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Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
1
VECTORES EN EL ESPACIO
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE
EJERCICIO 1 :
r
r
r
r
Dados los vectores a (1, 2, 3 ), b (1, 1, 1), c (1, 0, 5 ) y d (− 1, 1, 3 ):
a) ¿Forman una base de R3?
r
r r
r
b) Expresa, si es posible, el vector d como combinación lineal de a, b y c.
Solución:
a) No forman una base, pues cuatro vectores en R3 siempre son linealmente dependientes.
r
r
r
r
b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: d = x a + y b + z c
(-1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5)
(-1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z)
x + y + z = −1
r
r
r
r

2x + y
= 1  Resolvemos el sistema por Gauss y obtenemos : x = 2, y = - 3, z = 0 ⇒ d = 2a − 3b + 0c
3 x + y + 5z = 3 
EJERCICIO 2 :
r r
r
r
a) Se sabe que u, v y w son linealment e dependientes. ¿Podemos asegurar que u es
r
r
combinación lineal de v y w? Justifica tu respuesta.
r
b) Halla las coordenadas del vector a (4, 3, 7 ) respecto de la base B = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}.
Solución:
r
r
r
a) No. Por ejemplo, si tomamos u (1, 0, 0 ), v (0, 1, 0 ), y w (0, 2, 0 ):
r
r
− Son linealment e dependient es, pues w = 2v.
r
r
r
− Sin embargo, u no es combinació n lineal de v y w.
r
r
r
b) Llamamos b (2, 1, 0), c (1, 0, − 2), d (0, 0, 3) a los vectores de la base B. Tenemos que encontrar tres
r
r
r
r
números, x, y, z, tales que: a = x b + y c + z d
(4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, -2) + z(0, 0, 3)
(4, 3, 7) = (2x + y, x, -2y + 3z)
2x + y = 4 
x=3

x=3
y = 4 − 2 x = −2

− 2y + 3 z = 7 3z = 7 + 2y → z = 7 + 2y = 1
3
r r r
r
r
Las coordenadas de a respecto de la base B son (3, − 2, 1), es decir: a = 3b − 2c + d
EJERCICIO 3 :
r
r
Dados los vectores u (2, − 1, 0) y v (3, 2, − 1):
a) ¿Son linealmente independientes?
r
r
r 1r
c) Halla un vector, w , tal que 2u + 3 w = v.
2
b) ¿Forman una base de R3?
Solución:
a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos:
x(2,-1, 0) + y(3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir:
2x + 3 y = 0

− x + 2y = 0 Este sistema solo tiene la solución trivial: x = y = 0
− y = 0
b) No forman una base de R3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente
independientes).
r
r 1r
r 1r
r
r 1r 2r
c) 2u + 3w = v → 3 w = v − 2u → w = v − u
r 1
2
−1
 −5
2
2
6
3 ⇒ w
= (3, 2, − 1) − (2, − 1, 0) = 
, 1,

6
3
6 
 6
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
2
EJERCICIO 4 :
→
→
→
→
a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo
→
→
u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6)
b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3?
Solución:
a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0)
2x + y + 3z = 0

− 2y + 2z = 0 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −2λ, y = λ, z = λ
− 3x
− 6z = 0
b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente
dependientes. Por tanto, no son base.
EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :
→
→
→
a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1)
r
a) Halla las coordenadas de u (4, − 7, 14) respecto de la base anterior.
r
r r
r
b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u.
Solución:
r
r
r
r
a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = x a + y b + z c , es decir :
(4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z)
2x
+ 3z = 4 

− x + 2y
= −7 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x = 5, y = −1, z = −2
3 x − y + z = 14 
r r
r
r
r
Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son (5, − 1, − 2), es decir : u = 5a − b − 2c
b) De la igualdad obtenida en a), tenemos
r
que: u
r r r
= 5a − b − 2c
→
r
r r r
2c = 5a − b − u
→
r 5r 1r 1r
c = a− b− u
2
2
2
PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que forman dos vectores,
proyección ortogonal,…)
r
(
)
r
(
)
EJERCICIO 6 : Dados los vetores u 2, − 1, 3 , v 4, 2, − 2 y
r r
r
r
a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v.
r
r
b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 o .
Solución:
r
a) u = 2 2 + (− 1)2 + 3 2 = 14 ≈ 3,74
r
w (1, 2, x ):
r
v = 4 2 + 2 2 + (− 2 )2 = 24 ≈ 4,90
r
r
Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que :
r r
r
r
u·v
8−2−6
o
cos α = r
r = r
r = 0 → u y v son perpendicu lares, es decir, α = 90 .
u · v
u · v
r r
u·w
1
2 − 2 + 3x
1
3x
o
→
=
b) Ha de cumplirse que: cos 60 = r
r , es decir: =
2
2
u · w
14 · 5 + x 2
70 + 14x 2
70 + 14 x2 = 6 x
→
70 + 14 x 2 = 36 x2

