pauta guiaestudio6 parcial2 limites reglalhopital diferencial905 v1f

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía de Estudio No.6 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada
Resolución de Límites utilizando la Regla de L’Hôpital
(SOLUCIONARIO Guía No.6 – 2do Parcial)
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento
ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los
ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y
conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que
ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de
universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los
futuros profesionales de la ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que
Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del
conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir
las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
A.-) En los problemas del No.1 – No.54, aplique la regla de L’Hôpital en caso de ser necesario, y
proceda a resolver el límite solicitado.
Nota: para que la guía sea revisada por el total del puntaje destinado para tal fin, deberá desarrollar
como mínimo 40 de los 54 ejercicios, seleccionados al azar pero numerados de forma correlativa.
1.-)
lim
x 1


ln 2x 2  1 0

tanx  1 0
2x
2

1 '
4x
ln 2x  1
4x
2x  1
2x 2  1  lim
lim
 L' H lim

lim
4
2
2
2
x  1 2x  1 sec 2 x  1
x  1 tanx  1
x  1 sec x  1  x  1 '
x  1 sec x  1
----------------------------------------------------------------------------------------------------

2

2
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

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2.-)
x  senx  0

x0
0
x3
x  senx 
1  cosx  0
 L' H lim

lim
3
x0
x
0

0
x
3x 2
senx  1
1  cosx 
senx  1
 L' H lim
 lim
 1  1
lim
2
6
x0
x

0
x

0
6
x
6
x
6
3x
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
3.-)
1  cos x  1 0

0
ln2 x 
lim
x 1
1  cos x  1
senx  1  x  1 '
senx  1
x  senx  1 0
 L ' H lim
 lim
 lim

2
2 1
x

1
x

1
x

1
2 lnx 
0
ln x 
2 ln x   lnx  '
2 lnx   1
x
x  senx  1
senx  1  x  cos x  1  x  1 '
xsenx  1  x cos x  1 1
 L ' H lim
 lim

lim
x 1
x 1
x 1
2 lnx 
2
2
21
x
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 
lim
x 1
 
4.-)
cos 2 x   1 0

x0
0
x2
cos 2 x   1
2 cos 2 1 x   cos x  '
cos x    sen x 
cos x sen x 
lim

L
'
H
lim
 lim
  lim
2
x0
x0
x0
x0
2x
x
x
x
sen x 
  lim
 lim cos x    1 1   1
x0
x0
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
5.-)
lim cot x  
x0

lim
x0

1
cos x  1
 lim
 

x x  0 senx  x
cos x   x  senx   cos x 
cos x  1
x cos x   senx 
  lim
 L ' H lim


senx  x x  0
xsenx 
senx   x  cos x 
x0
xsenx 
0

0
x  0  senx   x cos x 
xsenx 
senx   x cos x 
 lim
 L ' H  lim
 senx   x cos x 
 cos x   cos x   x  senx 
x0
x0
  lim
  lim
x0

senx   x cos x 
0
 0
2 cos x   xsenx 
2
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6.-)
lim x lnx   0  
x 0
lim x lnx   lim
x 0
x 0
lnx   0
1
x
0
1
x
x   lim x  0
lim
lim
lim
  lim
x 0
x 0
x  0   1x  2
x 0 1
x 0
1
x 1
x
x2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
lnx  
lnx   L ' H
1
7.-)
x 1   0

2x 
x 
lim
x 1   lim e x 1 ln2 x   e x lim  x
lim 2x 
x 
x 
1
ln2 x 
 e0  1

ln2x  
lim x 1 ln2x   lim

x 
x 
x

2
ln2x 
1
lim
 L ' H lim 2x  lim
0
x 
x  1
x  x
x

---------------------------------------------------------------------------------------------------8.-)
3x 2   1

cos 2 x 
x 0
lim
3x  2   lim e 3 x  2 lncos 2 x   e x lim0  3x
lim cos 2 x 
x 0
x0
2
ln cos 2 x 
 e 6  1
e6

lncos 2 x  0

lim 3 x  2  lncos 2 x   3 lim
x 0
x 0
0
x2
cos 2 x '
 sen 2 x   2 
sen 2 x 
lncos 2 x 
cos 2 x 
cos 2 x 
 L ' H 3 lim
 3 lim
 3 lim
3 lim
2
x 0
x0
x 0
x  0  x cos 2 x 
2x
2x
x
sen 2 x 
1
2  sen 2 x 
1
 lim
 3 lim
 lim
 3  21  1  6
x

