pauta 2daguiaestudio 1erparcial continuidad limites calculodiferencial905

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
2da Guía de Estudio: Límites y Continuidad
Límites: Aplicación de Propiedades y Herramientas
Continuidad: Límites Laterales y Funciones por Partes
(Guía Complementaria No.2 – 1er Parcial)
(SOLUCIONARIO v2.0)
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el primer examen parcial, además, se establece que en ningún momento
ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los
ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y
conjeturas erróneas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que
ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de
universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de
los futuros profesionales de la ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado
que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del
conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 1 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
A.-) En los problemas del 1 al 9, determine en caso de existir, los valores de las incógnitas
tal que f(x) sea continua en R.
1.-)
3x  2a

f ( x )  4 ax  3b  1
x  2b

si x  2
si  2  x  1
si x  1

análisis en x  2
 lim  3x  2a  3 2   2a  6  2a
x   2

2.) lim f x                                 
x  2
 lim 4 ax  3b  1  4 a 2   3b  1  8a  3b  1
x   2
f ( x ) puede ser continua en x  2, sí lim  f x   lim  f x ; por lo tan to
x  2
x  2
 6  2a  8a  3b  1
 6  2a  8a  3b  1  0
6a  3b  7  0 ecuación No.1

análisis en x  1
 lim 4 ax  3b  1  4 a1  3b  1  4 a  3b  1
x  1

2.) lim f x                              
x 1
 lim x  2b   1  2b
x  1
f ( x ) puede ser continua en x  1, sí lim f x   lim f x ; por lo tan to
x 1
x 1
4 a  3b  1  1  2b
4 a  3b  1  1  2b  0
4 a  b  0 ecuación No.2 

se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente :
7

6a  3b  7  0 a  18

4a  b  0
b  14
9

SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 2 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
2.-)
 1  x 1

f (x)  
x
p

si x  0
si x  0
análisis en x  0
1.) f 0   p
1  x 1 0
  F.I.
x0
x
0
1  x 1  1  x 1
1  x 1
x

  lim
 lim
 lim
lim


x0
x0 x 1  x  1
x0
x
 1  x  1  x0 x 1  x  1
3.) para que f x  sea continua en el punto analizado
2.) lim




1
1

1  x 1 2
f 0   lim f x ; por lo tan to
x0
p1
2
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 3 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
3.-)
 2senx
si x   
2



x 
si 
f ( x )  asenx   b
2
2

cos x
si x  
2


análisis en x   
2


 lim  2senx   2sen    2 1  2
2
x    
2

2.) lim f x                              
x  
2


 lim  asenx   b   a sen  2  b  a 1  b  a  b
x   2
 
f ( x ) puede ser continua en x    , sí
2

lim  f x  
x  
2
lim  f x ; por lo tan to
x  
2
2  a  b
2  a  b  0 ecuación No.1

análisis en x  
2
  
 lim asenx   b   a sen   b  a1  b  a  b
2
x   
2

2.) lim f x                              
x
2

cos x   cos  2  0
 lim



x

2
 
f ( x ) puede ser continua en x   , sí
2
a  b  0 ecuación No.2 
lim  f x   lim  f x ; por lo tan to
x 
2
x 
2

se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente :
2  a  b  0 a  1

ab  0
b  1
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 4 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
4.-)
 ax

f ( x )  ax 2  bx  3
b

si x  1
si 1  x  4
si x  4

análisis en x  1
 lim  ax   a1  a
x  1

2.) lim f x                              
x 1

2
ax 2  bx  3  a1  b1  3  a  b  3
xlim


1

f ( x ) puede ser continua en x  1, sí lim f x   lim f x ; por lo tan to


x 1
x 1
a  ab3
aab3  0
 2a  b  3  0 ecuación No.1

análisis en x  4


 lim ax 2  bx  3  a4 2  b4   3  16a  4b  3
x  4 

2.) lim f x                              
x4
 lim b   b
x  4 

f ( x ) puede ser continua en x  4 , sí lim f x   lim f x ; por lo tan to
x 4
x 4
16a  4b  3  b
16a  4b  3  b  0
16a  3b  3  0 ecuación No.2 

se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente :
3

 2a  b  3  0 a  5

16a  3b  3  0 b   21
5

SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 5 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
5.-)

 b 1  cos 2 x

ax 2

f ( x )  3

2
 x a
 bx  4b  1

si x  0
si x  0
si x  0

análisis en x  0
1.) f 0   3


2


x2  a
0  a
a


2.1.) lim
b0   4b  1
4b  1
x  0 bx  4b  1

                                     


b 1  cos 2 x
b 1  cos 2 0  0
2.) lim f x   2.2.) lim

  F.I.
2
x 0
0
x  0
ax 2
a 0 


2
2
2
 lim b 1  cos x  lim bsen x  lim senx   lim b
x  0 
x 0
x  0
x 0 a
ax 2
ax 2
x2