35
x = −
11
70 35 
x2 =
=

22 11 
35
x =

11
→
70 = 22 x2
r r
(no vale, pues u · v = 3 x > 0)
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
r
r
EJERCICIO 7 : Dados los vectores u (1, 0, 0 ) y v (1, 1, 0 ):
r
r
r
r
a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángulo que forman u y v.
3
r
r
b) Encuentra un vector (x , y , z ) ≠ (0, 0, 0 ), que sea combinació n lineal de u y v, y que sea
perpendicular a (1, 0, 0).
Solución:
r r
1 1
r u·vr 1
Proyección de u sobre v: u´= r 2 v = (1,1,0) = ( , ,0)
2
2 2
v
r r
r
r
u·v
1
1
2
Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : cos α = r
=
=
→ α = 45o
r =
u · v 1· 2
2
2
r
r
r
r
b) Un vector que sea combinació n lineal de u y v es de la forma au + bv, es decir :
r
r
a u + b v = a (1, 0, 0 ) + b (1, 1, 0 ) = (a + b, b, 0 )
Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero:
(a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a
Por tanto, cualquier vector de la forma: (0, b, 0), con b ≠ 0 cumple las condiciones exigidas.
r
r
EJERCICIO 8 : Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen ,
r
r
el mismo módulo u = v = 2.
r r
r r
a) ¿Cuál es el módulo de u + v? ¿Y el de u − v?
r r
r r
b) Demuestra que u + v y u − v son perpendicu lares.
Solución:
r r 2
r r
r r r r r r r r r r
r
a) u + v = (u + v ) · (u + v ) = u · u + u · v + v · u + v · v = u
2
r r r
+2·u· v+ v
2
=
r
r
r r
= 4 + 2 · u · v · cos (u, v ) + 4 = 4 + 8 ·
2
r r
+ 4 = 8+4 2
→ u + v = 8 + 4 2 ≈ 3,70
2
r r 2 r r
r r
r 2
r r r 2
r
r
u − v = (u − v ) · (u − v ) = u − 2u · v + v = 4 − 2 · u · v · cos 45o + 4 = 8 − 4 2
r r
u − v = 8 − 4 2 ≈ 1,53
r r
r r r r r r r r r r
r 2 r 2
r r
r r
b) (u + v ) · (u − v ) = u · u − u · v + v · u − v · v = u − v = 4 − 4 = 0 ⇒ (u + v ) ⊥ (u − v )
EJERCICIO 9 :
r
r
r
r r
Dados los vectores a (1, − 1, 0 ), b (0, 1, − 1) y c = ma − b :
r
r
a) Halla el valor de m para que a y c sean perpendicu lares.
r
r
b) Para m = 2, halla el ángulo que forman b y c.
Solución:
r
r r
a) c = ma − b = m(1, − 1, 0) − (0, 1, − 1) = (m, − m − 1, 1)
r r
r r
1
a ⊥ c → a · c = (1, − 1, 0 ) · (m, − m − 1, 1) = m + m + 1 = 2m + 1 = 0 → m = −
2
r
r
r
b) Para m = 2, queda c (2, − 3, 1). Si llamamos α al ángulo que forman b y c,
r r
b · c
−4
−4
tenemos que: cos α = r
=
≈ 0,76 → α = 139 o 27' 51' '
r =
2 · 14
28
b · c
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
→
→
EJERCICIO 10 : Dados los vectores
→
→
→
→
→
→
→
b y tenga el mismo módulo que a .
s
r
r
Solución: a (2, − 1, 0 )
b (1, 2, − 1)
c (x , y, 0)
r r
r r
 x = −2y
c ⊥ b → c · b = 0 → x + 2y = 0

 y = −1 → x = 2
2
2

r
r
c = a →
x 2 + y 2 = 5 → x 2 + y 2 = 5 4 y 2 + y 2 = 5 5 y = 5 → y = 1 →  y = 1 → x = −2