0

x

0

x

0

x
cos 2 x 
2x
cos 2 x 

 3 lim
x 0
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9.-)
senx 
lim cotx 
x0
senx 
lim cotx 
x0
 0
lim senx lncot x 
 lim e senx lncot x   e x  0 
x0
 e0  1

lim senx   lncotx   0  
x0
lncotx  
lncotx 
 lim

x0 1
x  0  cscx 

senx 
lim senx   lncotx   lim
x0
cotx '
 csc 2 x 
lncotx 
csc 2 x 
cscx 
cotx 
cotx 
 L' H lim
 lim
 lim
 lim
lim
2
x  0  cscx 
x  0   cscx  cotx 
x  0   cscx  cotx 
x  0  cscx  cot x 
x  0  cot 2 x 
1
senx  0
sen2 x 
senx 
lim


 0
lim
x  0  cos 2 x 
x  0  senx  cos 2 x 
x  0  cos 2 x 
1
2
sen x 
 lim

---------------------------------------------------------------------------------------------------10.-)
lim
x0
e x  ex
0

senx 
0
ex  ex
ex  ex 1  1
 L ' H lim

2
x  0 senx 
x  0 cos x 
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
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11.-)
lim
x


ln x   2 x 
lim
x
1
1
 L ' H lim
 lim
3 1
2
x
x






ln x   2 x
3 ln x   lnx  '  2
3 ln x   1
3
x 
 x 2
3
x 
 lim
x 
 lim
x 
1
3 ln x   2 x
x
2

x

3 ln x   2 x 
 x  2
2
x 
x 
2
x
1
1
 L ' H lim
 lim
2

1
x    6 ln
x   lnx '  2 x    6 lnx   1
3 ln x   2 x
lim
 lim
 lim
x 
1
6 lnx   2 x
x

x

6 lnx   2 x 
1
1
x
 L ' H lim
 lim
1
2
x    6 ln x   2 x
x  6 1
x



1
2
2
6
x
x
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 
lim
12.-)
lim
x  0
 
1
1

 
x senx 
1
1
senx   x 0

 lim


senx  x  0 xsenx 
0
x0 x
senx   x
cos x   1
0
lim
 L ' H lim



xsenx 
0
x0
x  0 senx   x cos x 
lim

cos x   1
 senx 
 senx 
0
 L' H lim
 lim
 0
2
x  0  senx   x cos x 
x  0  cos x   cos x   x  senx 
x  0  2 cos x   xsenx 
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
13.-)
lim tan x   1sec 2 x   0  
x 
4
tanx   1sec 2 x  
lim
x 
4
x 
4
1
sec 2 x 
lim
x 
4
tanx   1  0
cos 2 x 
0
sec 2 x 
1  tan 2 x 
11
 lim

 1
x 
 sen 2 x   2 x   4  sen 2 x   2
2
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
tanx   1  L ' H lim
x 
cos 2 x 
4
tanx   1 
lim
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14.-)
tanx 
lim x 
 00
x  0
tanx 
lim x 
x0
 lim e

x0
tanx lnx 

lim tanx lnx 
e
x  0
 e0  1

lim tanx   lnx   0  
x  0
lnx 
lnx 

 lim


1

x  0 cotx 
tanx 
lim tanx   lnx   lim
x0

x0

1
1
lnx 
sen2 x 
senx 
x
x
lim
 L' H lim






 lim senx 
lim
lim
2
x
x
x  0 cotx 
x  0  csc x 
x  0 1
x  0
x  0
x  0
sen2 x 
lim
 1  0   0

---------------------------------------------------------------------------------------------------15.-)
lim
x  0
lim
x0

cot x senx    0
sen x 
cot x 
 lim e
x0

sen x ln cot x 
lim sen  x ln cot x 
e
x  0
 e0  1

lncot x  

lim senx   lncot x   lim

 1

x0
x0
senx 
cot x  '
 csc 2 x 
csc 2 x 
lncot x 
cot x 
cot x 
 L ' H lim
 lim
 lim
lim
2
x  0  csc x  cot x 
x  0  csc x 
x  0   csc x  cot x 
x  0   csc x  cot x 
1
sen 2 x 
senx 
0
csc x 
senx 
 lim


