Apunte - Matemáticas

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Matemáticas
(Trigonometrias)
Indice
1. Introducción
2. Teorema de pitágoras
3. Ley de los senos
4. Ley del coseno
5. Funciones Trigonométricas
6. Conclusion
7. Anexos
1. Introducción
En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones
que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser información y material de
vanguardia en el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente trabajo abordaremos
temas de gran importancia en la matemáticas específicamente en el area de trigonometría en donde
estudiaremos sus funciones y algo mas.
Dentro de los puntos que abordaremos estan los siguientes:
Teorema de Pitágoras
Ley de los Senos
Ley del Coseno
Funciones trigonométricas
Función Seno y Cosecante
Función Coseno y Secante
Función Tangente y Cotangente
Fórmulas trigonométricas.
2. Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve
para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se
enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del
triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide
exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo
rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a 2
o la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2
Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:
3. Ley de los senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos
de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del
triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está
en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C.
Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te
saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que
generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A
veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=5
B=?
C=?
a = 43°
b = 27°
c=?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre
suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° - a - b
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la
usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c= 110°
Ya tenemos entónces los tres ángulos a, b y c.
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
sustituyendo queda:
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está
en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo
multiplicando arriba):
y calculamos ésta expresión:
3.32838 = B
y esto es lo que vale B.
Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a
fijar en una igualdad que tenga a la C:
(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
hacemos las operaciones y queda:
6.88925 = C
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el
resultado habría sido exactamente el mismo:
o escrito ya sin el término de en medio:
igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando
arriba):
y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.
4. Ley del coseno
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si
conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver
ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley del Coseno dice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entónces dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del
triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está
en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C.
Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te
saldrá mal.
Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado
que buscas, o sea estos:
Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo
que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.
Resolución de triángulos por la ley del Coseno
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que
generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A
veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al
ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=?
B=9
C = 12
a = 25°
b=?
c=?
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
realizando las operaciones queda:
A = 5.40717
Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :
Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda:
Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad:
de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar
está abajo, es como sigue:
invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-:
luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado.
y así es más rápido.)
haciendo las operaciones nos queda:
inviértelo para que quede bien escrito:
sen (b) = 0.7034297712
y saca la función inversa del seno (el arcoseno):
b = sen-1 (0.7034297712)
b = 44. 703 = 44° 42'
El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo
siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° - a - b
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la
usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'
c= 110°17'
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
5. Funciones Trigonométricas
Función Seno:
La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el seno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf"
que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no
"sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"):
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Cosecante
La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto
opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto.
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque
suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea
que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente
sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Seno
Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está
"acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de
¶ / 2 , o sea:
con n entero y mayor que cero.
La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir
tomando los valores que tomó a partir del cero.
Función Coseno:
La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su
hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el coseno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf"
que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos":
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Secante
La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto
adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen
que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en
lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Coseno
Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno
comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno
está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice
"acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que
cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
Función Tangente:
La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto
adyacente:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
la tangente del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf"
que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan":
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Función Cotangente
La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el
cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto:
hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes
formas:
pero es la misma función.
En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la
arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque
suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O
sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente
sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Tangente
Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no
está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x
toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite
así hasta infinito.
Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea
limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que
sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
Fórmulas e Identidades Trigonométricas
La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
Fundamentales
sen(-x) = -sen(x)
cos(-x) = cos(x)
tan(-x) = -tan(x)
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cotan2x = csc2x
sen ( ¶ - x) = sen (x)
cos ( ¶ - x) = -cos (x)
tan ( ¶ - x) = -tan (x)
Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v)
cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v)
cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
Fórmulas para la suma del doble del ángulo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
cos(2x) = 2cos2(x) - 1
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)
cos(2x) = 1 - 2sen2(x)
Fórmulas para el cuadrado de la función
Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
Fórmulas para el producto de seno y coseno
Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
Identidades entre funciones trigonométricas
Ley de los senos
Ley del Coseno
La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
Tabla de coseno y seno de los ángulos principales
6. Conclusión
A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la
realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así
descubrir el porque de los fenómenos y hechos en la historia humana.
Unos de los puntos dentro de la matemática a resaltar seria las funciones trigonométricas son valores sin
unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de
coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial
coincide con la parte positiva del eje x.
Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para después ser
perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones Trigonometricas, es necesario dejar claro que es
importante ya que forma parte de la matemáticas y que es fundamental en el desarrollo de algunas
operaciones de cálculos para así obtener los resultados de los objetivos trazados.
7. Anexos
Problemas típicos con fórmulas trigonométricas
Suponte que te piden demostrar que:
El chiste para hacer estos problemas es el siguiente:
Escribe el ángulo que te piden (75° en éste caso) como la suma de dos ángulos cuyas funciones
trigonométricas conozcas (osea en términos de 30°, 45°, 60° ó 90°)
Vemos entónces que 75° lo podemos escribir como la suma de 30° + 45°. Sustituyendo queda:
sen (75°) = sen (30° +45°)
Recordamos ahora la fórmula trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos:
sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A)
aquí A va a ser 30° y B va a ser 45°.
sustituyendo queda:
sen(30° + 45°) = sen(30°) cos(45°) + sen(45°) cos(30°)
sustituímos ahora a lo que es igual cada seno y coseno:
Factorizemos todo lo que podamos:
pero como :
entónces queda:
si multiplicas los quebrados y el paréntesis cuadrado, te da (el paréntesis cuadrado sólo multiplica a los
números de arriba, a los 1's pues):
que es lo que queríamos demostrar.
Problemas típicos con geometría en el Círculo Unitario
Supónte que te piden encontrar el coseno y el seno de 225° por método gráfico (geometría) en el círculo
unitario.
Primero entónces grafícalo en el círculo unitario para ver en hasta dónde llega el ángulo:
Llegó hasta el lado negativo de las x's y de las y's. Eso significa que los valores del coseno(225°) y del
seno(225°) van a ser negativos, porque los lados del triángulo están en la parte negativa de los ejes.
Luego trata de ver si puedes encontrar el ángulo del triángulo, pero en términos de un ángulo que ya
conozcas. Por ejemplo, para éste problema, vemos que la mitad del ángulo mide 180°:
osea que el ángulo que nos piden (225°) son 180° + 45° (porque 180° mas 45° nos dan 225°)
entónces , el ángulo, es 45°.
Entónces, el coseno de 225° es lo mismo que el coseno de 45° sólo que negativo porque el lado de las x's
del tríangulo quedó en los negativos.
Así también, el seno de 225° es lo mismo que el seno de 45° sólo que negativo porque el lado de las y's del
tríangulo quedó también en los negativos.
Y como sabes:
osea que:
Así es cono todos los ángulos básicos.
Titulo: 10 Olimpíadas Iberoamericanas de Matemática .
Autor: Eduardo Wagner
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Patricia Fauring
Flora Gutiérrez
Ana Wykowski
ISBN: 84-7666-076-6
Pág. : 290
Edita: Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI)
Trabajo enviado por:
Felibert Manuel
Dávila Glicerly
[email protected]
Catia la Mar 18/03/2003.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Cultura y Deporte
U.E.I.P. Romulo Betancourt