Ejercicios de aplicación de los determinantes.

EJERCICIOS. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES.
1. Calcular el siguiente determinante de orden n:
1
n
n
n
2
n
n ⋯
n ⋯
3 ⋯
n
n
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
n
n
n
⋯
n
2. Demostrar que si A es una matriz 3 × 3 tal que At = − A , entonces A = 0 . ¿Y si A es una matriz
n × n , se verifica lo anterior?
( )
3. Sea A una matriz 5 × 5 tal que A = 2 , calcular: 5 A ; A−1 ; A2 ; A ⋅ A−1 ; A ⋅ At ; At
−1
4. Encontrar a y b para que los vectores u1 = (1,2, a,1) , u2 = ( a,1,2,3) , u3 = ( 0,1, b,0 ) sean linealmente
dependientes y determinar una relación de dependencia.
2 1 3 1
5. Calcular el rango de la matriz A =  1 0 1 0  según los valores de los parámetros a y b.
3 a 0 b


6. Resolver la ecuación
x −1 −1 0
− x x −1 1
1
1
−1
−1
x
0
1
x
= 0 y comprobar el resultado.
a
1 3
a b c
2
t
t −1
3 0
7. Sabiendo que A = 3 0 5 = 1 ; calcular el valor de A , 2 AA , ( A ) y 3b
1 1 1
a+c 2 8
8. Hállese la dimensión y una base del subespacio vectorial de R 4 generado por los vectores
u1 = (1,0,0, −1) , u2 = ( 2,1,1,0 ) , u3 = (1,1,1,1) , u4 = (1,2,3,4 ) y u5 = ( 0,1,2,3)
9. Demostrar que el subespacio generado por
{
}
, ,0) ; w = (3,8,5)
por x = (11
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{u = (1,2,1) ; v = (1,3,2)} es el mismo que el generado
Determinantes. Aplicaciones. Pag. 1
10. Comprobar que las siguientes matrices tienen el mismo determinante:
1
1
1 
1 + a
 1
1− a
1
1 

A=
 1
1
1+ b
1 


1
1 1− b
 1
,
1 2 λ 
11. Se consideran las matrices A = 

 1 −1 −1 
1
 1+ a

1
1− a
B=

1 1

1 1

y


1 1

1+ b
1 

1 1 − b 
1 1
 1 3
B =  λ 0 
 0 2


a) Encontrar los valores de λ para los que A ⋅ B es invertible.
b) Determinar los valores de λ para los que existe ( B ⋅ A) .
−1
c) Calcular ( B ⋅ A)
−1
para λ = −2 .
12. En el espacio vectorial P2 de los polinomios de grado menor o igual que 2, se considera el siguiente
subconjunto: A = { p ( x ) ∈ P2 / p (1) = p ( 2 ) = 0} . ¿A es subespacio vectorial de P2 ? En caso afirmativo
determinar su dimensión.
 1 1 2 3

13. Si el rango de la matriz A = 2 −1
k 9  es 2, determinar una combinación lineal nula de los

 1 −1 −6 5 


vectores fila F1 , F2 y F3 así como una combinación lineal nula de los vectores columna
C1 , C2 , C3 y C4 .
{
}
14. Probar si el sistema de vectores S = a 1 = (111
, , ) ; a 2 = (1,0,1) ; a 3 = (3,2,1) es base de ℜ 3 y en caso
afirmativo calcular las coordenadas de u = (1,2,3) en esta base.
15. Resolver la ecuación:
1 1 1 1
x a a 0
x
0
b 0
x
0
0 c
=0
 1 1 −1 2 


λ 1 1 1

16. Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro λ : A =
 1 −1 3 −3


4 2 0 λ 
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Determinantes. Aplicaciones. Pag. 2
1 a
17. Sin desarrollar, probar que 1 b
1 c
b+ c
c+a = 0
a+c
1 2 3
1 4
7 8 9
0
3 6
1
x
x2
x3
3 2x + 1 x 2 + 2x 3x 2
3
1
1 2 3
4 5 6 + −1 2 5 = 4 5 6
18. Sin desarrollar, probar que
19. Resolver la ecuación:
1
x+2
1
2x + 1
1
3x
1
8 7 9
=0
1
−1
λ −1