 lim
 0
lim
lim
2
2
2
2




1
x  0 cot x 
x  0 cos x 
x  0 senx  cos x 
x  0 cos x 
2
sen x 

----------------------------------------------------------------------------------------------------
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16.-)
 1 


 x  2 
x
lim  

x2  2 
 1 


 1
 1 
x
 1  x
lim 
 ln 

 ln 
1
  x 2 
 x  x  2 
2
 lim e  x  2   2   e x  2
e 2  e
lim  
x  2  2 
x  2

ln x
 1 
x
2 0
lim 
  ln   lim
 x 2
0
x2 

 2  x2 x  2
 
 2 
ln x
1
lnx   ln2 
1 1
lim
lim
 L ' H lim x  lim

2
x 2
x  2 x  2
x  2
x  2 1
x  2 x

---------------------------------------------------------------------------------------------------17.-)
lim
lnx  0

x 1 0
lim
1
lnx 
1
 L' H lim x  lim  1
x 1 1
x 1 x
x 1
x 1
x 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------**18.-)
sen3 x 
0

x  0 x  3 sen 2 x 
0
2
sen3 x 
cos 3x   3
cos 3x 
1
lim
 L ' H lim
 3 lim
 3
 3
2
x  0 x  3 sen 2 x 
x  0 1  3 cos 2 x   2
x  0 1  3 cos 2 x 
1  31
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
19.-)
lim
x0
ln1  x   sen x  0

x sen x 
0
1  x  '  cos x 
1
 cos x 
ln1  x   sen x 
lim
 L ' H lim 1  x
 lim 1  x
x0
x  0 sen x   x cos x 
x  0 sen x   x cos x 
x sen x 
1  cos x   1  x 
1  cos x   1  x 
1  cos x   x cos x 
0
1 x
 lim
 lim
 lim

x  0 sen x   x cos x 
x  0 1  x   sen x   x cos x 
x  0 1  x   sen x   x cos x 
0
sen x   cos x   x   sen x 
x  0 sen x   x cos x   1  x cos x   cos x   x   sen x 
sen x   cos x   xsen x 
0 1  0
 lim

 1
2
x  0 sen x   x cos x   1  x 2 cos x   xsen x 
0  0  12  0
 L ' H lim
---------------------------------------------------------------------------------------------------20.-)
lim
x  0
lim
x0

1
1
 
ln1  x  x
x  ln1  x  0
1
1

  lim

ln1  x  x x  0 x ln1  x 
0
x  ln1  x 
 L ' H lim
x ln1  x 
x  0
lim
x0

1  x   1
 lim
x0

1
1  x  '
1
1
1 x
1 x
 lim

x
1  x  ' x  0
ln1  x  
ln1  x   x
1 x
1 x
x
0
1 x
 lim


1  x   ln1  x   x x  0 1  x   ln1  x   x 0
1 x
1
1
x
1
 lim

 L ' H lim
1  x  '   1 x  0 ln1  x   1  1 2
x  0  1  x   ln1  x   x
x  0 




ln
1
x
1
x




1  x 

---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
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**21.-)
1
sen
 x 
 1  tanx 

lim 

x  0  1  senx  
 1
1
 1  tan x  
1
1
 1  tan x  

 ln

 ln 
 1  sen x  
 sen x 
 1  tanx   sen x 


sen x   1  sen x  

lim 
 lim e
 e x 0
 e0  1




1

sen
x
x0 
x0


lim
 1  tanx  

ln
1  senx   0
 1  tanx  
1

  lim
 ln

lim
senx 
0
x  0  senx 
 1  senx   x  0 
 1  tanx  

ln
1  senx  
ln1  tanx   ln1  senx  0

 lim

lim
senx 
senx 
0
x  0
x  0
 L ' H lim
x0
1  tanx  '  1  senx  '
1  tanx 
1  senx 
cos x 
sec 2 x 
cos x 
1
1


