crucero de
1.000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidad de
800 km/h. ¿A qué distancia de Madrid y a qué hora se cruzarán ambos aviones? (La distancia de
Nueva York a Madrid es de 7.800 km)
46. A un vinatero le encargaron 60 l de vino a un precio de 1’1 euros/l. El comerciante sólo dispone
de vino a 1’2 euros/l, así que decide echarle agua hasta obtener una mezcla del precio pedido.
¿Cómo debe hacerse la mezcla si suponemos que el agua es gratis?
47. El agua del mar tiene un 3 % de sal. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar a 25 kg de agua
de mar para que tenga sólo un 2 % de sal?
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMAS DE NÚMEROS
1º). La suma de dos números impares
consecutivos es 32. ¿Cuáles son dichos
números?
x=1º número impar
x+2=2º impar
x+x+2=32
2x=32-2
15+2=17
2x+2=32
2x=30
x=30/2
x=15
,
18.Halla tres números consecutivos que
sumen 663. ¿Existirán tres números pares
consecutivos que sumen 663?
X=1º número
X+1=2º
X+2=3º
X+x+1+x+2=663
3x+3=663 3x=663-3 3x=660
x=660/3=220 220,221,222
2 apto. No porque tres pares suman un
número par.
17. Tres números pares consecutivos suman
150. ¿De qué números se trata?
X
X+2
X+4
X+x+2+x+4=150
3x+6=150
3x=150-6=144
x=144/3=48
48,50,52
20. Si al doble de un número le sumamos 5
obtenemos su triple. ¿De qué número
hablamos?
X=número
2x =el doble
3x=el triple
+2x+5=3x
5=3x-2x
5=x
Problemas de edades
23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8.
¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre
el doble de la edad del hijo?
X=años que han de pasar
Pasado
Presente
Futuro
30+x=2(x+8)
30+x=2x+16
14=x
Hijo
Padre
8
8+x
30
30+x
30-16=2x-x
22. Juan tiene 28 años menos que su padre.
Dentro de 15 años, la edad de éste será el
doble de la de Juan. ¿Cuál es la edad de
cada uno?
X=edad de juan
Pasado
Presente
Futuro
Juan
Padre
x
X+15
X+28
X+28+15
X+28+15=2(x+15)
X+43=2x+30
43-30=2x-x
13=x padre=41
28
56
24. Un profesor tiene 42 años y su alumno
12. ¿Cuántos años faltan para que la edad del
profesor sea el triple que la del alumno?
X=años que faltan
(42+x)=3*(12+x)
Profe
Triple
En el futuro
42+x=36+3x
6=2x
años
Alumno
42-36=3x-x
6/2=
x=3 Faltan 3
25. La edad de una madre es el triple de la
de su hijo y dentro de 16 años, sólo será el
doble. ¿Cuántos años tiene cada uno?
X=edad del hijo.
3x=edad madre.
3x+16=2*(x+16)
3x+16=2x+32
3x-2x=32-16
x=16 =hijo
32
madre=48
64
28. Una madre tiene el triple de edad que su
hija. Si la madre tuviera treinta años
menos y la hija 8 años más, tendrían la
misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la
madre y la hija?
3x-30=x+8
3x-x=8+30
2x=38
x=38/2=19
hija 19 madre 57
19+8=27
57-30=27
27. Juan le preguntó a María cuántos años
tenía y ésta le respondió: “El doble de los
años que tenía hace quince años más los que
tengo ahora es el triple de los que tenía
hace diez años”. ¿Cuántos años tiene
María?
2(x-15)+x=3(x-10)
2x-30+x=3x-30
3x-30=3x-30
x=cualquier número
25. La edad de una madre es el triple de la
de su hijo y, dentro de 16 años, sólo será el
doble. ¿Cuántos años tiene cada uno?
