estabilizacion de un fluido en un manometro en u

ESTABILIZACION DE UN FLUIDO EN UN MANOMETRO EN U
DETERMINACION DEL FACTOR DE ROZAMIENTO
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO
PABLO GENARO GARCÍA VENCES
El siguiente estudio de la estabilización de un fluido en un manómetro en U, se basa en el
monitoreo del tiempo en el cual un fluido se estabiliza dentro del manómetro al ser creada una
diferencial de presión en uno de los lados; se grafica los resultados de tiempo v.s. altura, para
posteriormente encontrar el factor de rozamiento existente en el manómetro y aplicarlo en la
ecuación que se plantea (1), para describir este fenómeno.
Planteamiento matemático de la solución.
Consideremos un manómetro U con una diferencial de altura en un lado, la presión en ambos
lados es la misma (figura 1).
Figura 1. Consideraciones.
Considerando el modelo en función de la segunda ley de newton y tomando en consideración el
factor de fricción (k) tenemos que:
∑ F  ma
m
dh
d 2h
= -W - k
2
dt
dt
(1)
Ahora dividimos todo sobre m e igualamos a 0, quedando de la siguiente manera:
dh
d 2h
+ k/m
+W/m=0
2
dt
dt
Haciendo un cambio de variable:
W = 2ρgAh
m = ρv = ρAL
Ψ =W/m = (2g/L)
(2)
dh
d 2h
+ k/m
+ Ψh = 0
2
dt
dt
(3)
Resolviendo la ecuación encontrando las raíces de la ecuación obtenemos que:
M1,2= (-k/2m) ±√(2 Ψ-(k/2m)2)i
h = e-k/2mt (C1Cos(√(2 Ψ-(k/2m)2)*t) + C2Sen(√(2 Ψ-(k/2m)2)*t)
(4)
Aplicando la forma alternativa de 4 obtenemos que:
h = Ae-k/2mt Sen(√(2 Ψ-(k/2m)2)*t + π/2)
(5)
Donde π/2 representa que la oscilación comienza en la parte superior (90°).
Ahora, el periodo de la oscilación queda representado como:
t= 2 π /(√(2 Ψ-(k/2m)2))
Despejando k tenemos que:
k = √ (2 Ψ -(2 π/t)2 ) /2m
(6)
Experimentación.
Se coloco un tubo en U de longitud igual a 1.986 metros, con un area igual a 1.14 x 10-3
metros, con agua como fluido, el tubo estaba graduado en ambos extremos, se vacía
agua en el tubo, hasta alcanzar un nivel 0 (nivel original), en uno de los extremos se
crea una presión para que en el otro extremo del tubo se cree una diferencial de altura,
esa altura se toma como referencia de un tiempo 0, se tapa en el costado por donde se
creo la presión y en un momento dado, se destapa ese costado y se toman mediciones,
como la estabilización del fluido es un tiempo muy corto, se recomienda grabar el
experimento ya que con esto, se podrá manipular el recorrido de la prueba en cualquier
tiempo.
Resultados de la prueba:
Prueba #1
Tiempo (s)
h (cm)
0
10.5
2
9
4
7.3
6
6.2
8
5.2
10
4.4
12
3.6
14
3
16
2.5
18
2
20
1.6
22
1.3
24
1
26
0.7
28
0.5
30
0.4
32
0.2
34
0.15
36
0.1
Prueba #2
Tiempo (s)
h (cm)
0
12.3
2
10.2
4
8.6
6
7.3
8
6
10
5.1
12
4.3
14
3.5
16
2.9
18
2.4
20
1.9
22
1.6
24
1.3
26
0.9
28
0.7
30
0.5
32
0.3
34
0.2
36
0.1
Prueba #3
Tiempo (s)
h (cm)
0
11
2
9.2
4
7.6
6
6.4
8
5.3
10
4.5
12
3.8
14
3.2
16
2.6
18
2.2
20
1.8
22
1.4
24
1
26
0.8
28
0.6
30
0.4
32
0.3
34
0.1
36
0
Evaluando 5 para la condición de t=0 h=12.3 resulta:




2
h  12.3e 0.2208 kt sen 9.879 .02208k   t  
2

Evaluando t=2 en 6 para conocer k resulta:
K= 0.421
(7)
CURVA EXPERIMENTAL Y ANALITICA
(Ho=12.3)
14
12
ALTURA (cm)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
TIEMPO (seg)
CURVA EXPERIMENTAL
CURVA ANALITICA
35
40
MOVIMIENTO AMORTIGUADO
15
10
5
Serie1
0
Serie2
0
-5
-10
-15
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Serie3
Conclusiones:
De acuerdo a lo mostrado en las graficas comparativas de la curva experimental v.s. la
curva analítica, observamos que modelo encontrado puede describir el fenómeno de la
estabilización de un manómetro en U, por lo que concluimos que el valor obtenido para
la constante k es correcto para este caso en particular.
Simbología:
h = altura.
t = tiempo.
W = peso.
m = masa
v = volumen.
L = longitud.
g = gravedad (9.81 m/s2).
ρ = densidad (1000 kg / m3 para el agua)
A = Área del interior del manómetro.