1  tanx  1  senx  1  0 1  0
 lim

0
x0
cos x 
1

---------------------------------------------------------------------------------------------------22.-)
lim
x sen x   0 0
lim
x sen x  
x0
x0


lim sen x  ln x 
lim e sen x ln x   e x  0
x0


 e0  1

lim sen x   lnx   lim
x0

lim
x  0
x0

lnx 
1
sen x 



1
lnx 
1
x
 L ' H lim
  lim
  lim
csc x 
x  0   csc x  cot x 
x  0  x csc x  cot x 
x  0
  lim
x  0
sen x 
sen x 
sen 2 x 
  lim
 lim
 1  0   0


x
x cos x 
x0
x  0 cos x 
1
x
1 cos x 
sen x  sen x 

----------------------------------------------------------------------------------------------------
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23.-)
1  cos 2 2x  0
lim

x0
0
3x 2
2
 2 cos 2 1 2x   cos2x  '
 2 cos2x   sen2x   2
1  cos 2x 
 L' H lim
 lim
lim
2
x0
x0
x0
6x
6x
3x
2 cos2x sen2x  0
 lim

x0
3x
0
 sen2x   2  sen2x   cos2x  cos2x   2
2
cos2x sen2x 
2
 lim
 L' H lim
3 x0
x
3 x0
1
 2sen2 2x   2 cos 2 2x  2 2 4
2
 lim
  
3
3 x0
1
3 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
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****24.-)
1
lim
sen x 
2
x  0

1
x2

x 2  sen 2 x  0
lim

0
x  0
x 2 sen 2 x 
2 x  2senx  cos x 
L ' H lim
2
2

x  0 2 xsen x   x 2senx  cos x 
2 x  sen2 x 
0
 lim

2
2

0
x  0 2 xsen x   x sen2 x 
L ' H lim
x0

2  2 cos 2 x 
 
2sen x   2 x 2senx  cos x   2 xsen2 x   x 2 2 cos 2 x 
2
21  cos 2 x 
 lim
2sen x   4 xsenx  cos x   2 xsen2 x   2 x 2 cos 2 x 
1  cos 2 x 
 lim
2
2
x  0  sen x   xsen2 x   xsen2 x   x cos 2 x 
x0
2

 lim
x  0
1  cos 2 x 
0

sen 2 x   2 xsen2 x   x 2 cos 2 x  0
L ' H lim
x  0
lim
x  0
2sen2 x 
sen2 x   2sen2 x   4 x cos 2 x   2 x cos 2 x   2 x 2 sen2 x 
 lim
x  0
2sen2 x 
0

2
3sen2 x   6 x cos 2 x   2 x sen2 x  0
L ' H lim
x  0
 lim
2sen2 x 
2senx  cos x   2sen2 x   2 x 2 cos 2 x   2 x cos 2 x   2 x 2 sen2 x 
4 cos 2 x 
6 cos 2 x   6 cos 2 x   6 x 2  sen2 x   4 xsen2 x   2 x 2  2 cos 2 x 
4 cos 2 x 


12 cos 2 x   12 xsen2 x   4 xsen2 x   4 x 2 cos 2 x 
4 cos 2 x 
4
 lim

1
2

3
12
x  0 12 cos 2 x   16 xsen 2 x   4 x cos 2 x 
x  0
----------------------------------------------------------------------------------------------------
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25.-)
lim
x  tanx  0

x  senx  0
lim
x  tanx 
1  sec 2 x  0
 L ' H lim

x  0 1  cos x 
x  senx 
0
x0
x0
 2 sec 2 1 x   sec x  '
1  sec 2 x 
sec x   sec x  tanx 
 L ' H lim
 2 lim
lim
x0
x  0 1  cos x 
x0
senx 
senx 
senx 
1
sec x  tanx 
senx 
cos x  cos x 
 2 lim
 2 lim
 2 lim
 2 lim
 2
3
x0
x0
x  0 cos x senx 
x  0 cos 3 x 
senx 
senx 
1
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------26.-)
lim
1  cos 2 x 
x  1
2
x1
lim
1  cos 2 x 
x  1
2
x1
 lim
x1

0
0
 L ' H lim
x1
sen 2 x   2 x  '
2 x  1 
2 1
 x  1  '
 lim
x1
sen 2 x   2 
sen 2 x  0
  lim

x1
2 x  1 
x 1
0
sen 2 x 
cos 2 x   2 x  '
cos 2 x   2 
 L ' H  lim
  lim
   1  2    2  2
x1
x1
x 1
1
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------27.-)
lim
x0
1  senx   e x 0

arctanx 
0
1  senx   e x
cosx   e x
cosx   e x
 lim 1  x 2 cosx   e x  0
 L' H lim
 lim
x0
x0
x0
x0
x  '
1
arctanx 
2
2
1 x
1 x
---------------------------------------------------------------------------------------------------lim
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


