Examen de números reales y álgebra. Curso 2010/2011

Examen de números y álgebra
3/12/2010
Ejercicio 1.
Calcula el valor de las expresiones:
 1 5

1 
a ) log 4 
⋅ 16 ⋅ 3 4  : 6

 32 
 2
 1 5
a) log4 
⋅ 16 ⋅ 3 4
 2
b) log 0,25 8 + log 25
1
−1
− log ( 0, 01)
5
)
(
2

1 
−5 
−5 
 −1 4
 −1
 : 6  = log4  2 2 ⋅ 2 10 ⋅ 2 30 : 2 6  = log4 2 30 : 2 6  =




 32 
4
1
 − 1 +5 
4
4
4 1 2
= log4 2 30 6  = log4 2 5  = ⋅ log4 2 = ⋅ log4 4 2 = ⋅ =
 
5
5
5 2 5


1
1
−1
−1
− log ( 0,01) = log 1 23 + log25 5 2 − log102 = 3log 1 2 − log25 5 − 2 =
2
5
4
4
log2 2 1 log5 5
1 1 1
3 1
15
= 3⋅
− ⋅
− 2 = 3⋅
− ⋅ −2 = − − −2 = −
1 2 log5 25
−2 2 2
2 4
4
log2
4
b) log0,25 8 + log25
Ejercicio 2.
Resuelve:
a)
a)
5 − 2x
≤1
3x − 9
b) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2
5 − 2x
5 − 2x
5 − 2 x − 3x + 9
14 − 5 x
14 − 5 x
≤1 ⇒
−1 ≤ 0 ⇒
≤0 ⇒
≤0 ⇒
≤0
3x − 9
3x − 9
3x − 9
3x − 9
3 ( x − 3)
14 

entonces x ∈  −∞ ,  ∪ ( 3 , + ∞ )
5

14 

 −∞ , 
5

14
5
 14

, 3

5


3
( 3 , ∞)
14 − 5x
+
0
−
−
−
x −3
−
−
−
0
+
14 − 5x
3 ( x − 3)
−
0
+
∃
−
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b) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2 ⇒ (1 − x ) = 1 − x 4 − 7 x 2 ⇒ 1 − 2 x + x 2 = 1 − x 4 − 7 x 2 ⇒
2
(
⇒ ( x2 − 2 x ) = − x 4 − 7 x2
2
)
2
⇒ x 4 − 4 x3 + 4 x2 = x2 ( 4 − 7 x2 ) ⇒ x4 − 4 x3 + 4 x2 = 4 x2 − 7 x4 ⇒
x = 0

⇒ 8 x − 4 x = 0 ⇒ 4 x ( 2 x − 1) = 0 ⇒ 
1 se comprueban las soluciones y ambas son válidas
x
=

2
4
3
3
Ejercicio 3.
Calcula:
a ) La siguiente suma infinita:
b) lim
n →∞
a)
1 1
3 1
3 1
+ +
+ +
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3 3 9 9 27 27
9n 4 − 9
3n 4n 2 − 4
1 1
3 1
3 1
1
a
, ,
, ,
,
, ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ es una progresión geométrica de razón
< 1 ⇒ S∞ = 1
1− r
3 3 9 9 27 27
3
1
1
1 1
3 1
3 1
3 −1
3 −1
3 =
3 = 1 =
+ +
+ +
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ =
=
1
2
3 3 9 9 27 27
3 −1
3 −1
3 −1 3 +1
1−
3
3
(
9n − 9
4
b) lim
n →∞
3n 4n − 4
2
9 ( n − 1)
4
= lim
n →∞
3n 4 ( n − 1)
2
= lim
n →∞
3⋅ n −1
4
6 ⋅ n 2 ( n 2 − 1)
)(
)
n4 − 1
1
n −1
1
n4
= lim ⋅ 4
=
lim
⋅
=
4
n →∞ 2
n →∞ 2
n − n2
n − n2
n4
4
1
1 1 − n4
1 1− 0 1
= lim ⋅
= ⋅
=
n →∞ 2
1
2 1− 0 2
1− 2
n
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Ejercicio 4.
Prueba que la sucesión de todos los números naturales, que divididos por 7 dan de resto 5, es una progresión
aritmética. Halla la expresión del término general y la suma de todos los términos de tres cifras de dicha
progresión.
Los números naturales que al dividirlos por 7 dan de resto 5 serán múltiplos de 7 más 5
o múltiplos de 7 menos 2 , es decir de la forma 7n + 5 o 7n − 2.
La sucesión 7n + 5 es 12, 19, 26, 33, 40,.... que deja fuera al 5, número natural de resto 5
al dividir por 7.
Entonces an = 7n − 2 ⇒ 5, 12, 19, 26, 33, 40,...... es la sucesión pedida, que es una progresión
aritmética de diferencia 7.
Ahora tenemos que sumar todos los términos de tres cifras, el primero será a15 = 7 ⋅ 15 − 2 = 103 y
el último será a143 = 999.
El número de términos que sumamos es 143 − 15 + 1 = 129 y entonces la suma vale :
S=
(103 + 999 ) ⋅ 129 = 71079
2
Ejercicio 5.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 

