La distribución de Poisson - Teoría y ejemplos

La distribución de Poisson
Walter López Moreno, MBA, cDBA
Centro de Competencias de la
Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
©Todos los derechos son reservados
2006-07
Tabla de contenido
Introducción
Objetivos de la presentación
Instrucciones de cómo usar la presentación
Dato histórico
Utilidad
Propiedades de un proceso de Poisson
La distribución de Poisson
La función
Ejemplos
Tabla de contenido
La tabla de la probabilidad de Poisson
Ejemplos
Ejercicio de redacción
La media y la desviación estándar
Resumen
Ejercicios de prueba
Vídeo de repaso de conceptos
Glosario de términos
Referencias
Introducción
En este módulo se describe el uso de la distribución de
Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de
sucesos raros cuyo resultado lo representa una
variable discreta.
Se recomienda haber estudiado primero los módulos
de las Reglas de probabilidad, el de Distribución
normal y luego el de Distribución Binomial.
Objetivo general del módulo
Este módulo va dirigido al estudiantado de
Administración de Empresas en sus distintas
concentraciones.
Esperamos que cuando termines esta presentación
puedas determinar cómo y cuándo se debe utilizar la
distribución de Poisson para obtener las
probabilidades de aquellas situaciones gerenciales
que ocurren de forma impredecible y ocasional.
Objetivos específicos
Además, esperamos que puedas:
1.
Identificar las propiedades de una distribución Poisson.
2.
Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para
establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.
3.
Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándar
utilizando las variables de la distribución de Poisson.
Instrucciones de cómo usar la
presentación
La presentación inicia con las características que definen un
proceso de Poisson.
Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajas
la presentación.
Siempre que se presente la siguiente figura:
puedes presionarla para navegar adecuadamente
a través de toda la presentación.
Instrucciones de cómo usar la
presentación
Durante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazar
el glosario de términos y regresar al lugar de origen
presionando:
También encontrarás comentarios de apoyo y
retroalimentación en recuadros como el siguiente:
Notas de apoyo y
retroalimentación
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás
establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.
Dato histórico
La distribución de Poisson se llama así
en honor a su creador, el francés
Simeón Dennis Poisson (1781-1840),
Esta distribución de probabilidades fue
uno de los múltiples trabajos matemáticos
que Dennis completó en su productiva trayectoria.
Utilidad
 La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el
total de posibles resultados.
 Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con
resultado discreto.
 Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad
de éxitos p es pequeña.
 Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se
distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia,
área, volumen o tiempo definido.
Ejemplos de la
utilidad
 La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
 Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
 Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
 Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de
producto terminado.
La distribución de Poisson se emplea
para describir procesos con un elemento
en común, pueden ser descritos por una
variable aleatoria discreta.
Propiedades de un
proceso de Poisson
1.
La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamaño de muestra n es constante.
2.
El evento debe considerarse un suceso raro.
3.
El evento debe ser aleatorio e independiente de otros
eventos
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.
La distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de
éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el
modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
La función P(x=k)
A continuación veremos la función de probabilidad de la
distribución de Poisson.
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta
X toma un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,
volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La
constante e tiene un valor aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad
Ejemplo1 de la función
F (x=k)
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de
manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300
días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es
menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de
distribución de Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300
días de trabajo es de 8.9%.
Ejemplo 2 de la función
F(x=k)
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de
0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya
fabricados hayan 5 defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor
que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que
aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.
Tablas de probabilidad de Poisson
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los
ejemplos anteriores.
Para esto, usted debe saber los valores X y λ.
X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen,
área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.
Del ejemplo 1:
λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2:
λ = 0.012 * 800 = 9.6
Tabla de probabilidad de Poisson
Obtenga más información de cómo asignar probabilidades
utilizando las tablas.