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28.-)
lim
x 0
lim
x 0
1
arctan x log x   0 0
lim log
1
1
arctan x log x   xlim
e log x  ln arctan x   e x  0 
 0
1 

x   ln arctan  x 
 e ln 10 

lnarctan x  
1
 lnarctan x   lim

lim
x  0  log x 
x 0

log x 
arctan x  '
lnarctan x 
arctan x 
 L ' H lim
lim
x 0
x 0
x  '
log x 
ln10   x
x  '
1
1 x
1  x2
arctan x 
arctan x 
 lim
 lim
x 0
x 0
1
1
x ln10 
x ln10 
2
1
x
0
x ln10 
1  x 2 arctan x 
 lim
 lim
 ln10  lim

2
2
x 0
x 0 1  x
x 0 1  x
1
arctan x  0
arctan x 
x ln10 


 ln10  lim
x 0
ln10  lim
x 0

1  x 
2



x
1
 L ' H ln10  lim
x 0
arctan x 
2 x  arctan x   1  x 2

1 1x
2
1
1
 ln10  
 ln 10 
2 x  arctan x   1
0 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------
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29.-)
e x  e senx  0

lim
x  0 x  senx 
0
lim
x0
e x  e senx 
e x  e senx   lne   senx  '
e x  e senx   cosx  0
 L' H lim
 lim

x0
x0
x  senx 
1  cosx 
1  cos x 
0
 L' H lim
x0


e x  e senx   cosx   cos x   e senx   senx 
senx 
e x  cos 2 x e senx   senx e senx  0
lim

x0
senx 
0

 

e x  2 cosx   senx e senx   cos 2 x e senx  * cosx   cosx e senx   senx e senx   cosx 
L' H lim
x0
cos x 
lim
x0
e x  2 cosx senx e senx   cos 3 x e senx   cosx e senx   cosx senx e senx 
cosx 


e x  3 cosx senx e senx   cos 3 x e senx   cosx e senx  1  3  1  0  1  13  1  1  1
lim

1
x0
cosx 
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------30.-)
lim
x0
lim
x0
lncos 3x  0

lncos 2 x  0
lncos 3x 
 L ' H lim
x0
lncos 2 x 
cos 3x  '
cos 3x 
cos 2 x  '
cos 2 x 
 sen3x   3
sen 3x  cos 2 x  0
3
cos 3x 
 lim

 lim
x  0  sen 2 x   2
x

0
2
cos 3x sen2 x  0
cos 2 x 
3  sen3x 
sen 3x 
sen 3x  cos 2 x 
 lim cos 2 x 
 lim cos 2 x 
lim
lim
3 x0
3 x0
3
x0
x0

3
x
x
x

 lim

2  sen2 x 
sen2 x  2
2 x  0 cos 3x sen2 x  2
lim cos 3x   lim
lim cos 3x   lim
x0
x0
x0
x0
2x
x
x
sen3x 
 lim cos 2 x 
lim
9 1 1 9
9 x  0 3x
x0



4
sen 2 x  4 1  1
4
lim cos 3x   lim
x0
x0
2x
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***31.-)

  2    arctane    2    89.99999   2     0
arctane    2  0
lim x  arctan e x  
x

x
lim
1
x

x
e  '
1  e 
x
L ' H lim
x
x 2
1
x2
0
ex
2x

x 2e x

1
e
 lim
 lim 

2
x
x  1
x

1e
x2


 2 xe x  x 2 e x
e x  2x  x 2
 2x  x 2 
L ' H lim
 lim
 lim

x
x
x

2e 2 x
2e 2 x
2e x
L ' H lim
x
L ' H lim
x
 2  2x
2e
x
 lim
x
1  x
e
x



1 1

0

ex
---------------------------------------------------------------------------------------------------32.-)
lim
x 

2
lim
x 
tanx   8


sec x   10 
tanx   8
sec x 
sec x 
 L ' H lim
 lim
 lim
 sec x  tan x 
 tan x 

sec x   10
x 
x 
x 
2

2
2
 lim
x 
2

2
2
1
cos x 
sen x 
cos x 
1
1
sen x 
----------------------------------------------------------------------------------------------------
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33.-)
lim
x0
4 x  ln1  x  0

x ln1  x 
0
x  ln1  x 
 L ' H 4 lim
4 lim
x  0 x ln1  x 
x0
1  x   1
 4 lim
x0
1
1  x  '
1
1
1 x
1 x
 4 lim
x0