a ) 4 ⋅  2 x + x −1  = 33
2 

b) log ( x − 1) − log 5 + x − log 5 − x = 0
1 
2
8


 2
a ) 4 ⋅  2 x + x −1  = 33 ⇒ 4 ⋅  2 x + x  = 33 ⇒ ( llamando 2 x = t ) ⇒ 4 ⋅  t +  = 33 ⇒ 4t + = 33
2 
2 
t
t



t = 8

2
2
quitando denominadores queda 4t + 8 = 33t ⇒ 4t − 33t + 8 = 0 ⇒  1
t = 2
entonces si t = 8 ⇒ 2 x = 8 ⇒ x = 3
1
1
si t = ⇒ 2 x = ⇒ x = −1
2
2
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b) log ( x − 1) − log 5 + x − log 5 − x = 0 ⇒ log ( x − 1) = log 5 + x + log 5 − x ⇒
log ( x − 1) = log
⇒
( x − 1)
2
=
(
(
5+ x ⋅ 5− x
25 − x 2
)
2
)
⇒ log ( x − 1) = log
(
⇒ x 2 − 2 x + 1 = 25 − x 2 ⇒
25 − x 2
) ⇒ x −1 =
25 − x 2 ⇒
2 x 2 − 2 x − 24 = 0 ⇒
x = 4
x 2 − x − 12 = 0 ⇒ 
 x = −3 valor no válido por no verificar la ecuación inicial.
Ejercicio 6.
−
4 2 5
1

x + x + 3m , ¿qué valor ha de tener m para que  x −  sea un factor?

2
3
6
En el polinomio 2x 3 −
Después de calcular m factoriza el polinomio.
−
Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:
x − 1 x2 − 1 x2 − 2 x + 1 x2 + 6
⋅
:
+
x + 3 x2 − 9 x2 + 6x + 9 x2 − 9
1
4
5
1


Si  x −  es un factor de p ( x ) = 2 x 3 − x 2 + x + 3m ⇒ p ( x ) es divisible por  x −  ⇒
2
3
6
2


3
2
1 1 5
1
1
1
1 4 1 5 1
⇒ p   = 0 ⇒ 2 ⋅   − ⋅   + ⋅ + 3m = 0 ⇒
− + + 3m = 0 ⇒ 3m = − ⇒ m = −
4 3 12
3
9
2
2 3 2 6 2
1

Como sabemos que p ( x ) es divisible por  x −  lo aprovechamos para factorizar :
2

2
1
2
4
3
5
6
1
−
6
4
6
1
2
Entonces p ( x ) = 2 x 3 −
−
−
1
3
1
3
1
3
−
0
4 2 5
1 
1 
1
2
1
2
x + x − =  x −  ⋅  2 x 2 − x +  ⇒ buscamos las raíces de 2 x 2 − x + ⇒
3
6
3 
2 
3
3
3
3
1
2
⇒ 2 x 2 − x + = 0 ⇒ 6 x 2 − x + 2 = 0 ⇒ que no tiene raíces reales y por tanto es primo.
3
3
4
5
1 
1 
1
2
Y la factorización es 2 x 3 − x 2 + x − =  x −  ⋅  2 x 2 − x + 
3
6
3 
2 
3
3
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3/12/2010
( x − 1) ( x 2 − 1)( x 2 + 6 x + 9 ) x 2 + 6
x − 1 x2 − 1 x2 − 2 x + 1 x2 + 6
⋅
+
=
+
=
:
x + 3 x2 − 9 x2 + 6x + 9 x2 − 9
( x + 3) ( x 2 − 9 )( x 2 − 2 x + 1) x 2 − 9
=
( x − 1)( x − 1)( x + 1)( x + 3) + x 2 + 6 = ( x + 1) + x 2 + 6 = ( x + 1)( x + 3) + ( x 2 + 6 ) =
2
( x + 3)( x − 3)( x + 3)( x − 1) x 2 − 9 ( x − 3) x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) ( x 2 − 9 )
=
x2 + 4x + 3 + x2 + 6
2x2 + 4 x + 9
=
x2 − 9
( x − 3)( x + 3)
2
Ejercicio 7.
Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si se aumenta a en 1 unidad o c en
dos unidades, resultan progresiones geométricas. Encontrar esos números.
Si a , b , c es una progresión aritmétrica se cumple c − b = b − a
c
b
Si a + 1, b , c es una progresión geométrica se cumple =
b a +1
c+2 b
=
Si a , b , c + 2 es una progresión geométrica se cumple
b
a
2

 a + c 2 + 2ac
a + c
= b2
c − b = b − a

 2 =b
 a + c = 2b
4




b
c
2
2
⇒ ( a + 1) c = b ⇒ ( a + 1) c = b ⇒ ( a + 1) c = b2
 =
b
a
+
1




2
2
2
a ( c + 2 ) = b
a ( c + 2 ) = b
a ( c + 2 ) = b
c + 2 b

 b = a


a 2 + c 2 + 2ac
2
2
2
2
( a + 1) c =
4 ( a + 1) c = a + c + 2ac
4 ( a + 1) 2a = a + ( 2a ) + 2a 2a
⇒
⇒ 
4

c = 2a
ac + 2a = ac + c
a ( c + 2 ) = ( a + 1) c

8a 2 + 8a = a 2 + 4a 2 + 4a 2 ⇒ a 2 − 8a = 0 ⇒ a ( a − 8) = 0 ⇒ como a ≠ 0 ⇒ a = 8
c = 16 , b =
8 + 16
= 12 ; entonces los números en progresión aritmética son 8, 12, 16
2
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