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Elementos generales de longitud, superficie y volumen
Coordenadas Cartesianas
FIGURA Nº 1
En la figura nº 1 se muestran los diferentes elementos infinitesimales de
longitud, de superficies y de volumen, que vienen expresados del modo siguiente:
G
dl = dx xˆ + dy yˆ + dz zˆ
G
dS x = dy ⋅ dz xˆ
G
dS y = dx ⋅ dz yˆ
G
dS z = dx ⋅ dy zˆ
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
1
Coordenadas Cilíndricas
FIGURA Nº 2
En la figura nº 2 se muestran los cambios infinitesimales en las coordenadas que
nos definen el elemento de volumen. El razonamiento para determinar los diferentes
elementos infinitesimales es como sigue:
Si estamos en un punto dado ( ρ , φ , z ) y efectuamos un cambio infinitesimal
d ρ según la coordenada ρ , un cambio infinitesimal dφ según la coordenada φ y un
cambio infinitesimal dz según la coordenada z , nos definen tres longitudes de valores
dados por ( d ρ , ρ dφ , dz ) que forman un elemento de volumen como el mostrado en la
figura. Por tanto el vector desplazamiento infinitesimal que une los dos puntos será:
G
G
G
G
dl = d ρ aρ + ρ dφ aφ + dz az
Los elementos de superficie asociados a cada una de las caras del elemento de
volumen, como se muestra en la figura nº 3, vienen dadas por
G
G
dS ρ = ρ dφ ⋅ dz aρ
G
G
dSφ = d ρ ⋅ dz aφ
G
G
dS z = d ρ ⋅ ρ dφ az
2
FIGURA Nº 3
El elemento de volumen, viendo la figura nº 2, será:
dV = d ρ ⋅ ρ dφ ⋅ dz = ρ d ρ ⋅ dφ ⋅ dz
Por último en la figura nº 4 se muestran de igual modo los elementos de
superficie y volumen cuando las coordenadas son nombradas por ( r , φ , z ) en lugar de
( ρ , φ , z ) y se han nombrado a los vectores unitarios de la base de diferente forma.
FIGURA Nº 4
3