1  x '
x
ln1  x   x
ln1  x  
1 x
1 x
x
0
1 x
 4 lim

x  0 1  x   ln1  x   x
1  x   ln1  x   x
0
1 x
1
 L ' H 4 lim
1  x  ' 

ln1  x   1  x   1  x   1


1
1
 4 lim
 4
2
x  0 ln1  x   1  1
0 1 1
x0
 4 lim
x0
1
1 

ln1  x   1  x   1  x   1


---------------------------------------------------------------------------------------------------34.-)
lim
2 x  3sen x   x cos x 
x
x0
lim
5
2 x  3sen x   x cos x 
x0
 lim
5
x
2  2 cos x   xsen x 
5x
x0
 L ' H lim
x0
4

0
0
 L ' H lim
5x 4
x0

0
0
2sen x   sen x   x cos x 
20 x 3
2  3 cos x   cos x   x   sen x 
 lim
sen x   x cos x 
x0
cos x   cos x   x   sen x 
20 x 3
0
0
1
sen x 
1
1  1 60
lim

x0
x0
60 x  0
x
60
60 x
60 x
--------------------------------------------------------------------------------------------------- L ' H lim
2
 lim
xsen x 

2

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35.-)
lim   2 arctan x ln x     2 arctan  ln     289 .999999    0  
x
  2 arctan x   0
lim
1
x

L ' H lim
x 
L ' H lim
0
ln x
2
2
x  1  lim 2 x ln x   
x 

x2  1
 1
x ln 2 x 
2

2 ln 2 x   2 x 2 ln x  1
2x
lnx lnx   2  
lim

x
x

x 
L ' H lim
1
lnx   2  lnx 1 x 
x
1
x 
L ' H lim
x 

2
x  lim 2 ln x   4 ln x  lim 2 lnx lnx   2 
x
x 
2x
2x
 x   lim
21
1
x 
lnx   2  lnx 
2 lnx   2 
x
 lim
 lim

x 
x


1
x

2
0
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------36.-)
lim
x
lnx 
0

lnlnx  0
x  '
lnx 
x
lim
 L ' H lim
 lim
x   lnlnx 
x   lnx  '
x
lnx 
1
1
x lnx 
x  lim
x
 lim
 lim lnx   
x
x
x
1
1
x
x
x lnx 
lnx 
---------------------------------------------------------------------------------------------------***37.-)
lim
x
x ln 1 x    ln 1     ln0.0000001    
(no es F.I.)
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38.-)
log x 


log sen x  
lim
x 0
log x 
 L ' H lim
x 0
log sen x 
lim
x 0
 lim
x 0
x  '
ln 10   x
 0
sen x  '  xlim
ln 10   sen x 
sen x 
1
1
 lim
1 1
x  0  cos x 
x
1
1
ln 10   sen x 
ln 10   x
 lim
x

0

cos x 
ln 10   x  cos x 
ln 10   sen x 
---------------------------------------------------------------------------------------------------39.-)
lim
x
  2 arctan x
e
3
x
1

  2 arctan  
e
3

1

  289.999999  0

0
e0  1
2
2
2
2
2
x2
2
1
x2
 lim 1  3x  lim 3
 lim 3  lim
L ' H lim 3 1  x
x
x
3 x e x 1  x2
3 x e x x  1  x2
3e x
e x   3 2 
x 

x2
1 
1
1
2  1   1  2
2
1
x2  x2  2
 lim 3  lim
lim
lim



 
 3


x 1  x2
1  3 x   3x x   1  1 3  e0   0  1 
3 x
x

e
e
x2
 x2 



----------------------------------------------------------------------------------------------------
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40.-)
lim
 2x
2
lim
 2x
2
x1

x  1
1

1

x 1 
x 1 
 00
 lim e
x 1  ln 

2  x 2  1 

x  1
lim
e
x  1
x 1  ln 

2  x 2  1 

 e0  1

lim
x1


x  1  ln 

2  x 2  1  lim
ln 2  x 2  1
 lim
x  1
x  11
x 1




ln 2  x 2  1

1

x 1
 2x
  L ' H lim
x  1
2

1
1 '
2  x 
2
1
2  2
2  x2  1
  lim
2
x  1
 1x  1  x  1 '


