la partícula sobre una esfera - Dr. Luis Alberto Montero Cabrera

Fundamentos de Química Teórica
LA PARTÍCULA SOBRE UNA ESFERA
El modelo de una partícula moviéndose en una configuración de
esfera perfecta, es decir, a una distancia fija de un centro dado,
pero en tres dimensiones, es un caso significativo al problema
atómico, donde los electrones se mueven en torno a un núcleo. Es
por eso importante obtener la función de onda que describa a este
modelo.
Si la posición de una partícula en cualquier lugar del espacio está
dada por su vector de posición r , entonces la ecuación de
Schrödinger en tres dimensiones se puede escribir como:
2 2 ˆ −
∇ rψ (r ) + Vrψ (r ) = Eψ (r )
2m
Si la posición de la partícula se expresa en coordenadas esféricas y
si establecemos que la energía potencial sólo depende del radio r,
entonces la ecuación tomaría la forma:
2 2
−
∇ rθφψ (r ,θ , φ ) + Vˆrψ (r ,θ , φ ) = Eψ (r ,θ , φ )
2m
© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.
Fundamentos de Química Teórica
Si el laplaciano en esféricas puede escribirse como:
 ∂2 
∂ 
∂ 
1 ∂  2 ∂
1
1
2
∇ = 2 r
+ 2
 sin θ
 + 2 2  2 
∂
∂
∂
∂
r
r
θ
θ

 r sin θ

 r sin θ  ∂φ 
r
y la partícula libre en una esfera se sitúa a una distancia constante
del centro que tomaremos como unitaria, entonces r = re = 1.
De esta forma el hamiltoniano queda asociado al operador del
momento angular:
} 2
Hˆ (θ , φ ) = −
∇
2m
1 ∂2 
}2  1 ∂ 
∂ 
=− 
+
 sin θ

2 I  sin θ ∂θ 
∂θ  sin 2 θ ∂φ 2 
Lˆ2
=−
2I
2
donde I = µr es el momento de inercia. Si ahora sacamos sin2 θ
como factor común, el operador cuadrático del momento angular
L̂2 y su componente en la coordenada z se expresan como:
2 
∂ 
∂  ∂2 
2
ˆ
L = − 2 sin θ
+ 2
 sin θ
θ
θ
∂
∂
 ∂φ 

sin θ 
∂
Lˆ z =
i ∂φ
© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.
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Como se vio anteriormente, los operadores L̂2 y L̂z conmutan y
por lo tanto tienen las mismas funciones propias. Para nuestra
componente unitaria y constante de la distancia al núcleo, tales
funciones propias se conocen como los armónicos esféricos
Y(θ,φ) y su ecuación de Schrödinger sería, en forma general:
∂ 
∂Y (θ , φ )  ∂ 2Y (θ , φ ) 2 IE sin 2 θ
sin θ
+
Y (θ , φ ) = 0
 sin θ
+
∂θ 
∂θ 
∂φ 2
2
Si se condiciona a que las variables se separen Y (θ , φ ) = Θ(θ )Φ (φ ) ,
entonces:
2 IE sin 2 θ
∂ 
∂Θ 
∂ 2Φ
sin θ
ΘΦ + 2 Θ = 0
 sin θ
Φ +
∂θ 
∂θ 
∂φ
}2
1
1 ∂ 2Φ
∂ 
∂Θ  2 IE sin 2 θ
sin θ
=−
 sin θ
+
Φ ∂φ 2
Θ
∂θ 
∂θ 
}2
y por conveniencia, ambos términos que son evidente y
completamente independientes, se hacen iguales a un valor ml2 .
La primera ecuación resultante es idéntica a la de la partícula sobre
un anillo y el valor propio es justamente ml2 :
−
d 2Φ
dφ 2
= ml2Φ
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Teniendo en cuenta la ecuación anterior, la solución de la partícula
sobre un anillo y como se sabe que Φ(φ) es función propia de la
componente del momento angular:
2
Φ (φ )
d
2
2
2
2
2 2
(
)
Φ (φ )
=
L
Φ
φ
=
m
Lˆ z Φ = Lz Φ ⇒ z
l
2
dφ
Por lo tanto, y con condiciones de contorno tales que
Φ(φ ) = Φ (φ + 2π ) se llega a la función de onda:
1 iml φ
Φ ml (φ ) =
e
2π
y los valores propios de la componente del momento angular son
discontinuos y enteros:
Lz , ml = ml (ml = 0, ±1, ±2, ...)
La segunda ecuación resultante es:
1
∂ 
∂Θ  2 IE sin 2 θ
sin θ
= ml2
 sin θ
+
2
Θ
∂θ 
∂θ 
∂ 
∂Θ   2 2 IE sin 2 θ 
Θ
sin θ
 sin θ
 = ml −
2

∂θ 
∂θ  

que es otra ecuación donde el valor propio del operador diferencial
 2 2 IE sin 2 θ 
.
sobre Θ es  ml −
2



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La solución de esta ecuación existe cuando se puede hacer:
2 IE
2
= l (l + 1) donde l = 0, 1, 2, ... y además 0 ≤ m ≤ l
y está dada por una serie de potencias. Las mismas se denominan
polinomios de Legendre:
 (2l + 1) (l − ml )! 2 m
Θl , ml (θ ) = 
 Pl (cosθ )
(
)
+
2
l
m
!
l 

1
donde
Pl (cosθ ) =
0
Pl
ml
l
2
(
)
cos
θ
−
1
2i l! d cosθ l
dl
1
(cosθ ) = (1 − cos θ )
2
ml
2
d
ml
dx
ml
Pl0 (cosθ )
Consecuentemente, los armónicos esféricos constituyen la función
angular total:
 (2l + 1) (l − ml )! 2 imφ m
Yl , ml (θ , φ ) = 
 e Pl (cosθ )
(
)
+
4
π
l
m
!
l 

1
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Los armónicos esféricos son entonces funciones propias tanto de
L̂2 como de L̂z :
Lˆ zYml ,l (θ , φ ) = ml Yml ,l (θ , φ )
Lˆ2Yml ,l (θ , φ ) = l (l + 1) 2Yml ,l (θ , φ )
Como conclusión podemos afirmar que una partícula que se mueve
o rota sobre una esfera, esto es, a una distancia unitaria y constante
de un centro, tiene momentos angulares discontinuos y dados por
dos números enteros, llamados números cuánticos
interdependientes.
Los números cuánticos tienen nombres históricos dados por las
primeras proposiciones teóricas, anteriores a la mecánica cuántica.
Así se llama número cuántico azimutal al denominado por l que
da valor, sobre todo, al momento angular total de la partícula y que
toma valores de 0, 1, 2, ... Se llama número cuántico magnético
al que da valor a la proyección del momento angular sobre un eje
para un momento angular dado ml y que toma valores 0, ±1,.., ±ml.
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