2
2

b 
senx 
b
b b
 senx 
2
lim
lim
lim
 lim
 1    












x 
x 0 a
x 0 a
a a
 x 0
 x 0  x 


 


3.) f ( x ) puede ser continua en x  0, sí lim f x   lim f x   3; por lo tan to
x  0
x  0
a
b
3 &
 3  b  3a
4b  1
a
a

 3 sustituyen do b  3a
4 3a  1

3
y sustituyen do en la ecuación b  3a, tenemos  b   9
37
37

a
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 6 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
6.-)
1
 3 sen(a)

 x 2  5  3
f (x)  
2
 x 4
1
1
2
 log b   logb 
3
 2
si x  2
si x  R   2,2
si x  2
análisis en x  2
1.) f  2 
1
sen(a)
3
x2  5  3
2.) lim
2

0
 F.I.
0
x 4
x  5  3  x 2  5  3 
x2  5  9
x2  4
1

lim
lim
lim


2


2
x  2
x
2
x
2




x  4  x 5  3
x 2  4  x 2  5  3 
x 2  4  x 2  5  3  6




3.) para que f x  sea continua en x  2  f  2  lim f x ; por lo tan to
x  2
2


 


x  2
1 sen(a)  1  sen(a)  1  a  arcsen 1  a   , 5
3
6
2
2
6
6

análisis en x  2
1.) f 2 
2.) lim
1
1
log2 b  log b
3
2
x2  5  3
2

0
 F.I.
0
x 4
x  5  3  x 2  5  3 
x2  5  9
x2  4
1
lim
lim
lim



2


2
x2
x
2
x
2


x  4  x 5  3
x 2  4  x 2  5  3 
x 2  4  x 2  5  3  6




3.) para que f x  sea continua en x  2  f 2  lim f x ; por lo tan to
x2
2




x2
1 log b   1 logb   1  hacemos un cambio de var iable u  logb 
2
3
6
1 u 2  1 u  1  0  1 u 2  1 u  1  6  0   6  3u 2  2u  1  0  u  13u  1  0
2
3
6
2
3
6
3u  1  0
u 1  0
u   1  logb    1
3
3
u  1  logb   1
2

101  b
b  10

10
1
3
b
b  13
10
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 7 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
7.-)
3x  2a si x  2
Sea f ( x )  
4 ax  3 si  2  x  1

análisis en x  2
lim 3x  2a  3 2   2a  6  2a
x   2
lim 4 ax  3  4a 2  3  8a  3
x   2
f ( x ) puede ser continua en x  2, sí lim  f x   lim  f x ; por lo tan to
x  2
x  2
 6  2a  8a  3
 6  2a  8a  3  0
6a  3  0
a1
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------8.-)
 cos x   1
si x  0

f ( x )   3x 2
a
si x  0

análisis en x  0
1.) f 0   a
cos x   1 0
  F.I.
x0
0
3x 2
 1  cos 2 x 
cos x   1  cos x   1  1
cos 2 x   1
1
1
sen 2 x 





lim
lim
lim
lim

 cos x   1  3 x  0 2
x0
3 x  0 x 2 cos x   1
3x 2
x cos x   1 3 x  0 x 2 cos x   1


