1.6.ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES(*)

1.6 ESTIMACIÓN DE UNA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES
POBLACIONALES (Población 1 y 2). (Caso de muestras grandes)
El intervalo de 1001   % , resulta ser:
Límite inferior: p1  p 2   z tabla *
p1 * q 1 p 2 * q 2

n1
n2
Límite superior: p1  p 2   z tabla *
p1 * q 1 p 2 * q 2

n1
n2
donde:
;
n1: es el tamaño de la muestra tomada de la población 1
n2: es el tamaño de la muestra tomada de la población 2
p1 : es la proporción en la muestra tomada de la población 1; q1  1  p1
p 2 : es la proporción en la muestra tomada de la población 1; q 2  1  p 2
N es el tamaño de la población
z tabla : es el valor z de la tabla
Ejemplo1. En Hermosillo se toma una muestra aleatoria de 100 votantes y se
encuentra que 25 de ellos están a favor de un candidato a Senador. En Caborca se
toma una muestra aleatoria de 100 votantes y se encuentra que 45 de ellos están a
favor del candidato. Estimar con un intervalo de 95% de confianza la diferencia de
proporciones.
Solución: Los datos son:
En ciudad 1 (Caborca) se tiene: n 1  100; p1  0,45; q1  0,55; z tabla  1,96 ;
En ciudad 2 (Hermosillo) se tiene: n 2  100; p2  0,25; q2  0,75
Nota: tomar siempre como población 1 la que tenga p mas grande
 pˆ
 pˆ 2   z tabla *
1
0.45  0.25  1.96 
Pˆ1 * Qˆ 1 Pˆ2 * Qˆ 2

n1
n2
0,45 * 0,55 0,25 * 0,75

 0,06595 ;
100
100
por lo tanto:
Límite inferior: p̂1  p̂ 2   z tabla 
P̂1  Q̂1 P̂2  Q̂ 2

 0,20  0,1293  0,0707
n1
n2
Límite superior: p̂1  p̂ 2   z tabla 
P̂1  Q̂1 P̂2  Q̂ 2

0,20  0,1293  0,3293
n1
n2
36
“Se estima con un 95% de confianza que en Caborca el % a favor del candidato es
mayor que en Hermosillo, en un % que va entre 7,07% y 32,93%.
Utilizamos el siguiente procedimiento:
Aparece el siguiente recuadro donde introduciremos los datos de las dos muestras de
cómo aparece, procurando dar a la muestra 1 el valor de x que sea más grande En
Options… introduciremos el intervalo de confianza.
37
Ya que a la vez se calculan pruebas de hipótesis , tomaremos los datos del intervalo de
confianza (CI)
Difference = p (1) - p (2)
Estimate for difference: 0.2
95% CI for difference: (0.0707315, 0.329269)
Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 3.03
P-Value = 0.002
Si se diera que el intervalo contiene al cero (0), entonces se dice que no hay
diferencias en los % a favor en las dos ciudades”.
Ejemplo 2. Investigadores en genética del Centro Médico de la Duke University han
identificado el factor de transcripción E2F1 como un componente importante del
control de proliferación de las células. Los investigadores indujeron la síntesis de
DNA en dos lotes de células privadas de suero. Cada una de las células de un lote se
microinyectó con el gen E2F1, mientras las células del segundo lote (los controles) no
se expusieron al E2F1. Después de 30 horas se determinó el número de células en cada
lote que exhibieron un crecimiento alterado. Los resultados del experimento se
resumen en la tabla.
38
Control
Número total de células
Número
de
células
crecimiento alterado
con
158
15
Células tratadas con
E2F1
92
41
a). Compare los porcentajes de células que exhiben crecimiento alterado en los dos
lotes con un intervalo de confianza de 90%.
b). Utilice el intervalo del inciso anterior para hacer una inferencia acerca de la
capacidad del factor de transcripción E2F1 para inducir crecimiento en las células
Solución:
n1  92; P̂1  0,4456; Q̂1  0,5544; z tabla  1,645 ;
n2  158; P̂2  0,095; Q̂ 2  0,905
 pˆ
1
 pˆ 2   z tabla *
Pˆ1 * Qˆ 1 Pˆ2 * Qˆ 2

n1
n2
0.4455  0.095  1.645 *
0.44561 * 0.5544 0.095 * 0.905

92
158
0.3505  1.645 0.002685  0.000544
0.3505  0.09347
Límite inferior: 0.3505-0.09347=0.257
Límite superior:0.3505+0.09347=0.444
“Existe una mayor proliferación en las células tratadas con E2F1 en un rango que va de
25% al 44% aproximadamente”
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EJERCICIO 1.6 ESTIMACIÓN DE UNA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES
POBLACIONALES.
1. En el Journal of fish Biology (agosto 1990) se informó de un estudio comparativo
de la frecuencia de parásitos (solitarias) hallados en especies de peces del
Mediterráneo y del Atlántico. En el mar Mediterráneo se capturaron y disectaron
588 rodaballos, encontrándose el parásito en 211 de ellos. En el Océano Atlántico
se capturaron y disectaron 123 rodaballos, encontrándose infección en 26 de
ellos. Compare las proporciones de rodaballos infectados en los dos puntos de
captura empleando un intervalo de confianza de 90%. Interprete el intervalo.
R. 0.147± 0.069
2. El percance nuclear en Three Mile Island cerca de Harrisburg Pennsylvania, el
28 de Marzo de 1979 obligó a muchos residentes locales a evacuar sus hogares,
algunos de forma temporal, otros de forma permanente. A fin de evaluar el impacto
del accidente sobre la población del área, se diseñó un cuestionario que se envió por
correo a una muestra de 150 hogares antes de transcurridas dos semanas después de
que ocurriera el accidente. Se les preguntó a los residentes que opinión tenían antes y
después del accidente del hecho de que parte de la electricidad que consumían se
generara a partir de energía nuclear. En la siguiente tabla se proporcionan resultados
resumidos.
Actitud hacia la energía nuclear
En favor En contra Indiferente Totales
Antes del accidente
62
35
53
150
Después del accidente
52
72
26
150
a. Establez
ca un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en las verdaderas
proporciones de residentes de Three Mile Island que estaban en favor de la
energía nuclear antes y después del accidente
b. Establezca un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en las
verdaderas proporciones de residentes de Three Mile Island que estaban
en contra de la energía nuclear antes y después del accidente
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TAREA 1.6
1. En dos ciudades se tomaron muestras de automóviles, cada una de 100 automóviles.
En una ciudad 72 automóviles pasaron con éxito la prueba de seguridad, en la otra
solamente lo hicieron 66. Construya un intervalo de 95% de confianza para estimar
la diferencia de proporciones de autos seguros en las dos ciudades.
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