Irracionales

ESTALMAT-Andalucía
Actividades 06/07
Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
Título: Irracionales.
Segundo Curso.
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ACTIVIDAD 1. NÚMEROS RACIONALES
a) Efectúa las divisiones 1/3, 1/5, 1/7, 8/2.
¿Son exactas? ¿Se empiezan a repetir las cifras del cociente en algún momento?¿Cuándo sucede
esto?
b) Sin efectuar 15/13, di si se empezarán a repetir en algún momento las cifras del cociente y cuántas
cifras habrá como máximo en dicho cociente antes de que se vuelvan a repetir. Compruébalo.
Un número decimal se llama periódico si a partir de un cierto lugar, el número consiste en la
repetición de un grupo fijo de dígitos. Este grupo de dígitos que se repite, se llama periodo. Si el periodo
comienza en la primera cifra decimal, el número se llama periódico puro; si el periodo comienza después de
la primera cifra decimal, el número se llama periódico mixto.
Cualquier cociente de números enteros es un número decimal que o es finito (aquí va incluido que el
cociente sea entero) o es periódico.
Ahora nos podemos plantear la pregunta recíproca, es decir, si todo número periódico es el cociente
de dos números enteros.
c) Encuentra una fracción irreducible que sea igual a 0’37, 0’44, 2’204, 5 ¿Puedes dar la regla que
permite dar la fracción irreducible igual a un número decimal finito dado?
d) Encuentra una fracción irreducible que sea igual a 0’ 16 , 0’ 123 , 2’ 025 . ¿Puedes dar la regla que
permite dar la fracción irreducible igual a un número decimal periódico puro?
e) Encuentra una fracción irreducible que sea igual a 0’2 72 , 0’0 123 , 2’01 025 . ¿Puedes dar la regla
que permite dar la fracción irreducible igual a un número decimal finito dado?
Los números decimales finitos y periódicos son cocientes de números enteros.
f) Si sumas, restas multiplicas o divides dos números periódicos, por ejemplo, 0’ 16 y 0’2 72 , ¿se
obtienen también números decimales periódicos o finitos? No es fácil de comprobar. ¿Podrías justificarlo?
Los números decimales finitos y periódicos se llaman números racionales.
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
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Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
Título: Irracionales.
Segundo Curso.
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ACTIVIDAD 2. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE NÚMEROS RACIONALES.
Sabemos que en una recta horizontal podemos representar los números enteros tomando un segmento
arbitrario como unidad. Mediante una regla y una escuadra, podemos representar también todos los números
racionales con ayuda del Teorema de Thales.
Como ejemplo observa la representación de 3/5:
1
3/5
a) Representa en la recta los números 5/7, 3/11, 9/7
Observa que en cada uno de los casos anteriores, se construye un segmento que cabe un número
entero de veces en la unidad y en el número en cuestión.
b) Imagina que tienes un punto de la recta en el que cabe un segmento exactamente 13 veces y que
este segmento cabe exactamente 6 veces en el segmento unidad. ¿Qué número representa el punto?
c) Representa en la recta el número 0’ 3 . Observa que estamos representando exactamente un número
con infinitas cifras decimales.
d) ¿Se llenarían todos los puntos de la recta con los números racionales? (A esto lo contestaremos
después)
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
Actividades 06/07
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Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
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ACTIVIDAD 3. EL NÚMERO IRRACIONAL
a)
b)
c)
d)
2.
En una actividad anterior se propuso la demostración de la irracionalidad del número 2 .
Te invitamos a que recuerdes y reproduzcas dicha demostración.
Con la calculadora, y utilizando sólo la tecla del producto, calcula aproximadamente 2 con
cinco cifras decimales. ¿Podrán repetirse algún grupo de cifras si siguiéramos sacando decimales?
Representa exactamente el número 2 sobre la recta graduada (es decir, con la unidad elegida) que
tienes más abajo.
1
2.