3x+16=2(x+16)
3x+16=2x+32
3x-2x=32-16
x=16
Actual
hijo 16 madre 48
Pasados 16 años hijo 32 madre 64
La que tenía hace 22 años es la mitad de la
edad que tendré dentro de 8 años.¿Cual es
mi edad?
x-22= x 2 8 2(x-22)=x+8
2x-44=x+8
2x-x=8+44
x=52
28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8
años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija?
Problemas de áreas
29. La base de un rectángulo es 3 cm mayor
que la altura. Si aumentamos en 2 cm tanto
la base como la altura del rectángulo, su
área aumenta en 26 cm2. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo inicial?
x
x
x+2
x+3
x+3+2=x+5
AP=x(x+3)
AG=(x+5)(x+2)
(x+5)(x+2)= x(x+3)+26
x2+2x+5x+10=x2+3x+26
7x+10=3x+26
7x-3x=26-10
4x=16
x=16/4
x=4 cm
30. Si aumentamos en 3 cm el lado de un
cuadrado obtenemos otro cuadrado con 51
cm2 más de área. ¿Cuánto mide el lado del
primer cuadrado?
X+3
X
x
x+3
AP=x2
AG=(x+3)(x+3)
x2 +51=(x+3)(x+3)
x2 +51=x2+3x+3x+9
51-9=6x
42=6x
51=6x+9
42/6=7=x
31. Los dos catetos de un triángulo
rectángulo se diferencian en 2 cm. Si
disminuimos 2 cm en cada uno de los lados
obtenemos otro triángulo con 12 cm2 menos
de área. ¿Cuál es el área del triángulo
original?
Problemas de grifos u obreros
. Dos fuentes abiertas simultáneamente
llenan un depósito en 3 horas. Una de ellas,
en solitario, lo llenaría en 4 horas. ¿Cuántas
horas tardaría la segunda en llenarlo ella
sola?
X=horas que tarda el 2º grifo
1ºgrifo en una hora= 1/4 depósito
2ºgrifo en una hora= 1/x depósito
1º y 2ºgrifo en una hora= 1/3 depósito
1 1 1
=
4 x 3
1
1 1 4− 3 1 1
= − =
=
=
x
3 4 12
12 x
x= 12 hras
X=horas en llenar el deposito 1º y 2º grifo
1º grifo en una hora=1/5 de deposito
2º grifo en una hora=1/8 de deposito
1º y 2º grifo en una hora=1/x
1
5
1 1
8 5 1 13
= =
= =
8 x
40
x
40
40
x=
13
38. Dos hombres tardan 5 horas en levantar
una pequeña tapia de ladrillo. Uno de ellos,
que trabaja más que el otro, lo haría él solo
en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el
segundo trabajando en solitario?
X=horas que tarda el mas perrangón
1º albañil en una hora 1/6 de tapia
2º albañil en una hora 1/x de tapia
1º y 2º albañil en una hora 1/5 de tapia
1 1 1
=
6 x 5
1 1 1 1
= − =
x 5 6 30
x= 30 horas
39º)
Un depósito se llena con un grifo en 2 horas
y con otro en tres horas. Averigua el tiempo
que tarda en llenar el depósito si se abren
los dos grifos a la vez.
X=horas que tardan los dos grifos juntos
1ºgrifo en una hora= ½ depósito
2ºgrifo en una hora= 1/3 depósito
1º y 2ºgrifo en una hora= 1/x depósito
1 1 1
=
2 3 x
3 2 1 5 1
=
=
6
x 6 x
5x= 6 x= 6/5 horas 60=
360/5= 72 min= 1h 12 min
41. Un depósito se llena con un grifo en 4 horas; con otro tarda en llenarse 6 horas, y se vacía por
un desagüe en 3 horas. Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres.
1º grifo en una hora ¼ de deposito
2º grifo en una hora 1/6 de deposito
Desague en una hora 1/3 de deposito.
Los tres juntos tardan x horas
Los tres juntos en una hora 1/x de deposito.
