Examen de matrices y determinantes. Curso 2008/09

Examen de matrices y determinantes
28/04/2009
Opción A
Ejercicio 1.
Resuelve la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ B − C = D , siendo:
 1 0 −3 
 −2 −5 
 −2 −3 
 − 5 −3 






A =  −1 2 1  , B = 
3 y D =  4 1 
, C =  4
 1 1
 −2 3 2 
 10 6 
 9 5






X ∈ M 3×2 . La mejor forma de resolver esta ecuación matricial, dado que las matrices que intervienen en el producto
tienen pocos ceros, es la siguiente:
A ⋅ X ⋅ B − C = D ⇒ A ⋅ X ⋅ B = D + C ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1
⇒ X = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1
0 −3
1
A = −1 2
1 = 4 + 9 − 12 − 3 = −2
−2 3
2 1
A11 =
3 2
A13 =
B =
2
=1
−1 1
A12 = −
, entonces calculamos las inversas de A y B
−2 2
−1 2
−2 3
−5 −3
1
1
A21 = −
0 −3
3
2
1
−3
−2
2
=0
A22 =
=1
A23 = −
1
0
−2 3
= −9
0 −3
A31 =
2
= −4
A32 = −
= −3
A33 =
1
=6
1
−3
−1
1
1
0
−1 2
=2
 1 −9 6 
1 
⇒ A = − ⋅  0 −4 2 
2 

 1 −3 2 
−1
=2
= −5 + 3 = −2
B11 = 1
B21 = − ( −3) = 3
B12 = −1
B22 = −5
1 1 3
⇒ B −1 = − ⋅ 
2  −1 −5 
 1 −9 6   −4 −8 
4 1 
 1 3   1
1



X = − 0 −4 2 ⋅ 8 4 ⋅ 
⋅  −  ⇒ X =  0 −3 







2
  19 11   −1 −5   2 
2 5 
1
−
3
2

 



IES Pedro de Tolosa
[1]
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
28/04/2009
Ejercicio 2.
Probar, aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente igualdad:
a−b−c
2a
2b
b−a −c
2c
2a
2b
= (a + b + c )
3
c−b−a
2c
Aplicando las propiedades de los determinantes:
a−b−c
2a
2a
2b
b−a−c
2b
2c
2c
a+b+c a+b+c a+b+c
=
c − b − a F =F +F +F
1
a+b+c
=
1
0
0
2b
− (a + b + c)
0
2c
0
2
2b
b−a−c
2c
2c
=
2b
c − b − a CC2 ==CC2 −−CC1
3
3
− (a + b + c)
= (a + b + c)
3
1
3
Ejercicio 3.
 1 1 x


Calcula para qué valor, o valores, de x admite inversa la siguiente matriz A =  x 0 −1 y halla


 −6 −1 0 
A −1 para x =3.
1
x
1
0
x
−1 = − x 2 + 6 − 1 = 5 − x 2
−6 −1
0
A−1 existe ⇔ A ≠ 0 ; 5 − x 2 = 0 ⇒ x = ± 5 ⇒ A admite inversa si x ≠ 5 y x ≠ − 5
1 1
para x = 3 ⇒ A =  3 0

 −6 −1

0 −1
A11 =
= −1 A21 = −
−1 0
A12 = −
A13 =
3
−1
−6
0
3
0
−6 −1
=6
A22 =
= −3
A23 = −
IES Pedro de Tolosa
3
−1  ;

0 
1 3
A = −4
= −3
−1 0
1
3
−6 0
1
= 18
1
−6 −1
= −5
A31 =
1
[2]
= −1
0 −1
A32 = −
A33 =
3
1
3
3 −1
1 1
3 0
= 10
 −1 −3 −1 
1
⇒ A =−
6 18 10 

4 

 −3 −5 −3 
−1
= −3
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
28/04/2009
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Ejercicio 4.
Calcula el valor del determinante
1− a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
1 − 2a
0
0
1 − 2a
=
1− a
a
C = C −C
a
1 − a C12 =C12 −C55
C3 =C3 −C5
C4 =C4 −C5
1 − 2a
0
0
0
a
0
1 − 2a
0
0
a
0
0
0
0
0
0
=
1 − 2a
0
0
1 − 2a
0
0
a
a
0
0
0
0
0
0
a
a
1 − 2a
0
a
0
0
0
1 − 2a
2a − 1 2a − 1 2 a − 1 2a − 1
a
1− a
=
F5 = F5 + F1 + F2 + F3 + F4
= (1 − 2a ) ⋅ (1 + 3a )
4
1 + 3a
Opción B
Ejercicio 1.
Sea
A
una matriz cuadrada que verifica A2 = I − 2 A , donde
- Probar que det A ≠ 0 y encontrar A−1 .
( )
-
Calcular dos números p y q tales que
-
Si
I
denota la matriz identidad.
A4 = p ⋅ I + q ⋅ A .
 −2 1 
 cumple la relación de partida, calcular el valor de k.
 1 k
A=
Sabemos que se cumple A2 = I − 2 A ⇒ A2 + 2 A = I ⇒ A ( A + 2 I ) = I ⇒ A ( A + 2 I ) = I ⇒
⇒ A A + 2 I = 1 ⇒ A ≠ 0.
Como tenemos A ( A + 2 I ) = I ⇒ A−1 = A + 2 I
A4 = A2 ⋅ A2 = ( I − 2 A) ⋅ ( I − 2 A) = I − 4 A + 4 A2 = I − 4 A + 4 ( I − 2 A) = 5I − 12 A , entonces
p = 5 y q = −12
IES Pedro de Tolosa
[3]
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
 −2 1 
A=