20. Encontrar los valores de λ para los que la matriz A =  0
λ − 2 1  es invertible. Para λ=2,


0
2
 λ
calcular la inversa de A y comprobar el resultado.
x
21. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de x
x +1 x + 2
x+3 x+4 .
x x+5 x+6
22. Dados los vectores e1 = ( a , 1 + a , 2a ) , e 2 = ( a , 1, a ) y e3 = (1, a , 1) , se pide:
a) determinar los valores de a , para los que los vectores e1 , e 2 y e3 son linealmente
dependientes.
b) estudiar si el vector u = (3, 3, 0) depende linealmente de los vectores e1 , e 2 y e3 para el caso
a = 2 . Justificar la respuesta.
23. Considérese el subespacio vectorial H ⊆ ℝ 3 generado por los vectores u1 = ( −2,1,1) ,
u2 = (1, − 4,5) , u3 = ( −4, − 5,13) . Averiguar si alguno de los vectores x = ( 2,0,4 ) ,
y = (1, − 11,16 ) pertenece a H .
24. Demostrar, utilizando las propiedades de los determinantes, que
−2 a
a+b a+c
b + a −2b b + c = 4(a + b)(a + c )(b + c )
c+a
c+b
− 2c
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Determinantes. Aplicaciones. Pag. 3
a x
x a
25. Resolver el siguiente determinante
x b
b x
x
b a
b
x
x
x a
26. Calcular el valor del determinante
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
a
a
a
a
a
1− a
27. Probar, aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente igualdad:
a−b−c
2a
2b
b−a −c
2c
2a
2b
= (a + b + c )
3
c−b−a
2c
 1 1 x


28. Calcular para qué valor, o valores, de x admite inversa la siguiente matriz A =  x
0 −1 y


 −6 −1 0 
hallar A −1 para x =3.
29. Sea A una matriz 4 × 4 tal que A = −2 , calcula, justificando la respuesta:
3 A ; − A−1 ; A4 ; 2 A ⋅ A−1 ; A ⋅ At ; ( At ) ; ( A−1 )
−1
t
30. Demostrar que si A es una matriz 3 × 3 tal que At = − A , entonces A = 0 . ¿Y si A es una matriz
n × n , se verifica lo anterior?
31. Resolver la siguiente ecuación:
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5
x
x
3
x
5
3
x
x
3
5
x
3
x
=0
x
5
Determinantes. Aplicaciones. Pag. 4
32. Calcular el rango de la matriz A, según los diferentes valores del parámetro t∈ ℝ , siendo:
t
0 
 t

A= 2
t + 1 t − 1 
 −2t − 1 0 t + 3 


−1
Indicar para qué valores de t∈ ℝ no existe la matriz inversa de A y en caso de ser posible calcular A
para t = −1 .
33. Si A es cualquier matriz con n filas y n columnas tal que A3 = − A − I y se sabe que det ( A) = m ,
calcular el valor de det ( A + I ) en función de m .
34. Estudiar el rango de la matriz A según los valores de los parámetros a y b .
a b 1
A =  1 ab 1 


1 b a


1
2
35. Resolver la ecuación:
4
8
1
x
36. Resolver la ecuación:
x2
x3
x

0
37. Sea la matriz A = 
0

y
1 2 1
x 5 −1
=0
x 2 13 1
x3
35 −1
1 1
−1 3
1 9
−1 27
1
2
=0
4
8
y 0 0

x y 0
, dedúzcase cuándo A no tiene inversa.
0 x y

0 0 x
38. Resolver la ecuación:
1 1 1
2 x 2
x
2
3 5
3
x
4 4 4
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=0
x+3
Determinantes. Aplicaciones. Pag. 5
39. Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro λ :
 1 1 −1 2 


λ 1 1 1

A=
 1 −1 3 −3


4 2 0 λ 
40. Probar, aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente igualdad:
a+b
b+c
c+a
a
b
c
p+q
q+r
r + p = 2⋅ p
q
r
x+ y
y+z
z+x
y
z
x
41. Sea el siguiente determinante:
-
a11 a12
a21 a22
D = a31 a32
a13
a23
a33
a14
a24
a34
a15
a25
a35
a41 a42
a51 a52
a43
a53
a44
a54
a45
a55
¿Figurará el producto a11a32 a23a54a45 en el desarrollo del determinante D?. ¿Con qué signo?
Igual para el producto a11a32 a43a34a55
Escribir dos productos que en el desarrollo del determinante D aparezcan con signo positivo y otros
dos con signo negativo.
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Determinantes. Aplicaciones. Pag. 6