Sistema de 2do Orden

SISTEMA DE 2DO. ORDEN
C ( s) =
wn
2
2
s( s 2 + 2ζwn s + wn )
2
Primer Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos reales diferentes cuando ζ > 1 .
“Sobreamortiguamiento”
2
wn
A
B
C
C ( s) =
= +
+
s( s + p1 )( s + p 2 ) s s + p1 s + p 2
p1 = −ζwn + wn (ζ 2 − 1)
p1 = −ζwn − wn (ζ 2 − 1)
c(t ) = A + Be − p1t + Ce − p2t
La respuesta de c(t) incluye dos términos exponenciales decrecientes.
Ejemplo Matlab:
wn=1;
z=2;
G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2])
step(G)
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Time (sec)
20
25
30
2
Segundo Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos reales iguales, cuando ζ = 1 . “Amortiguamiento
Crítico”
2
C ( s) =
wn
A
B
C
= +
+
2
2
s (s + p)
s+ p
s( s + p)
p = −ζwn
c(t ) = A + Bte −ζwnt + Ce −ζwnt
La respuesta de c(t) también incluye dos términos exponenciales decrecientes.
Ejemplo Matlab:
wn=1;
z=1;
G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2])
step(G)
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
2
Tercer Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos imaginarios conjugados, cuando 0 < ζ < 1 .
“Sub-Amortiguamiento”
C ( s) =
wn
2
2
s( s 2 + 2ζwn s + wn )
c(t ) = 1 −
φ = tan −1
c(t ) = 1 −
1
1− ζ
2
(
e −ζwnt sen wn 1 − ζ 2 t + φ
)
(Por Tabla)
1− ζ 2
ζ
1
1− ζ
2
e −σt sen (wd t + φ )
σ
Atenueación
wn
Frecuencia Natural No Amortiguada
Wd
Frecuencia Natural Amortiguada
ζ
Relacion de Amortiguamiento
La respuesta de c(t) también incluye dos términos exponenciales decrecientes.
Ejemplo Matlab:
wn=1;
z=0.4;
G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2])
step(G)
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
Time (sec)
15
Para este caso particular es importante saber los valores del Sobre Impulso Máximo (Mp), Tiempo
de crecimiento (tr), Tiempo de pico (tp) y tiempo de establecimiento (ts); para ilustrar esto se da el
siguiente ejemplo gráfico:
Para calcular estos valores teóricamente se aplican las siguientes formulas:
tr =
π −β
Mp =e
wd
 1−ζ
β = tan 
 ζ

−1
tp =
−
π
wd
2




ζπ
1−ζ 2
% M p = M p ⋅ 100%
t s = 4τ
τ=
1
ζ wn
Ejemplo Matlab:
wn=1;
z=0.4;
G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2])
step(G)
wd=wn*sqrt(1-z^2)
tr=(pi-atan(sqrt(1-z^2)/z))/wd
tp=pi/wd
Mp=exp(-z/sqrt(1-z^2)*pi)*100
ts=4*1/(z*wn)
System: G
Step
Response
Peak amplitude:
1.25
Overshoot (%): 25.4
At time (sec): 3.44
1.4
1.2
System: G
Settling Time (sec): 8.41
1
Amplitude
System: G
Rise Time (sec): 2.17
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Time (sec)
Comparación de valores
Valores obtenidos de la gráfica
%Mp =25,4%
tp = 3,44 seg
tr = 2,17 seg
ts = 8,41 seg
Valores Calculados con las formulas
%Mp =25,38%
tp = 3,43 seg
tr = 2,16 seg
ts = 10 seg