Hay dos soluciones:
r
• x = 2, y = −1, que correspond e a c (2, − 1, 0 ).
r
• x = −2, y = 1, que correspond e a c (− 2, 1, 0 ).
PRODUCTO VECTORIAL
r
r
Dados los vectores u (1, 3, 0) y v (2, 1, 1):
r
r
r
a) Halla un vector, w , de módulo 1, que sea perpendicular a u y a v.
r
r
b) ¿Cuál es el área del paralelogramo determinado por u y v?
EJERCICIO 11 :
Solución:
r
r
r r
a) Un vector perpendicu lar a u y a v es: u × v = (1, 3, 0 ) × (2, 1, 1) = (3, − 1, − 5 )
r r
r
 3
u× v
Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1: w = r r = 
,
u× v
 35
 3
 −3
−1
−5 
 y 
Hay dos soluciones: 
,
,
,


35
35 
 35
 35
r r
b) Área = u × v = 35 ≈ 5,92 u2
1
−1
35
,
−5 

35 
5 


35 
,
35
EJERCICIO 12 :
r
r
a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquiera, se tiene que:
(ur − vr ) × (ur + vr ) = 2(ur × vr )
r
r
b) Halla un vector perpendicular a u (2, − 1, 1) y a v (3, 0, − 1).
Solución:
r r
r r r r r r r r r r (*) r r r r r r
r r
a) (u − v ) × (u + v ) = u × u + u × v − v × u − v × v = 0 + u × v + u × v − 0 = 2 (u × v )
r r r
r r
r r
(*) Tenemos en cuenta que u × u = 0 y que u × v = −v × u.
b) u × v = (2, − 1, 1) × (3, 0, − 1) = (1, 5, 3 )
→
EJERCICIO 13 : Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por
→
v (0,m,1) sea 2.
Solución:
r
r
r r
• El área del paralelogr amo determinad o por u y v es igual a u × v .
r r
r r
• Calculamos u × v y hallamos su módulo : u × v = (2, 0, 1) × (0, m, 1) = (− m, − 2, 2m )
r r
u×v =
(− m)2 + (− 2)2 + (2m)2
= m2 + 4 + 4m2 = 5m2 + 4
Igualamos a 2: Área = 5m 2 + 4 = 2
→
a =2 i - j ; b = i + 2 j – k ; halla x e y de forma que c =x i + y j
→
sea perpendicular a
→
4
→
5m 2 + 4 = 4
→
5m 2 = 0
→
m=0
u (2,0,1) y
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
5
EJERCICIO 14 :
a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0)
r r r r r r
b) ¿Es cierto que (u × v )× w = u × (v × w )? Pon un ejemplo.
Solución:
a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5)
 2
1
−5 

,
,
Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1: 
30
30 
 30
 −2
−1
5 

También cumple las condiciones su opuesto: 
,
,
30
30 
 30
r
r
r
b) En general, no es cierto. Por ejemplo: u = (1, 0, 0)
v = (1, 0, 0)
w = (0, 1, 0)
r
r

