12-ISOMETRÍAS teórico

Docente: Rossana Bossio
ISOMETRÍAS
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CONCEPTOS PREVIOS :
FUNCIÓN : Dados dos conjuntos A y B, llamamos función de A en B, a una relación que hace corresponder a cada elemento de A,
un y sólo un elemento de B.
Al conjunto A lo llamamos dominio de la función y al conjunto B lo llamamos codominio.
FUNCIÓN INYECTIVA : Una función es inyectiva, cuando a elementos diferentes del dominio, le corresponden imágenes
diferentes del codominio.
FUNCIÓN SOBREYECTIVA : Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio, son imagen de al menos un
elemento del dominio.
FUNCIÓN BIYECTIVA : Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
FUNCIÓN IDENTIDAD : Es la función de un conjunto en sí mismo, que asocia a cada elemento con sí mismo.
FUNCIÓN INVERSA : Toda función biyectiva f, tiene asociada una función también biyectiva f -1, tal que compuesta con f, da la
identidad. Si f (a) = b , entonces f -1 (b) = a.
a
f
f
b
-1
DEFINICIÓN de ISOMETRÍA :
Se denomina isometría a toda función biyectiva del plano en el plano, que conserva las distancias.
f es una isometría si: f : P → P / para todo A Є P, para todo B Є P, se cumple d (A,B) = d ( f(A) , f(B) )
el símbolo P (letra griega Pi) simboliza al conjunto de todos los puntos del plano.
AXIOMA de DETERMINACIÓN de las ISOMETRÍAS :
Dadas dos ternas (punto, semirrecta, semiplano): (A, Ax, a) y (B, By, b) , en las cuales la semirrecta tiene por origen al punto y el
semiplano tiene por borde a la recta sostén de la semirrecta; existe y es única la isometría f que hace corresponder una terna con
otra.
Docente: Rossana Bossio
f : P
P / (A, Ax, a)
f
(B, By, b)
ISOMETRÍA IDENTIDAD
Es la isometría que le hace corresponder a cada punto del plano, el mismo punto.
I : P
P / (A, Ax, a)
I
(A, Ax, a)
ISOMETRÍA INVOLUTIVA
Una isometría es involutiva, si compuesta con ella misma (aplicada dos veces consecutivas), da como resultado la identidad.
f es involutiva ↔ f o f = I
el símbolo “o” significa que estamos componiendo una función con otra.
ISOMETRÍAS DIRECTAS e INDIRECTAS
Existen dos sentidos opuestos en el plano.
Hay distintos métodos para ver es sentido de los puntos en el plano.
MÉTODO 1 :
Los puntos A , B , C están en sentido HORARIO
Los puntos A´, B´, C´ están en sentido ANTIHORARIO ambos sentidos opuestos.
MÉTODO 2 :
Considerando un observador imaginario en el origen de la semirrecta; el semiplano a queda a la izquierda de la
semirrecta Ax y el semiplano b queda a la derecha de la semirrecta By; ambos sentidos opuestos.
ISOMETRÍA DIRECTA es aquella que conserva el sentido en el plano.
ISOMETRÍA INDIRECTA es aquella que cambia el sentido en el plano.
FIGURAS UNIDAS y FIGURAS DOBLES
Punto unido :
Figura unida :
Figura doble :
Un punto es unido en una isometría, si se transforma en sí mismo.
P es unido en f ↔ f ( P ) = P
Una figura es unida en una isometría, si TODOS sus puntos son unidos (todos los puntos se
transforman en sí mismos)
A es unida en f ↔ para todo P Є A , f ( P ) = P
Una figura es doble en una isometría, si su imagen es ella misma (los puntos de la figura se
transforman en otros puntos también de la figura).
A es doble en f ↔ f (A ) = A
CONGRUENCIA
Dos figuras son congruentes si se corresponden en una isometría.
A =c B ↔ existe una isometría f / f ( A ) = B
el símbolo =c significa congruente