 2  x2 '
2  x2  1
x  1 2
 2x
x
2 2  x2
  lim
x1

2x
2  x 2  1  lim
1
x  1
x  1
2  x2
x  1

2
 2x
2
 2x

x x  1  
2
  lim

2x
x x  1  
2
  lim

  lim
x1
2
2  x2 1  x2
x  1
x1
2

x x  1  
 lim
x1

1
2  x2 2  x2  1
x  1

1
  lim
x 1

x x  1
2
2x
2
 2x
2
1


0
0
 2  x2  1 


2
2

2  x  1  2  x  1 
2
x x  1  
 lim
2
2
x x  1
x  1
 2x
1
2
 lim
2
2x
2
x x  1  

 2x
2
x
2
1
2
1
 2x


2


1

1

x  1x  1
 2x
2x
2
2
x  1
1
   1  0   1  1  0
1 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.6 – Regla de L’Hôpital
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***41.-)
lim 2 sec 2 x  
x 
2
2
lim
x 
2
cos x 
2
2
2
1

1  senx 1  senx  1  senx 
2
2  1  sen x 
1  sen x 
 lim
1  senx 1  senx  x   2 1  senx 1  senx 
2
1
1

1  sen x  1  sen 
 lim
x 
 lim
x 

1
 2    
1  sen 
1
1  sen x 
2
 lim
x 
 2
2
1

2
1  sen x  1  sen x 
 lim
x 

2
1
2
1
 lim


2
2
1  sen x  x   2 cos x  1  sen x  cos 
 2 
1
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
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Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
42.-)
  x 
x2
lim cos 2
x 
 1
  x 
x2
lim cos 2
 lim e
  x 
x 2  ln cos 2
e
  x 
lim x 2  ln cos 2
x 
 e 2  1
e2

x 
x 
  x   lim lncos1 2 x   00
1
lim x 2  ln cos 2
x 
lim
 
1
ln cos 2 x
2
x 
  L ' H lim
x
 2 tan 2 x 1
x 


2
x
2
 lim
x 
x 
  lim
x
x3


x2
cos 2 x '
cos 2 x 
 lim
1

1
 2x
3

1
cos 2 x
 2x  3
x 

 


 sen 2 x 1  2 x 1 '



 
cos 2 x 
sen 2 x 1   2 x  2
 lim

2x  3
x


1

x 3 tan 2 x 1
tan 2 x 1
0
1
lim
x
tan
2
x
lim





2




x
x
1
0
x
x

 


 

tan 2 x 1
sec 2 2 x 1  2 x 1 '
sec 2 2 x 1   2 x  2

L
'
H

lim


lim
x 
x 
x 
x 1
 1x  2
 1x  2
2
2
2x 2
2
2
x cos 2 2 x 1
  lim
  lim 2
  lim
  2  2

2
1
2




x 
x
x
1
x cos 2 x
1
cos 2
x
2
x
--------------------------------------------------------------------------------------------------- lim




 
***43.-)
lim
x 0
arcsen x x
2
1
 arcsen 0  0.0001 2  0  (no es F.I.)
---------------------------------------------------------------------------------------------------44.-)
cos mx   cos nx 
0
x0
0
x
 sen mx   mx  '  sen nx   nx  '
 msen mx   nsen nx  0
 L ' H lim
 lim

x0
x0
2x
0
2x
lim
2

 m cos mx   mx  '  n cos nx   nx  '
 m 2 cos mx   n 2 cos nx   m 2  n 2
 lim

x0
x0
2
2
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------- L ' H lim
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**45.-)
x  senx  0  0 0
lim

 0
x  0 x  cos x 
0 1 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------**46.-)
lim 1  tan x sec x   1  1  2  0
x 
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------47.-)
lim
ln x tan x 2   0  
lim
ln x tan x 2   xlim
 1
x  1
x  1
ln x 
1
 2
tan x