r r r r r r
(ur × vr )× wr = 0 × wr = 0
 Por tanto, (u × v ) × w ≠ u × (v × w ).
r r r
r
u × (v × w ) = u × (0, 0, 1) = (1, 0, 0) × (0, 0, 1) = (0, − 1, 0 )
→
EJERCICIO 15 : Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores
r
r
r
(
) (
)
(
)
siendo: u 2 , − 1, 1 , v 0 , 1, − 1 y w 1, 0, 1
→
→
→
u x v y u x w,
Solución:
r r r
r r r
r r
r r
• Calculamos u × v y u × w : a = u × v = (0, 2, 2)
b = u × w = (− 1, − 1, 1)
El área del paralelogramo determinado por a y b es igual al módulo del producto vectorial:
r r
a × b = (0, 2, 2) × (− 1, − 1, 1) = (4, − 2, 2)
Área = 42 + (− 2)2 + 22 = 16 + 4 + 4 = 24 ≈ 4,90 u2
PRODUCTO MIXTO
EJERCICIO 16 :
→
→
→
u (2,-1,1), v (3,0.-2), w (2,-3,0)
r r r
r r r r
b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: [2u, v, w ]; [u, v, u + v ]
a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
Solución:
r r
r
a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto
−1 1
0 − 2 = −17
2 −3 0
2
r r r
de su producto mixto: [u, v, w ] = 3
→
Volumen = 17 u 3
r r r
r r r
b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que: [2u, v, w ] = 2[u, v, w ] = 2 ⋅ (− 17 ) = −34
[ur , vr , ur + vr ] = 0 (el tercer vector depende linealment e de los dos primeros).
EJERCICIO 17 :
→
→
→
a) Halla los valores de m para que los vectores u (0,1,1), v (-2,0,1) y w (m,m-1,1) sean linealmente
independientes.
r r
r
b) Estudia si el vector (2, 1, 0 ) depende linealmente de u, v y w para el caso m = 3.
Solución:
a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero:
0
1
1
r r r
[u, v, w ] = − 2 0 1 = 4 − m = 0 → m = 4 ⇒ Ha de ser m ≠ 4.
m
m −1 1
r r
r
b) Para m = 3, los vectores u, v y w son linealment e independie ntes, y forman una base de R3.
Por tanto, cualquier vector de R3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos.
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
→
→
6
→
EJERCICIO 18 : Dados los vectores u (1,2,3), v (1,1,1) y
a) determinen un paralelepípedo de volumen 10.
w (1,λλ,5), halla el valor de λ para que:
b) sean linealmente dependientes.
Solución:
r r
r
a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto
1 2 3
r r r
de su producto mixto: [u, v, w ] = 1 1 1 = 2λ − 6
1 λ 5
2λ − 6 = 10 → 2λ = 16 → λ = 8
Volumen = 2λ − 6 = 10 
⇒
2λ − 6 = −10 → 2λ = −4 → λ = −2
Hay dos soluciones : λ1 = 8 ,
λ2 = −2
r r r
b) Su producto mixto ha de ser cero: [u, v, w ] = 2λ − 6 = 0
r
(
→
) r(
λ=3
)
r
(
)
EJERCICIO 19 : Dados los vectores u 1, 0, − 1 , v 0, 2, − 1 y w 2, − 2, 1 , se pide:
a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.
r
b) Halla, si existe, el valor de α para que el vector a (α, α, − 6 ) se pueda expresar como
r
r
combinació n lineal de u y v.
Solución:
1
r r r
a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: [u, v, w ] = 0
0
2
2 −2
r
r r
r
b) Los vectores u, v y a han de ser linealment e dependient es (u y
1 0
r r r
por tanto, su producto mixto ha de ser cero: [u, v, a] = 0 2
−1
−1 = 4
→
Volumen = 4 u 3
1
r
v son linealment e independientes);
−1
− 1 = 3α − 12 = 0
→
α=4
α α −6
EJERCICIO 20 :
r
r
r
a) Demuestra que los vectores u (k, − 3, 2 ), v (k, 3, 2 ) y w (1, 0, 0 ) son linealment e independientes,
cualquiera que sea el valor de k.
r r
r
b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w ?
Solución:
a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k.
k −3 2
[ur , vr , wr ] = k 3 2 = −12 ≠ 0 para todo k.
1 0 0
b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen = 12 u3
REPASO
r
r
r
EJERCICIO 21 : Dados los vectores u (2, − 1, 1), v (3, − 1, 0 ) y w (m, 2, − m ):
r
r
a) Halla el valor de m para que u y w sean perpendicu lares.
r
r
r
r
b) Calcula el ángulo que forman u y v.
c) Halla el área del triángulo que determinan u y v.
Solución:
r
r
a) Para que u y w sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero :
r r
u · w = (2, − 1, 1) · (m, 2, − m ) = 2m − 2 − m = m − 2 = 0 → m = 2
r
r
b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que :
r r
|u · v |
7
7
cos α = r
=
≈ 0,904 → α = 25 o 21' 6 ' '
r =
|u|·| v |
6 · 10
60
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
c) Área =
7
1 r r
1
(1, 3, 1) = 1 1 + 9 + 1 = 1 11 ≈ 1,66 u 2
u×v =
2
2
2
2
r
r
r
EJERCICIO 22 : Consideram os los vectores a (1, 1, 2 ), b (0, − 2, 1) y c (3, 2, 1). Calcula:
r
r
a) El área del triángulo que determinan a y b.
r r
r
b) El volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c.
Solución:
1 r r
1
(1, 1, 2) × (0, − 2, 1) = 1 (5, − 1, − 2) = 1 25 + 1 + 4 = = 1 30 ≈ 2,74 u 2
a×b =
2
2
2
2
2
b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:
1 1 2
r r r
a, b, c = 0 − 2 1 = 11 → Volumen = 11 u 3
3 2 1
a) Área =
[
]
EJERCICIO 23 :
r
r
r
Dados los vectores u (− 1, 1, 1), v (2, 0, − 3) y w (k , 1, k ):
r r
r
a) Halla el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w valga 11 u3 .
r
r
b) Calcula el ángulo que forman u y v.
Solución:
a) El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:
− 12