2.) lim


senx   lim
1
1
sen x  
1
1 2
1
1
1
  lim
   lim
  1 

  lim
2
x  0 cos x   1
3  x0
x  x  0 cos x   1
3
1 1
6
3 x0
x
3.) para que f x  sea continua en el punto analizado
2
2
f 0   lim f x ; por lo tan to
x0
a  1
6
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 8 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
9.-)
 sen(ax )
si x  0
 x

 x3  1
si 0  x  1

f (x)   x 2  x  2
c
si x  1

 x 2  b  1x  b
si x  1

x 1


análisis en x  0
03  1
1
0 02 2
sen(ax )
a  sen(ax )
sen(ax )

 lim
 a lim
 a1  a
xlim

x0
x0
x
ax
ax
 0
2.) lim f 0 
3
3
x0
 lim x  1  0  1  1
x  0 x 2  x  2 0 2  0  2 2
1.) f 0  
2

f ( x ) puede ser continua en x  0, sí lim f x   lim f x ; por lo tan to  a  1
x0
x0
2

análisis en x  1
1.) f 1  c

x3  1
0

 lim 2
x  1 x  x  2 0
2


x3  1
x  1 x 2  x  1
x 2  x  1 1  1  1
 lim 2

1
 lim
 lim
x 1
x2
12
x  1 x  x  2 x  1 x  2x  1
                                        

2.) lim f x   
x 2  b  1x  b 0
x 1

 lim
x 1
0
x  1
2

x  b  1x  b
x 2  bx  x  b
x 2  x  bx  b 
 lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x  1

x  1x  b  lim x  b  1  b
x x  1  bx  1
 lim
 lim
x 1
x  1
x 1
x 1
 x 1




f ( x ) puede ser continua en x  1, sí lim f x   lim f x ; por lo tan to  1  1  b  b  0
x 1
x 1
3.) si f x  es continua, entonces f 1  lim f x   c  1
x 1
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 9 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
B.-) En los problemas del 10 al 11, analice la continuidad de f(x) en el(los) punto(s) que
Ud. considere apropiado de acuerdo al comportamiento de la misma.
10.-)
 2x 2  2  x 2  3

x 1

 1
f (x)  
2
 3
 x 1
3 x 2  1



si x  1
si x  1
si x  1

análisis en x  1
1.) f  1   1
2

2x 2  2  x 2  3 0

 lim 
x 1
0
 x  1

2
2
2
2


2x 2  2  x 2  3
 lim 2 x  2  x  3  2 x  2  x  3   lim
 x   1
 2 x 2  2  x 2  3  x  1 x  1 2 x 2  2  x 2  3
x 1



2

x  1x  1
x 1
 lim 
 lim 
x  1 x  1 2 x 2  2  x 2  3
 x  1 x  1 2 x 2  2  x 2  3

2
1 1
x 1
1




2.) lim f x    lim 
2
2
2
2
x  1
4
2
x  1
2x  2  x  3
2 1  2   1  3

                                        


x3  1
0

 lim 
2
0
 x  1 3 x  1

2
3
2
2
 1 lim x  1  1 lim x  1 x  x  1  1 lim x  x  1  1   1   1  1
 3 x  1 x 2  1 3 x  1 x  1x  1
1 1
3
3 x   1 x  1

 1
 1  3
2
3
2

dado que lim  f x   lim  f x    1 ; por lo tan to lim f x  existe y vale  1
2
2
x  1
x  1
x  1











SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 10 de 22

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
11.-)
 3 x  1 11x


3
 x 1
3
 x  7x  6
f (x)   2
 x  3x  2
6

3x  4
si x  1
si 1  x  2
si x  2
si x  2

análisis en x  1
1  1 111 0 11

 
 no existe
1 1
3
0 3
3

x  1 11x 0
lim



x  1 x  1
3
0

2

3
3

 3
11x
x 1
 lim x  1  x  x  1   lim 11x  lim

lim
2

 x  1 x  1  3 x  3 x  1  x  1 3
x  1
x  1 3 x 2  3 x  1 x  1 3






1
11x
1
11

 lim


4
2.) lim f x    xlim
2

3
x 1
1 3
3
1 1 1 3
x 1


x
x
1

                                        


x 3  7x  6 0

lim
x  1 2
0


x
3
x
2


x  1 x 2  x  6  lim x  1x  3x  2  lim x  3  1  3  4
 lim
x  1
x  1
x  2x  1
x  2x  1
x  1
dado que lim f x   lim f x   4; por lo tan to lim f x  existe y vale 4
1.) f 1 
3
 
 
 
 

x 1
x 1

x 1
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 11 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
 3 x  1 11x

si x  1


x
1
3

 x 3  7x  6
f (x)   2
si 1  x  2
 x  3x  2
6
si x  2

si x  2
3x  4

análisis en x  2
1.) f 2   6

x 3  7x  6 0

 lim 2
 x  2 x  3x  2 0
2

 lim x  1 x  x  6  lim x  1x  3x  2   lim x  3  2  3  5
2.) lim f x   x  2 x  2 x  1
x  2
x  2
x  2x  1
x2

