Historia de los números irracionales

COLEGIO POLIVALENTE
“EDUCADORA ELENA ROJAS
DIEGO PORTALES Nº 1547 – LA FLORIDA
Profesor: Miguel Vega Guzmán
HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos
descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción,
al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también,
familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números
negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.
El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara
independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban
geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en
día representamos por:
x 2 + a x = b2
para ellos significaba hallar un segmento x tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo
construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área
coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.
Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas
para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las
soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.
Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los
números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para
representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo
matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.
Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los
números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales
sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la
radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en
forma verbal).
Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a
través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.
A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios),
aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de
la actual.
A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de
logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra
debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.
DEFINICIÓN DE NÚMERO IRRACIONAL
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin
repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos
PROPIEDADES DE NUMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es aquel que representa una expresión decimal no periódica e ilimitada.

Un número irracional siempre tiene asociado, en la recta, un punto que lo representa. Pero, no todo punto
de la recta representa a un número irracional.

Como todo numero irracional esta definido por una expresión decimal infinita no periódica, un numero no
puede ser al mismo tiempo racional e irracional, por tanto : Q e I; son conjuntos disjuntos, es decir, que su
intersección es el conjunto vacío: Q ∩ I = ∅
Algo más de números…
APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES
Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro
más manejable de valor aproximado, terminado en ceros.
Ejemplos:
2678251 -----> 270000
6035192 -----> 6000000
APROXIMACIONES
Al trabajar con números decimales periódicos o irracionales no podemos considerar todas sus cifras. Es necesario
tomar aproximaciones, considerando sólo un número finito de cifras decimales. Si el número aproximado que
cogemos es más pequeño que el número original es una aproximación por defecto; si es mayor, es
una aproximación por exceso.
REDONDEO Y TRUNCAMIENTO.
Redondeo de orden n
Para redondear un número decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a ese orden. La cifra de
orden n se deja como está si la cifra siguiente es menor que 5, y se aumenta una unidad si la cifra siguiente es mayor
o igual que 5.
Truncamiento de orden n
Para truncar un número decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a ese orden inclusive, eliminando las
demás.
ERROR ABSOLUTO
Error absoluto de una aproximación es la diferencia en positivo entre el número dado o valor exacto y el número
aproximado.
Procedimientos de redondeo
Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden
2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior
Ejercicio: Redondeo
1. Aproxima a la centena los siguientes números:
a) 27640
b) 3850
c) 24572
a) 27600 ; b) 3900; c)24600
2.- Redondea a los millones los siguientes números
a) 37224000
a) 37000000 b) 43000000 c) 326000000 d) 508000000
b) 42907600
c) 325742231
d) 508427000
El truncamiento
Truncar es sustituir las cifras por ceros hasta un determinado orden de unidades.
Ejemplo: Truncar
Truncar a las centenas los números:
a) 27600
b) 3850
a) 27600 b) 3800;
LOS NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
¿Cabrán todos los números irracionales en los espacios que sobre la recta, dejan los números racionales?
Después de representarlos, ¿seguirá habiendo espacios?
La forma más sencilla de probar que, en efecto, existen esos espacios sería representado los irracionales, es decir,
viendo que tienen cabida en la recta
Los números reales llenan por completo La recta. Por eso se le llama recta real.
A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también
la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es
imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos
geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Veamos como se puede representar, por ejemplo, :
hay que tener claro que
=1.4142135623730950488016887242097...,es decir, 1<
<2
Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto
Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente
en la recta numérica.
Sabemos que
es un número irracional, por lo tanto,
el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.
En esta recta representamos los números irracionales