Representa también sobre dicha recta el número
2
0
1
2
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
ESTALMAT-Andalucía
Actividades 06/07
Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
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ACTIVIDAD 4. NÚMEROS IRRACIONALES
Los números irracionales son los números decimales que no son finitos ni periódicos.
a) Pon ejemplos de números irracionales, con regla de formación y sin ella.
b) ¿Tiene que ser irracional la suma de dos números irracionales? ¿Puede ser racional? Pon
ejemplos.
c) La suma de un número racional y otro irracional, ¿puede ser racional o tiene que ser irracional?
Pon ejemplos.
Desde tiempos de Pitágoras (S. VI a. de C.) se sabe que 2 es irracional. De igual modo se prueba
que la raíz cuadrada de un número natural que no sea cuadrado perfecto, es irracional. También son
irracionales las raíces de números naturales de otros índices que no sean enteros.
Por último, otro irracional muy importante es el número que mide el cociente entre la longitud de
cualquier circunferencia y su diámetro, y que se conoce como π , y que vale
π = 3’1415926535…..
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
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Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
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ACTIVIDAD 5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.
Ya hemos representado el número a = 2 sobre una recta teniendo en cuenta que es la hipotenusa de
un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 1
a
b
0
1
1
1
a
b
2
3
a) ¿Cuánto vale la hipotenusa, b, de un triángulo rectángulo, que tiene el segmento anterior,(a= 2 ),
como un cateto y 1 como otro cateto? Observa la representación de dicho segmento sobre la recta.
b) Si repites la misma construcción, ¿qué números vas obteniendo?
Como ves, la recta no quedó completamente cubierta con los números racionales. Hay muchos
irracionales cuya abscisa puedes construir exactamente con ayuda de un compás. Fíjate que eso significa
que es posible construir con regla y compás segmentos cuya longitud tiene infinitas cifras decimales.
c) ¿Puede construirse con regla y compás un segmento que quepa un número entero exacto de veces
en el segmento unidad y en la diagonal del cuadrado que tiene lado 1?
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
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Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
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ACTIVIDAD 6. EL NÚMERO ÁUREO
El número áureo, también denominado “número de oro”, “número dorado”, “sección áurea”, “razón
áurea”, “razón dorada”, “media áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor
al escultor griego Fidias), es el número irracional:
El número áureo puede obtenerse como la siguiente proporción:
1
x
=
x 1− x
a) Comprueba que la solución de la ecuación dada por la proporción anterior es el número áureo:
1+ 5
Φ=
= 1'618033989 .....
2
b) Te dibujamos una forma de representar gráficamente un segmento que tenga esa longitud; explica
por qué a partir de dicho dibujo se obtiene el número áureo:
1/2
0
1
Φ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Quedan dos cuestiones importantes que no podemos resolver ahora, pero cuya respuesta sí puedes saber:
1) ¿Se pueden representar todos los números irracionales con ayuda del compás?
2) ¿Se rellena la recta entera con los puntos racionales y los irracionales?
La respuesta a la primera es que no; por ejemplo, no se puede dibujar con ayuda del compás un segmento
que valga exactamente π . La respuesta a la segunda es que sí: los números racionales e irracionales
juntos rellenan la recta completa. El conjunto de los números racionales e irracionales se llaman números
reales.
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez
ESTALMAT-Andalucía
Actividades 06/07
Sesión: 12. Fecha: 27/01/07
Título: Irracionales.
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ACTIVIDAD 7. CÁLCULO NUMÉRICO
a) Calcula exactamente 0’23/ 0’3, 1’9*3’17.
b) ¿Puedes calcular exactamente
2 + 3 , 2* π ? ¿Qué se puede calcular realmente?
c)
Determina el valor de 5/ 2 con cinco decimales. ¿Hay alguna forma más sencilla de hacer
este cálculo? Repite el ejercicio para obtener 2/ 3 y para obtener 1/( 5 + 3 )
d) ¿Puedes indicar cuánto vale 2- π con 15 cifras decimales?¿Por qué?
Manuel Delgado. Antonio J. Pérez