Cuando llegue al enlance lea las
páginas 4 a la 6. Estudie los
ejemplos y luego practique con
los ejercicios 2.1 y 2.2
Ejemplo 3
uso de tablas
Busque en los tres enlaces las tablas de probabilidad de Poisson
Resuelva el ejercicio 1 y el 2 por medio de las
tablas.
Para el Ejemplo 1: λ = 6 y k = 3 accidentes
Para el Ejemplo 2: λ = 9.6 y k=5 defectos
Ejemplo 4
uso de calculadora virtual
Compruebe el cómputo utilizando una calculadora
de probabilidad de Poisson
Cuando llegue al enlace, entre los
valores respectivos de cada ejercicio:
K en “poisson random variable”
λ en “average rate of success”
Repase los ejemplos
adicionales
Ejercicio de redacción
con experiencia interactiva
Observe el cambio de la distribución variando el parámetro λ
Presente una descripción escrita de las
observaciones que obtiene al variar el valor de
lambda. ¿Qué características tiene una
distribución de Poisson y cuándo se aplica?
Cuando llegue al enlance
precione el “+” y el “ - ”
La media μ y la varianza σ2
Características de la distribución
Poisson
Media
= E(X) = λ
Varianza
P(X)
.6
.4
.2
0
X
0
λ = σ2
k = 5 λ = 0.1
P(X)
.6
.4
.2
0
1
2
k=5
3
4
5
λ
= 0.5
X
0
1
2
3
4
5
17
En resumen
En este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante
el uso de la función de Poisson, las tablas de distribución y la calculadora
del enlace. Además, aprendimos que:
1.
La distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de
Bernoulli.
2.
La media
3.
La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson también es igual a λ.
4.
La desviacion estándar es la raíz de λ.
λ.
μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a
Ejercicios de prueba
Los siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos utilizando
la distribución binomial en el módulo con ese mismo nombre.
Refiérase a los ejercicios en ambos módulos y compare la
diferencia de cada pregunta.
¿Puede responder por qué se resuelven esta vez utilizando la
distribución de Poisson?
Demuestre su razonamiento.
Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3%
de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100
verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,
a) las 4 estén descompuestas.
b) de 1 a 3 estén descompuestas
Para resolver la pregunta “b” repase el
módulo de las reglas de probabilidad.
En este caso se resuelve sumando las
probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que
el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que,
a) 4 salgan defectuosos,
b) más de 5 tengan fuga de aceite.
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d) Determine el promedio y la desviación estándar de
amortiguadores con defectos.
La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde
P(x=6) en adelante.
En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de
una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200
alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están
defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
a) ninguno esté defectuoso,
b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos
d) más de tres estén con defectos
Para la pregunta “d” puede realizar
la siguiente operación:
1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin
que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra
de 15,
a) 12 duren menos de un año,
b) a lo más 5 duren menos de un año,
c) al menos 2 duren menos de un año.
Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la
probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona
aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de
construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción
Repaso de conceptos
Observe un vídeo de repaso de la distribución de probabilidad de Poisson
Cuando llegue al enlace haga clic en la columna izquierda
en “Poisson”
Nota: en el video el parámetro λ lo sustituyen en la
fórmula por μ. Como mencionamos anteriormente λ=μ
Glosario de términos
 Aleatorio – que ocurre al azar.
 Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica
cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el
experimento de Bernoulli.
 Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de
defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
 Experimento independiente – Cuando el resultado de un
experimento no tiene influencia en el resultado de otro
experimento.
Glosario de términos
 Resultado discreto – Son resultados con un número finito de
valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)
 Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia.
 Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de
muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo
o cualquier otra medida.
 Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un
número finito de valores de forma impredecible o al azar.
 Variable Discreta – Variable que puede obtener un
número finito de valores como 0, 1, 2, 3.
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y
economía. (8tva ed.). México:Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics.
(2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw
Hill.
http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf
http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
Referencias
 http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentospdf/dmtablas.pdf
 http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf
 http://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/
usage.html
 http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf
 http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_p
oisson.zip