 1 k
1
I − 2A = 
0
28/04/2009
−2 + k 
 −2 1   −2 1   5
A2 = 
⋅
=


2 
 1 k   1 k   −2 + k 1 + k 
0   −4 2   5
−2 
−2 + k   5
−2 
 5
−
=
⇒
=



2 
1   2 2k   −2 1 − 2k 
 −2 + k 1 + k   −2 1 − 2k 
⇒
 −2 + k = −2

2
1 + k = 1 − 2k
entonces
k = 0
 2
k + 2k = 0 ⇒ k = 0 , k = −2
⇒
⇒ k =0
Ejercicio 2.
-
Sea A una matriz 4 × 4 tal que A = −2 , calcula, justificando la respuesta:
3 A ; − A−1 ; A4 ; 2 A ⋅ A−1 ; A ⋅ At ; ( At ) ; ( A−1 )
−1
-
t
Demostrar que si A es una matriz 3 × 3 tal que At = − A , entonces A = 0 . ¿Y si A es una matriz
n × n , se verifica lo anterior?
* 3 A = 34 ⋅ A = 81 ⋅ ( −2 ) = −162
( A es una matriz 4 × 4 )
Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = 1 ⇒ A−1 =
* − A−1 = ( −1) ⋅ A−1 =
4
1
A
1
1
=−
A
2
* A4 = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A = ( −2 ) = 16
4
* 2 A ⋅ A−1 = 2 I = 2 4 ⋅ I = 16
* A ⋅ At = A ⋅ At = A ⋅ A = ( −2 ) = 4
2
* ( At )
−1
=
1
1
1
=
=−
t
A
2
A
* ( A−1 ) = A−1 =
t
1
1
=−
A
2
Sabemos que se cumple A = At ; como A ∈ M 3×3 ⇒ − A = ( −1) ⋅ A = − A , entonces
3
At = − A ⇒ At = − A ⇒ A = − A ⇒ A = 0
Si A ∈ M n×n ⇒ − A = ( −1) A ⇒ si n es impar A = 0 , si n es par no se puede asegurar que A = 0.
n
IES Pedro de Tolosa
[4]
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
28/04/2009
Ejercicio 3.
 1 0 0
1 0 0


Hallar una matriz X tal que A ⋅ X ⋅ A = B , siendo A = −3 1 −1 , B =  0 −1 0  .




 5 −1 2 
0 0 0




t
X = A−1 ⋅ X ⋅ ( At ) , pero ( At ) = ( A−1 )
−1
A ⋅ X ⋅ At = B ⇒
−1
t
⇒
X = A−1 ⋅ X ⋅ ( A−1 )
t
A =1
A11 =
1
−1
−1
2
A12 = −
A13 =
=1
−3 −1
5
=1
A22 =
= −2
A23 = −
2
−3
1
5
−1
A21 = −
0
0
−1 2
1 0
5 2
1
=0
=2
0
5 −1
A31 =
A32 = −
=1
A33 =
0
0
1 −1
1
=0
0
=1
−3 −1
1
0
−3 1
 1 0 0
⇒ A =  1 2 1 
 −2 1 1 


−1
=1
1 −2 
 1 0 0   1 0 0   1 1 −2   1







X = 1 2 1 ⋅ 0 −1 0 ⋅ 0 2 1 = 1 −3 −4 
 
 
 


 −2 1 1   0 0 0   0 1 1   −2 −4 3 

 
 
 

Ejercicio 4.
5
Resuelve la siguiente ecuación:
x x 3
x 5 3 x
x 3 5 x
=0
3 x x 5
5
x
x
3
⇒
x
5
3
x
x
3
5
x
3
5
x
x
=
x
x
5 C4 =C4 −C1 3
C3 =C3 −C2
4 ( 64 − 4 x 2 ) = 0
IES Pedro de Tolosa
x 0 −2
8 2x
5 −2 0
2x 8
=
3 2 0
x 3
x 0 2 F1 = F1 + F4
3 x
F2 = F2 + F3
⇒
16 − x 2 = 0
0
0
2
0
0
8 2x 0
0
8 2x
= 2 ⋅ 2x 8 0
= 4⋅
= 4 ⋅ ( 64 − 4 x 2 )
0
2x 8
x
3 2 desarrollo por C
3
2 desarrollo por C
4
x = 4
⇒ 
 x = −4
[5]
Matemáticas II