1
4
1 1 1
− =
6 3 x
3 2− 4 1 1
=
=
12
12 x
x= 12
6 obreros tardan 4 dias en hacer una pocilga
¿Cuánto tardarían 4 obreros?
6 ob------------4 dias
4ob--------------x dias Inversa
4/x=4/6
4x=24 x=6 dias
De móviles
Dos personas, A y B, que distan entre sí 45
km, empiezan a caminar por la misma
carretera pero en sentido contrario. La
primera (A) con velocidad de 5 km/h y la
segunda (B) con velocidad de 4 km/h.
¿Cuándo y dónde se encontrarán
A
X
v=5km/h
v=4km/h
B
45 km
e=v·t
Vehi A
Vehi B
Vehi A
Vehi B
e
v
t
e
45-e
5
4
t
t
e=5t
45-e=4t
45-5t=4t
t=5 h
25 km=e
45=9t
e=5t e=5*5=
44 Una persona va de una población a otra en
un tranvía que lleva una velocidad de 14
km/h y regresa andando con una velocidad
de 4 km/h. ¿Qué distancia hay entre las
dos poblaciones si tarda seis horas en ir y
volver?
e=v·t
Ida
Vuelta
E=14t
E=4(6-t)
4(6-t)=14t
e
v
t
e
e
14
4
t.
6-t
24-4t=14t
24=14t+4t
24=18t
24/18=t 4/3 horas =t=1,333333…..h
e=14t=14*4/3==18,66km Jacarilla Disco AsRey
43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo
punto y salen también del mismo punto. La
velocidad de A es de 30 km/h y la de B es
de 37’5 km/h. El ciclista B sale 2 horas más
tarde que A y lo alcanza en el momento de
llegar ambos al punto de cita. ¿Cuánto
tiempo ha empleado B y qué distancia ha
recorrido?
e=v·t
A
B
A
B
e
v
t
e
e
30
37,5
t
t-2
e=30 t
e=37,5·(t-2)
30t=37,5·(t-2)
30t=37,5t-75
75=37,5t-30t
75=7,5t
75/7,5=t=10 h
A esta 10 h
B esta 8 h
e=30 t
e=30·10=300km
45. A las 10h 45 m sale un avión de Madrid
hacia Nueva York, siendo su velocidad de
crucero de 1.000 km/h. A la misma hora
sale de Nueva York un reactor hacia
Madrid con una velocidad de 800 km/h. ¿A
qué distancia de Madrid y a qué hora se
cruzarán ambos aviones? (La distancia de
Nueva York a Madrid es de 7.800 km)
Mad
NY
A 1000 Km/h
X 800 km/h
7800
distancia de Madrid a X =e
distancia de Ny
a X =7800-e
e=v·t
Madrid
NY
e
v
t
e
7800-e
1000
800
t
t
e=1000t
7800-e=800t
7800-1000t=800t
7800=1000t+800t 7800=1800t
7800/1800=4.333 h=t
e=1000 ·4,333=4333 km
10h 45 + 4h 20 min= 14h 65 min
15 h 5 min
PROBLEMAS DE ECUACIONES DE
2ºGRADO
15.La suma de los cuadrados de dos números
consecutivos es 265. ¿Cuáles son esos
números?
X= 1º número
X+1=su consecutivo
X2+(x+1)2=265
X2+ x2+2x+1=265
2x2+2x+1-265=0
2x2+2x-264=0
x2+x-132=0
− b± b2 − 4 ac
2a
− 1± 1− 4 1 − 132
x=
2 1
− 1± 1 528 − 1± 23
=
=
x=
2
2
− 1 23
− 1− 23
= 11
= − 12
2
2
x=
Si tenemos un cuadrado de 3 cm de lado,
¿cuánto debe valer el lado de otro
cuadrado para que su área sea el doble que
el área del anterior?
3cm
x cm
Ap=9 cm2 Ag=18 cm2=x2
18 =x2 x=raiz(18)=4,25 cm
20. Si el radio de un círculo aumenta 2
cm, el área aumenta 20π cm2. Averigua
el radio de este círculo y su área.