                                        
 lim 3x  4  32   4  10
x  2
dado que lim f x   lim f x ; por lo tan to lim f x  no existe.

x2
x2

x2
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 12 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
C.-) En los problemas del 12 al 30 encuentre el límite indicado o establezca que no existe.
(En el procedimiento, necesitará aplicar conceptos de algebra y/o trigonometría).
12.-)
cos x   1
lim

cos 0   1

0
 F.I.
0
0 2
cos x   1  cos x   1 
cos 2 x   1
cos x   1  cos x   1 





 lim
lim
lim
 cos x   1  x  0 x 2  cos x   1  cos x   1  x  0 x 2  cos x   1cos x   1
x0
x2


 1  cos 2 x 
sen 2 x 
 lim 2
  lim 2
x  0 x  cos x   1cos x   1
x  0 x  cos x   1cos x   1
2
2

1
1
senx  
senx 

 lim
 lim
  lim
  lim
2
x0
x  0  cos x   1cos x   1
x  x  0  cos x   1cos x   1
x
 x0
x2
x0
 1
2
1
 1
4
22
--------------------------------------------------------------------------------------------------13.-)
  
   
cos 2 
cos2x 
0
4

  F.I.
lim
x   senx   cos x 
0
sen   cos 
4
4
4
cosx   senx cosx   senx 
cos 2 x   sen2 x 
cos2x 
 lim
 lim
lim
x   senx   cos x 
x 
x
senx   cosx 
senx   cosx 
4
4
4
 lim
x
4
 senx   cosx cosx   senx 
  lim cosx   senx    cos   sen    2
4
4
x
senx   cosx 
4
  
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
 
Página 13 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
14.-)
lim
3
x 1
2 x  1  3 3x  2

4x  3  1
3
21  1  3 31  2
4 1  3  1

0
 F.I.
0


* *a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 * *
lim
3
x 1
lim
2 x  1  3 3 x  2 

4x  3  1





3
3

2x  1 
2x  1

3x  2  
2
 3 2 x  1 3 3x  2 
3
2
 3 2x  1 3
3
2 x  1  3 x  2 



3x  2 
3x  2
2

 lim
x 1


 4x  3  1 
1 x

  lim
4 x  3  1  4 x  3  1  x  1
 lim
1  x 
 lim
1  x 
 lim
1  x 

4x  3  1
 lim
x 1
4x  3  1
x 1

4x  3  1
 lim
x 1
4x  4
x 1

4x  3  1
 lim
x 1
 4 1  x 
x 1



1
lim
4 x 1

1
2    1    1 6
4
1  1  1 
4 x  3  1  lim
x 1

3

3

3

3

3
2x  1
2x  1

2x  1

2x  1

2x  1

2
2
2
2

2





2
2
4 x  3  1  3 2 x  1  3 2 x  1 3 3x  2  3 3x  2 


1 x
1
 lim
 lim
2
x 1
4 x  3  1 x  1 3 2 x  1  3 2 x  1 3 3x  2  3 3x  2
x 1
2

2
1
 3 2 x  1 3 3x  2 
1
 3 2 x  1 3 3x  2 
1
 3 2 x  1 3 3x  2 
1
 3 2 x  1 3 3x  2 
1
 3 2 x  1 3 3x  2 

3

3
3x  2

3x  2


3x  2


3x  2

3
3
3
3x  2

2
2
2
2

2
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 14 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
15.-)
x x 8
lim
4
x  16
x 2

16 16  8
4
16  2
0
 F.I.
0

1
x x 8
lim
4
x  16
x 2
 lim
x  16
 32  2
1
x   8
2
xx 8
 lim
 lim  4 
4
x  16
x  16
x 2
x 2

