[Diapositivas Tema 6: Lugar de las Raíces I]
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Sistemas Automáticos Tema 5 Lugar de las Raíces Contenido • Respuesta dinámica de un sistema • Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado • Definición de Lugar de las Raíces (LR) • Ecuación Característica • Criterio del Argumento • Criterio del Módulo • Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces • Ejemplo Respuesta Dinámica de un Sistema Los ceros también influyen a través de los coeficientes (pesos) de los modos transitorios y(t) El comportamiento dinámico de un sistema viene dado por los polos de la f.d.t. (raíces de la ecuación característica) Respuesta Dinámica de un Sistema en Bucle Cerrado C(s) Planta Regulador + - (s) K U(s) Captador Ycap(s) H(s) La dinámica del sistema viene dada principalmente por las raíces de la ec. característica Y(s) G(s) Problemas: • Difícil si el orden de la ec. caract. >=3 • Habitualmente, necesario recalcularlos en función de un parámetro (ej.: K) Definición de Lugar de las Raíces (LR) Definición: C(s) El L.R. es el lugar geométrico en el plano complejo que ocupan las raíces de la ecuación característica cuando varía el parámetro K K=5 Planta Regulador + - (s) K U(s) Y(s) Captador Ycap(s) K=10 K=16 K=20 Ecuación Característica El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de la siguiente forma: Criterio del Argumento Criterio del Módulo Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Ejemplo: s-p4 p4 s-p3 p3 s-z1 s-p2 z1 p2 s-p1 s p1 pi Todo punto s del LR debe satisfacer esta condición general. Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Puntos finales del LR Lugar en el eje real Ramas Independientes 1 3 2 Simetría respecto al eje real 4 Puntos de comienzo del LR Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Im pi p1 p1 Re z1 z1 p2 p2 Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces Planta Regulador C(s) + - (s) K U(s) Captador Ycap(s) Función de transferencia en bucle abierto: Y(s) 2 1 4 -20 -10 -7 -5 -2 3 -20 -10 -7 -5 -2 -20 -10 -7 -5 -2 Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión Asíntotas Pto. dispersión centroide c=10 -20 -10 -7 -5 -2 Lugar de las Raíces final +j14.439 -20 -10 -7 -5 -2 -j14.439 Lugares de las Raíces básicos LR básicos: 1 polo real LR básicos: 2 polos reales LR básicos: 2 polos complejos LR básicos: 3 polos reales LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real) LR básicos: 4 polos LR básicos: 1 polo + 1 cero LR básicos: 2 polos + 1 cero LR básicos: 3 polos + 2 ceros LR básicos: 3 polos + 1 cero LR-i básicos: 1 polo LR-i básicos: 2 polos reales LR-i básicos: 3 polos reales LR-i básicos: 1 polo real + 2 polos complejos LR-i básicos: 2 polos reales + 1 cero LR-i básicos: 3 polos reales + 1 cero Planta Regulador C(s) + (s) K U(s) Y(s) - Captador Ycap(s) Determinar el comportamiento del sistema realimentado en función de la constante de tiempo, , del captador para K=1 Solución: La ecuación característica será: Reordenando términos… El problema queda planteado en términos de un LR: pequeñas: El LR tiene 3 ceros… comportamiento oscilatorio =0.688: … y dos polos polo doble amort. crítico =1: 3 polos reales sobreamort. T = 2.6 seg Conclusión Vemos cómo un captador lento influye negativamente en el comportamiento del lazo ralentizándolo =10: 3 polos reales sobreamort. muy lento T = 32 seg.
