Solución de la interacción ión-láser en varios regímenes Hector

Solución de la interacción
ión-láser en varios regímenes
Hector Moya-Cessa
Instituto Nacional de Astrofísica, Optica y Electrónica
Tonantzintla, Pue.
http://speckle.inaoep.mx/ICSSUR/hector_moya.htm
Resumen
• Atrapamiento de iones
• Interacción ión-láser (intensidad baja, sin
dependencia en t)
• Solución para diferentes intensidades.
• Invariantes para el problema dependiente de t,
generalización de una transformación
• A futuro: 2 modos, muchos iones
• Conclusiones
http://tf.nist.gov/ion/
Solución del problema independiente de t,
para baja intensidad
Energía
energía
vibracional del ión
interacción dipolar
Consideramos una onda plana
Parámetro de Lamb-Dicke
η = 2π
< ∆x >
2
λ
Operador de desplazamiento de Glauber
Hamiltoniano de interacción
Baker-Hausdorff
Efectos de operadores de desplazamiento
En funciones de posición y momento
e
e
e
e
ixˆα
ˆ
pe
ixˆ n α / n
ipˆ α
ˆ
xe
ipˆ n α / n
− ixˆα
ˆ
pe
− ixˆ n α / n
− ipˆ α
ˆ
xe
= pˆ − α
n −1
ˆ
ˆ
= p −α x
= xˆ + α
− ipˆ n α / n
= xˆ + pˆ α n −1
Ω<<ν
Aproximación
de onda rotante
(RWA)
D. LEIBFRIED, D. M. MEEKHOF, B.E. KING, C. MONROE,
W.M. ITANO AND D.J. WINELAND
W (α ) =
∞
n
(
−
1)
< α ,n | ρ |α ,n >
∑
n=0
F (α ; s ) ~ < σ x >
Solución para diferentes intensidades
1 0 
= A22 − A11
σz = 

0 −1
0 1 
= A21
σ+ = 

0 0 
0 0 
= A12
σ− = 

1 0 
Matrices de pauli
Podemos considerar ahora intensidad baja
Ω<<ν, o alta Ω >>ν y obtener hamiltonianos efectivos (via
pequeñas rotaciones), L.M. Arévalo-Aguilar and H. MoyaCessa, Phys. Rev. A65, 053413 (2002). Generalized Qubits
of the Vibrational Motion of a Trapped Ion
^
†
U 1 = e ξ1 ( a
ξ1 =
^
^
σ + −a σ − )
ην
2(2 Ω + ν )
^
δ
^
^
†
U 2 = eξ 2 ( a σ + − a
ξ2 =
ην
2(2 Ω − ν )
^
H = ν n + σ x + Ωσ z − χσ z (n + 1/ 2)
2
σ− )
O el caso intermedio Ω~ν,
η<<1, δ=0
iην +
(a σ − − aσ + )
H = ν n + Ωσ z +
2
^
^
Conocido como modelo de Jaynes-Cummings
en la interacción átomo con campo cuantizado
Más soluciones para parámetros arbitrarios:
podemos encontrar algunos eigenestados
del hamiltoniano
H. Moya-Cessa, D. Jonathan and P.L. Knight
J. OF MODERN OPTICS 50, 265 (2003). A family of exact
eigenstates for a single trapped ion interacting with a laser
field
Frecuencia dependiente de t
^
^
2
p
q ω21
2
−
+
H = + ω (t ) +
σ z + Ω  E σ + + E σ − 
2
2
2
^
2
ω (t ) = a + 2q cos(ωrf t )
2
Micro-movimiento
Se puede usar teoría de Floquet.
En P.J. Bardroff, C. Leichtle, G. Schrade, and W.P. Schleich
Phys. Rev. Lett. 77, 2198 (1996) demuestran que se puede obtener
todavía interacciones k-fonones
Veamos ahora el problema con INVARIANTES de movimiento
Oscilador armónico dependiente de t, clásico
••
q + ω (t )q = 0
2
d 2φ
+ [ E − V ( x)]φ = 0
2
dx
Invariante de Ermakov-Lewis
2


•
•
1  q 
I =   + ( ρ q − q ρ )2  ,
2  ρ 



  2

1 φ
dφ
dρ 2
−φ
Iφ =   + ( ρ
) ,
2  ρ 
dx
dx 


Lewis, PRL (1967).
••
ρ + ω 2 (t ) ρ = 1/ ρ 3
Ecuación de Ermakov
d 2ρ
3
+
[
E
−
V
(
x
)]
ρ
=
1/
ρ
dx 2
Caso cuántico
^
 ^ 

^
^
^ •
1  q 
+ ( ρ p − q ρ )2 
I=

2  ρ 
 

2
Compresión
y
p2
q
2
H = + Ω (t )
2
2
^
∂ |ψ >
i
= H |ψ >
∂t
desplazamiento
^ ^
^
S =e
ln ρ ^ ^ ^ ^
i
(q p+ p q)
2
∂ |ϕ >
= H 0 | ϕ >,
i
∂t
^
a=
^
q+ i p
2
•
^
D=e
^2
^
2
ρ 2
q
−i
2ρ
^
^
| ψ >= S D | ϕ >≡ T | ϕ >
H. Moya-Cessa and M. Fernández Guasti
PHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003). Coherent states for
the time dependent harmonic oscillator: the step function
^2
^
1 p +q
1
≡ ϖ (t ) (n + )
H0 = 2
ρ (t ) 2
2
Se ha factorizado la
dependencia temporal
A
B
ρ≅
+
cos[ω ( A, B )t ]
A+ B A+ B
^
S =e
ln ρ ^ ^ ^ ^
i
(q p+ p q)
2
•
^
D=e
ρ 2
q
−i
2ρ
^
^
^
2
^
^
ω
p
q


− ik q − iωL t
− ik q + iωL t
2
21
H = + ω (t ) +
σ z + Ω e
σ+ + e
σ− 
2
2
2


2
^
^ ^
^
^
T qT = ρ q
^
^
δ
†
H T = ϖ (t ) n + σ z + g  e

2
− iηρ ( a + a + )
ϖ (t ) = ρ −2
σ− + e
σ + 
iηρ ( a + a + )
 †  iηρ 
 iηρ  
 D  2  D  2 
1 




R=
2  †  iηρ 
 iηρ  
− D 
 D

 2 
 2 

^
^
δ
*
†
H R = ϖ (t ) n + ( β a + β a + )(σ + + σ − ) + Ωσ z
2
J.M. Vargas-Martínez and H. Moya-Cessa
J. of Optics B6, S618-S620 (2004). Solution of a trapped ion with time dependent
frequency
η
•
••
••
β = − ( ρ + i ρ ) ρ + Ω (t ) ρ = 1/ ρ
−1
2
3
ε + Ω (t )ε = 0
2
2
•
*
ε e ∫
− i ω ( t ) dt
•
= (ρ + iρ )
−1
ε = ρe
−i
dt
∫ ρ2
 dt 
ρ = ε 1+  ∫ 2 
 ε 
2
Futuro también: considerar N iones: ¿Es posible
transformar el Hamiltoniano independiente de t?
¿Y el dependiente de t?
Conclusiones
• Se ha mostrado una transformación que permite obtener un
hamiltoniano lineal en operadores de creación y
aniquilación para la interacción ión-láser.
• Se ha generalizado para el caso dependiente de t, mediante
métodos que involucran invariantes del oscilador armónico
dependiente de t.