4
x3  8
4
x 2
 lim
x  16
 x
4
4
3
8
x 2

* *a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 * *

4
 lim
  x
x  2 

4
4
x  16
 24 x  4 
  lim
x  16
x 2
2
 x
2
4
 24 x  4 
 16 
4
2
 24 16  4  12
--------------------------------------------------------------------------------------------------16.-)
lim
x 
lim
x 


 lim
x 
 lim
x 
 lim
x 
 lim

x  2 
x2


x  2 
x3
x2  
x3
lim
x 

x2 x3
x  2 x  3  x  2 x  2   xlim


x 2  5x  6  x 2  4

x 2  5x  6  x 2  4
5 x  10
x 2 1  5  6 2  
x
x 

5 x  10
 lim
x 
x
2
x 2 x 2
 5x  6 


 x 2  5x  6 
x2  4 
 x 2  5x  6 

x 2  4 
x 2  4 
x 2  5x  6  x 2  4
x 2  5x  6 
x 2 1  4 2 
x 

 lim
 lim
x 
x2  4
5 x  10
x
2
15  6 2 
x
x
x2 1  4
x2
5 x  10
x 
x 15  6 2  x 1 4 2
x 15  6 2  x 1 4 2
x
x
x
x
x
x
5 x  10
5  10
x
x
 lim
 lim


x 
x
5
6
5
6
x 1
1

 x 1 4 2

 1 4 2
x
x
x2
x2
x
x
x
5  10
50

5


2
5
6
1
0
0
1
0




4
1

 1
2
2



x 
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 15 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
17.-)
 

1  2senx  1  2sen 6
0
lim

  F.I.

x
0
3x  
3 
6
2
6
2
 
cambio de var iable trigonomét rico
sea u  x    x  u  
6
6
si x   ; entonces sustituimo s en u  x   para obtener u  0
6
6
cos   3
1  2sen u  
1  2 senu cos   cos usen 

6
6
6
6
2
lim
 lim

u 0 3 u  
u 0
3u    

sen   1
6
2
2
2
6
2






 
 
 
 
 


1  2 senu 3   cos u 1 
2
1  3senu  cos u
 2

 lim
 lim

u 0
u 0
3u
3u
 3senu
1  cos u
3
senu 1
1  cos u
3
1
3

 lim
 lim

lim
 lim

1  0   
u 0
u 0
3u
3u
3 u 0
u
3 u 0
u
3
3
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------18.-)
lim
3
x 1
x 1 4
x 1
3
x 1
lim

3
1 1
4
1 1
0
 F.I.
0

x 1 4
x 1
* cambio de var iable; se elige el menor número divisible entre 3 y 4
para e lim inar las raíces
x  u12  12 x  u
si x  1, entonces sustituimo s en u  12 x para obtener u  1
 lim
u  1u  1u2  1
u  1u 2  u  1
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 16 de 22
3
u12  1
u 1 4
u12  1
lim
 lim
u 1
12
 lim
u 1
u
12
u
u  1u 2  1 
2
u  u 1
3
1
 lim
u 1
1
1  1 12  1
4

2
1 11
u4  1
u3  1
4
 lim
u 1
u
2

 1 u2  1

u  1u 2  u  1
u 1
3
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
19.-)
1
3
1
3
1 1



  
3
3
x 1 1  x
1 1 1 1
0 0
1x
1
3
1
3
1  x  x2  3
lim

 lim

 lim
x 1 1  x
x  1 1  x  1  x  x 2
1  x 3 x  1 1  x 1  x  1  x  x 2
lim

 lim
x 1

x2  x  2
1  x 1  x  x 2 
12
1  x  x2

 lim
x 1



x  2 x  1  lim  1  x x  2   lim
1  x 1  x  x 2  x  1 1  x 1  x  x 2  x  1
x2
1  x  x2
3
 1
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------20.-)
 
 


cos x   sen x  cos 4  sen 4
0

  F.I.
 
x 
0
x
4
4
4
4

sea u  x    x  u  
4
4
si x   ; entonces sustituimo s en u  x   para obtener u  0
4
4

lim
lim

cos u  
u 0
4
  senu   4 
u
cos u cos  4   senusen 4   senu cos  4   sen 4 cos u  cos  4  

u
sen   

4

 lim
u 0
2
2
2
2





 

 

 cos u  2 2   sen u  2 2     sen u  2 2    2 2  cos u 



 

 


 lim 
u 0
u
2 cos u   2 sen u   2 sen u   2 cos u 
 2 sen u   2 sen u 
2
2
2
2
2
2
 lim
 lim
u 0
u 0
u
u
  2  2 sen u 

2
2 
sen u 
 lim 
  2 lim
  2  1   2
u 0
u

0
u
u
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 17 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
21.-)
lim
x 
4
 
   
1  tan 
1  tanx 
0
4

  F.I.