0
0
x  '
1
ln x 
x
x
lim
 L ' H lim
 lim
x  1  cot x
x  1   csc 2 x
 x ' x  1   csc 2 x  
2
2
2
2
2
1
2
2 sen 2 x
x
2   2 1   2
  lim
  lim

x  1
x 1


x
2 sen 2 x
2
 
  
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------48.-)
lim
x 
x tan 1 x     0
  x   lim
lim x  tan 1
x 
 
x 
 x  0
tan 1
1
x
0
   
  

 
tan x  1
sec 2 x  1  x  1 '
sec 2 x  1   1 x  2
L
'
H
lim
lim


 lim sec 2 x  1
x 
x 
x 
x 
x 1
 1x  2
 1x  2
1
1
 lim
 2 1
2
x   cos
1
1
x
lim
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.6 – Regla de L’Hôpital
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49.-)
a

lim 1  
x 
x
bx
 1
a

bx

a
lim bx  ln  1  
bx  ln  1  
a

x
x


 e x 
 e ab
lim 1    lim e


x 
x
x

a

lim bx  ln1  
x
x

a

ln1  
x 0
 b lim 

x
1
0
x
 x  a
x  a '  x  '
1
1
ln








ln
x
a
ln
x
x
  b lim
b lim 
 L ' H b lim x  a  2 x  b lim x  a 2 x
1
x
x
x
x
1
 1x
x
x
x
x  x  a 
ax
 ax 2
ax
a
x x  a 
 b lim
 b lim
 b lim
 b lim x  b lim
 ab
x
x   x x  a 
x x  a
x  x  a
x  1  a
1
x
x
x2

----------------------------------------------------------------------------------------------------
50.-)
 2   1
lim 2  x 
tan x
x1
lim
x1
2  x   2  
tan x
lim e
 2 ln 2  x 
tan x
x 1
e
 2 ln 2  x 
lim tan x
x 1
e
2


x1
ln 2  x 
0

1
0
tan x
2
 2  ln2  x   lim
lim tan x
 
x 1
2  x  '
1
ln 2  x 
2x
2x
lim
 L ' H lim
 lim
 lim
2 x
x  1 cot x
x  1  csc 2 x
x
1
x1

x

'

 csc

2
2
2
2
2
 
 lim
x 1
  
 2  2 1
2sen 2 x
2  x 
2
 1
2
 
1
2x

2 x
2sen
 2

SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.6 – Regla de L’Hôpital
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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
51.-)
lim
x
5x  3
x
2 4



5 x  ln5   x '
ln5 
5 x ln5 
ln5 
5
lim x
lim x 
lim   
 L ' H lim x

  
x 2  4
x   2  ln 2   x '
ln2  x   2
ln2  x    2 
ln2 
---------------------------------------------------------------------------------------------------5x  3
x
52.-)
x
 3x 

lim 
 1
x    3x  5 
x
 3x 
 3x 
lim x  ln 
x  ln 


5
 3x 
3x  5 
 3x  5 
 e x 
e 3
lim 
  lim e 
x    3x  5 
x

 3x 
ln

3x  5  0
 3x 


lim x  ln
  lim
x
1
0
 3x  5  x  
x
33 x  5   33 x 
3
3

ln3 x   ln3 x  5 
3 x 3 x  5 
3 x  5  lim 3 x 3 x  5   lim
 L ' H lim 3 x
lim

1

2

2
x
x
x 
x 
1
 1x
 1x
x
x2
x
1
15 x
x 2 9 x  15  9 x 
x
  lim
  lim
 5 lim
 5 lim
 5
3
x 
x   33 x  5 
x   3 x  5 
x  3  5
3 x 3 x  5 
x
x

----------------------------------------------------------------------------------------------------
3x  '  3x  5  '
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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
53.-)
lim
x 0
e x  e  x
0

x
0
e x  e  x
e x  ln e    x  '  e  x  ln e    x  '
 e x   e  x
 L ' H lim
 lim
 
x 0
x0
x0
x
1
1
---------------------------------------------------------------------------------------------------54.-)
1  p2  p
0
x2

lim
x 
1  q2  q 0
x2
lim
lim
x 
x 2  p2  p
x  2  q2  q
 L ' H lim
x 
x
2
1 x
2
1
2
 p2
2
 q2


1
1
 2x  3
 lim
x
2 x 2  p2
 2x
3
 lim
x 
x  2  q2
x
2
p
2
2
2

 x
1
 lim
x 

'
 x 2  p2 '
1
2
x2
x2
 q2
 q2
p
2
1

lim
x
1
x2
x2
 q2
p
2

q2
p
2
 q
p
2 x  2  q2
---------------------------------------------------------------------------------------------------Bibliografía Utilizada en la Selección/Solución de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
Santiago de Chile.
11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de Honduras
(UNAH). Tegucigalpa, Honduras.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de
Venezuela.
13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de
Chile, Chile.
14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
15. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Valencia.
Valencia, España.
16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”.
República Bolivariana de Venezuela.
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