17. El área de una parcela rectangular
mide 37.500 m2. Si la base de la
parcela mide 100 m más que la altura,
¿cuáles son sus dimensiones?
37500 m2
376033
X+100 250
X 150
x(x+100)=37500
X2+100x-37500=0
− 100± 100 2− 4 − 37500
=
2
− 100± 160000 − 100± 400
=
= 150 − 250
2
2
x=
12. Dos tabletas de chocolate, uno negro y
otro blanco cuestan 1’50 €. Si hemos
comprado 7 tabletas de chocolate negro y
9 de blanco y nos ha costado todo 12’60 €,
¿cuánto cuesta cada tableta?
95 - 10x
10x - 55
=
2
2
95 - 10x
10x - 55
2· 10x -2·
=2·
2
2
20 x− 1 95− 10 x = 1 · 10 x− 55
20 x− 95 10 x= 10 x− 55
30 x− 95= 10 x− 55
30 x− 10 x= 95− 55
20 x= 40 x= 40/20= 2
10x -
4
2x 12
3x
+ =
7
5
2
35
MCM 7,5 ,2,35 =
MCM 2, 35 = 70
3x
4
2x
12
70·
+70 · =70 ·
-70·
7
5
2
35
30 x 56= 70 x− 24
56 24= 70 x− 30 x
80= 40 x 80/40= x= 2
x-5
x+3 x-3
=
-1
8
10
4
MCM 8, 10 ,4 =
MCM 8, 10 = 40
x+3
x-3
x-5
40 ·
- 40.
= 40·
- 40· 1
8
10
4
5 x 3 − 4 x− 3 = 10 x− 5 − 40
5x 15− 4x 12= 10 x− 50− 40
x 27= 10 x− 90
90 27= 10 x− x
117= 9x 117 /9= 13= x
¿Qué número multiplicado por 3 y sumando
luego 7 da 19?
X=numero
3x+7=19
3x=12
3x=19-7=12
x=4
A una fiesta asisten 43 personas. Si se
marchan 3 chicos, habría el triple de chicas
que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas
hay?
X=nº chicas
43-x chicos
se marchan 3 chicos 43-x-3=40-x
3(40-x)=x
120-3x=x
120=4x
120/4=30=x chicas
43-30=13 chicos
Carmen tiene 42 años y su hijo 10.
¿Cuántos años han de pasar para que la edad
de Carmen sea el triple de la edad de su
hijo?
X=años que han de pasar
42+x=3(10+x)
42+x=30+3x
12=2x
x=6
42-30=3x-x
Una bodega ha exportado, el primer
semestre del año , la mitad de sus barriles y,
en los dos meses siguientes, un tercio de lo
que quedaba.¿Cuántos barriles tenía la
bodega al comienzo del año si ahora le
quedan un total de 40.000 barriles?
X=nº barriles
1ºS
2ºS
vende x/2
vende(x/2)/3=x/6
x x
40000 = x
2 6
MCM 2,6 = 6
x
x
6·
6·
6 · 40000= 6· x
2
6
3x x 240000= 6x
240000= 6x− 3x− x
240000= 2x 240000 /2= 120 .000= x
X=precio tableta choco negro
Y= precio tableta choco blanco
x+y =1,5
7x+9y=12.6
x=1,5-y
7(1.5-y)+9y=12.6
10.5-7y+9y=12.6
2y=12.6-10.5=2.1
2y=2,1
y=2,1/2=1,05 euros
x=1,5-1,05=0.45 euros
5. Encuentra dos números tales que el triple
del primero aumentado en 10 unidades sea
igual al segundo, mientras que el doble del
segundo disminuido en 4 sea igual a 8 veces
el primero.
X=1º
Y=2º
3x+10=y
2y-4=8x
2(3x+10)-4=8x
6x+20-4=8x
16=8x-6x=2x
16=2x x=8
3x+10=y
24+10=34=y