0
senx   cos x  sen
 cos
4
4
cos x   senx 
senx 
1

1  tanx 
cos x 
cos x 
lim
 lim
 lim
senx   cos x  x   4 senx   cos x 
x   senx   cos x 
x
4
4
 lim
x
4
cos x   senx 
1
1
 senx   cos x 
 lim
  lim

cos x senx   cos x  x   4 cos x senx   cos x 
x   cos x 
cos 
4
 4

2
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------22.-)
lim
x0
tan 5 2 x sen 4 x  tan 5 20 sen 4 0  0

  F.I.
0
x6
0 6
tan2 x   lim sen 4 x   lim  tan2 x    lim 4  sen 4 x 
tan 5 2 x sen 4 x 
lim
 lim
6
x0
x0
x0 
x0
x
x
4x
x
x5
 x0
5
5
2  tan 2 x  
sen 4 x  
tan 2 x  
sen 4 x 

  lim
  2 lim
  4 lim
  4 lim
x0
x0
2x
4x
2x 
4x
 x0

 x0
5
5
tan 2 x  
sen 4 x 
5
 32 1  4 1  128
 2   lim
  4 lim
x0
2x 
4x
 x0
5
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------23.-)
lim
3
x3
x 2  6x  3

x 3
3
32  63  3  0  F.I.
33

0

* *a3  b 3  a  b  a2  ab  b 2 * *
x
x
 3
 6x   3



x 2  6x  9 
x 2  6 x  27 
lim
lim

 x3
2
2
x3
3 2
3 2
x  6 x  9 
x  3 3 x 2  6 x  33 x 2  6 x  9


x  9x  3
x9
 lim
lim
2
2
x3
x3 3 2
x  6 x  33 x 2  6 x  9
x  3 3 x 2  6 x  33 x 2  6 x  9


39
12
12 4




2
9
 3 32  63   33 32  63  9 9  9  9 27


3

x 2  6x  3 

x 3


3

2
 6x
2
3




SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 18 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
24.-)
lim x  x 2  2 x      F.I.
x 
 x  x 2  2x
lim x  x 2  2 x 
 x  x 2  2x
x 

2x
  lim
x  
  lim
2x
x  

x  x2 1  2
x  x 1 2

  lim
x 
x
  lim
x  
x

2
2

 2x
  lim x  x  2 x  lim
 x    x  x 2  2x
x  
x  x2 1  2

x
2x
x  x 1 2
2x
x 1  1  2 
x

  lim

2x
x  
x
  lim
x 
x   x  1  2
2
1 1 2

x


x
2
1 1 2

2
 1
1 10
--------------------------------------------------------------------------------------------------25.-)
lim
y0
lim
y0
3
1  y 1
1 1 y
3

3
1  0 1 0
  F.I.
1  1 0 0
1  y 1
1 1 y

cambio de var iable polinómico con exp onente divisible entre 3 y 2
sea u6  1  y  y  u6  1
si y  0; entonces sustituimos en u6  1  y para obtener u  1

lim
u1
3
u6  1
1  u6
  lim
u1
 lim
u1
u
6
3
1
1u
6
2
 lim
u1
u  1u  1  lim  1  uu  1
u2  1
 lim
3
u  1 1  u 1  u  u2
u  1 1  u 1  u  u2
1u




u 1
1 1
2


2
2
3
1uu
1  1  1
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 19 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
26.-)
lim
x a
sea u  x  a  x  u  a
senx   sena 0
 F.I.  
xa
0
si x  a; sustituyendo en u  x  a obtenemos u  0

cosa & sena
senu  a  sena
senu cosa  sena cosu  sena
 lim

u 0
u 0
u
u
son cons tan tes
senu cosa
sena cosu  sena
senu
senacosu  1
 lim
 lim
 cosa lim
 lim
u 0
u 0
u 0
u 0
u
u
u
u
senu
 1  cosu
senu
1  cosu
 cosa lim
 sena lim
 cosa lim
 sena lim
u 0
u 0
u 0
u 0
u
u
u
u
 cosa1  sena0  cosa
lim
--------------------------------------------------------------------------------------------------27.-)
lim
x0
tanx   senx  tan0   sen0  0