−1 1 1
r r r
− 5k − 1 = 11 → k = 5
[u, v, w ] = 2 0 − 3 = −5k − 1 ⇒ Volumen = − 5k − 1 = 11 → 
− 5k − 1 = −11 → k = 2
k 1 k

r
r
b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que:
r r
|u · v |
| −5 |
5
cos α = r
=
≈ 0,80 → α = 36 o 48 ' 31' '
r =
|u|·| v |
3 · 13
39
EJERCICIO 24 : Dados los puntos A(-2,0,1), B (1,-3,2), C (-1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula:
a) El área del triángulo de vértices A, B y C.
b) El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
Solución:
a) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4 )
Área =
(− 16, − 11, 15 )
1
1
AB × AC =
2
2
=
b) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4); AD (5, 1, − 3)
3
[AB, AC, AD ] = 1
−3
1
4
4
1
−3
5
1
2
(− 16 )2 + (− 11)2 + 15 2
= =
1
2
602 = 12,27 u 2
= −136 → Volumen = 136 u 3
EJERCICIO 25 : Sean los puntos A (2, -1, 3), B(-1,5,m), C (m, 2, -2) y D (0, 1,-3). Calcula el valor de
m , sabiendo que el paralelepí pedo determinado por los vectores AB, AC y AD tiene un
volumen de 40 u 3 .
Solución:
AB (− 3, 6, m − 3 ); AC (m − 2, 3, − 5); AD (− 2, 2, − 6)
−3
[AB, AC, AD] = m − 2
−2
6 m−3
3
−5
2
−6
= [54 + 2(m -2)(m -3) +60] – [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m2 + 32m + 6
Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
8
Volumen: V = |2m2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades:
• 2m2 + 32m + 6 = 40 ⇒ 2m2 + 32m - 34 = 0 ⇒ m2 +16m - 17 = 0
− 16 ± 256 + 68 − 16 ± 324 − 16 ± 18 m = 1
m=
=
=

2
2
2
m = −17
2
2
• 2m + 32m + 6 = -40 ⇒ 2m + 32m + 46 = 0 ⇒ m2 + 16m + 23 = 0
− 16 ± 256 − 92 − 16 ± 164 − 16 ± 2 41
=
=
= −8 ± 41
2
2
2
Hay cuatro soluciones: m1 = −17 ; m2 = 1; m3 = −8 + 41 ; m4 = −8 − 41
m=
REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO
EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes:
a) A(2, 3, -4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4)
b) A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, -3, 1)
c) A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, -1, 3)
d) A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, -2, 4)
Solución:
APLICACIONES DE LOS VECTORES
EJERCICIO 27 : Los puntos A(3, 0, 2), B(5, -1, 1) y C(-2, 3, 1) son vértices consecutivos de un
paralelogramo. Obtén el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.
Solución:
Como se trata de un paralelogramo, se tiene que AB = DC. Si D = (x, y, z ):
(2,-1,-1)=(-2-x,3-y,1-z) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 ⇒ D(-4, 4, 2)
El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:
1 3 3
M= , , 
2 2 2
EJERCICIO 28 : Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos
A(3,-1, 2) y B(-2, 2, 4) en tres partes iguales.
Solución:
AB = 3AP ⇒ (-1,3,2) = 3(x-3, y+1, z-2) ⇒ P(x,y,z) =
8 8
 ,0, 
3 3
8
8

 −2 0+ 2 + 4
3
 =  2 ,1, 10 
Q = Pto_medio PB = 
,
,3
2
2  3 3 
 2




Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato
9
EJERCICIO 29 : Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, -1) y B(2,-2, 3). El
centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, -1). Halla los otros dos vértices.
Solución:
Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2).
3 + x1
=1
2
C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:
0 + y1
=2
2
− 1 + z1
= −1
2
2+ x2
=1
→
2
D es el simétrico de B respecto de M. Así:
− 2 + y2
=2
2
→
3+ z2
= −1 →
2

→ x 1 = −1



→ y1 = 4  C = (− 1, 4, − 1)



→ z1 = −1


x2 = 0 



y 2 = 6  D = (0, 6, − 5)



z 2 = −5

EJERCICIO 30 : Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:
A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)
Solución:
Los puntos A , B y C están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan
la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:
6−2 5−a 2−0
5−a
=
=
⇒
=2
8−6 7 −5 3−2
2
→
5−a = 4
→
a =1
EJERCICIO 31 : Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1,-3) respecto de Q(3, 5, 1).
Solución:
2+α

= 3 → α = 4
2



1+ β
Llamamos P '(α,β,γ),de manera que:
= 5 → β = 9  P' (4, 9, 5)
2


−3+ γ

= 1 → γ = 5

2