  F.I.
0
x3
03
senx   senx  cos x 
senx 
 senx 
tanx   senx 
cos x 
cos x 
lim
 lim
 lim
3
3
x0
x0
x0
x
x3
x
senx 1  cos x 
senx 1  cos x   1  cos x  
senx  1  cos 2 x 

  lim 3
 lim
 lim
x0
x0
x 3 cos x 
x 3 cos x 
 1  cos x   x  0 x cos x 1  cos x 

 lim
x0



senx  sen 2 x 
sen 3 x 
1
lim

 lim
3
3
x  0 cos x 1  cos x 
x cos x 1  cos x  x  0
x
senx  
1
1

3
  lim
 1 
1
  lim
2
x  x  0 cos x 1  cos x 
11  1
 x0
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------28.-)
lim
x  
9x 6  x
3
x 1


 F.I.

x 6  9  1 5 
x6  9  1 5
x3  9  1 5
x 

x
x
lim
 lim
 lim
 lim
3
3
3
3
x  
x  
x  
x  
x 1
x 1
x 1
x 1
x3 9  1 5
x
 x3 9  1 5
9 1 5
3
x
x   9  0  3
x
 lim
  lim
  lim
3
3
x  
x  
x   1  1
10
x 1
x 1
3
x
x3
9x 6  x
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 20 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
29.-)
2
2 
2
2
2 




x2
  lim   x  2  x  9  x   lim   x x  9  2 x  9  x 
lim   x  2  


 x  
x  
x 2  9  x  
x2  9
x2  9





x 2 1  9 2   x 2  1  9 2  x  1  9 2   x 1  9 2
x 
x
x
x


* * x2  9 





2 
  x   x 1  9 2   2  x 1  9 2   x 
x 
x 



 lim 
x  

x 1 9 2


x


2  1

 1 9
 x2 1  9
9
9
2



2  2x 1 
2  x 
2  x 1
2  1
2 
2
x
x
x
x
   
 x   lim 
 lim 
x  
 0
 1 2  x   
1 1 9 2
x 1 9 2

x
x


x
x




--------------------------------------------------------------------------------------------------30.-)
lim
4
x4  1 
x
x 0
 lim
4
x 0
 lim
x 0
 lim
x 0
 lim
x 0

x2  1 


x
x
4
4
4
4
3
4


x2  4 x4  1



x2  4 x4  1



x2  4 x4  1

x
4

* *a 4  b 4  a  b  a 3  a 2 b  ab 2  b 3 * *
1
4
1
4
3
4
  x
3
4
  x
3
4
4
4
4
2
4
4
4
4
x4  1  x2  1
4
1
 x
2
2
 x
1 

4
4
4
1
1
1
 x
 x
2
 x
2
2
 x
1 
4

 x
1 
4
4
 x
1 
4
4
2
2


3
1 
3
1 
1
 x
2
1
  x
2

2
1
 x
2
1
  x
2
4
1
 x
2
1
  x
2
1
3
2
4
2
2
2
2
2
 2x 2
2
4
2
2
x 4  1  x 4  2x 2  1
2
2
2
4
4

4
4
2
2
2
4
2
2
4
4
2
4
  x
  x
3
4
3
3
4
x2

0
 F.I.
0
   x  1   x  1    x  1  x  1    x
x
 1    x  1   x  1    x  1  x  1    x
 x  1   x  1


 x  1    x  1   x  1    x  1  x  1    x  1  


2
 lim
 lim

2
x4  1 
x 0
x 0
x2  1
 x
2
1
2
2
  x
2
2
1

3
1 


3
1 


3
1 


3
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
 1
2
Página 21 de 22
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Bibliografía Utilizada en la Selección/Solución de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning
Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.
Universidad de Chile. Santiago de Chile.
11. Guía Complementaria #1; Límites y Continuidad. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional
Autónoma de Honduras (UNAH). Tegucigalpa, Honduras.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República
Bolivariana de Venezuela.
13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José
Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
14. Castillo, A. (2010). Guía Complementaria sobre Límites, 1er Parcial. Tegucigalpa, Honduras. UNITEC.
15. Rovelo, I. (2009). Guía Complementaria sobre Límites, 1er Parcial. Tegucigalpa, Honduras. UNITEC.
JUCELO1209® D.R.2015
SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones
Página 22 de 22